2024-2025学年河南省驻马店高级中学高二（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知数列为递增数列，若，则的取值范围为( )
A. B. C. D.
2.双曲线的渐近线方程是( )
A. B. C. D.
3.圆的圆心在第三象限，则的取值范围为( )
A. B.
C. D.
4.设等差数列的前项和为，已知，则( )
A. B. C. D.
5.已知数列的前项和为，若，则( )
A. B. C. D.
6.甲每个周末都跑步或游泳，每天进行且仅进行其中的一项运动已知他周六跑步的概率为，且如果周六跑步，则周日游泳的概率为，如果周六游泳，则周日跑步的概率为若甲某个周日游泳了，则他前一天跑步的概率为( )
A. B. C. D.
7.已知点，，点在圆：上运动，的最大值为，最小值为，则( )
A. B. C. D.
8.双曲线：的右支上一点在第一象限，，分别为双曲线的左、右焦点，为的内心，若内切圆的半径为，直线，的斜率分别为，，则的值等于( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记等比数列的前项积为，且，若，则的可能取值为( )
A. B. C. D.
10.已知等差数列，其前项和为，若，，则下列结论正确的是( )
A. B. 当时，最大
C. 使的的最大值为 D. 数列中的最小项为第项
11.如图，在棱长为的正方体中，是棱的中点，是棱上的动点含端点，则下列说法中正确的是( )
A. 三棱锥的体积为定值
B. 若是棱的中点，则过、、的平面截正方体所得的截面图形的周长为
C. 若是棱的中点，则点到平面的距离为
D. 若与平面所成的角为，则
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知，若，则 ______．
13.已知两点，，动点满足，抛物线：的焦点为，动点在上，则的最小值为______．
14.已知数列的前项和为，数列是首项为，公差为的等差数列．表示不超过的最大整数，如，，则数列的前项和为 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
随着时代的不断发展，社会对高素质人才的需求不断扩大，我国本科毕业生中考研人数也不断攀升，年的考研人数是万人，年考研人数是万人某省统计了该省其中四所大学年的毕业生人数及考研人数单位：千人，得到如下表格：
大学 大学 大学 大学
年毕业人数千人
年考研人数千人
已知与具有较强的线性相关关系，求关于的线性回归方程；
假设该省对选择考研的大学生每人发放万元的补贴．
若该省大学年毕业生人数为千人，估计该省要发放多少万元的补贴？
若大学的毕业生中小江、小沈选择考研的概率分别为、，该省对小江、小沈两人的考研补贴总金额的期望不超过万元，求的取值范围．
参考公式：，．
16.本小题分
如图，在四棱锥中，底面为平行四边形，，均为等边三角形，．
证明：平面平面．
若点到平面的距离为，求四棱锥的体积．
17.本小题分
数列满足，．
证明：数列是等比数列；
求的通项公式；
若，证明：数列的前项和．
18.本小题分
已知函数．
求证为定值；
若数列的通项公式为为正整数，，，，，求数列的前项和．
19.本小题分
已知和为椭圆：上两点．
求椭圆的离心率；
过点的直线与椭圆交于，两点不在轴上．
若的面积为，求直线的方程；
直线和分别与轴交于，两点，求证：以为直径的圆被轴截得的弦长为定值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题意得，，
又，
，
，
，
所以，
故得关于的线性回归方程为；
将代入得，
该省要发放补贴的总金额为万元；
设小江、小沈两人中选择考研的人数为，则的所有可能值为、、，
，
，
，
，
，可得，
又因为，可得，
故．
16.解：证明：如图，取的中点，连接，，，
设，
则，，且，
所以，
所以，
所以，又，且，
所以平面，又平面，
所以平面平面；
由知，，两两垂直，故建系如图，
则，
由，得，
所以，解得，即，
所以，，
设平面的一个法向量为，
则，取，
所以点到平面的距离为，所以，
所以，
设平面的一个法向量为，
则，取，
所以点到平面的距离为，
又平行四边形的面积为，
所以四棱锥的体积为．
17.解：证明：数列满足，，
可得，解得，
对的两边同时减去，可得，
故是首项和公比均为的等比数列．
由等比数列的通项公式可得，故；
证明：，
故
，即得证．
18.
解：证明：由于函数，
则，
所以．
由可知，，
则，其中为正整数，，
即，且，
所以，其中为正整数，，
且，
，
变化前项顺序后，可得：，
得：，
因此．
19.解：由题可得：，解得：，
所以椭圆的离心率为；
由可知椭圆的方程为，
显然，直线的斜率不等于，
设过点的直线为，，，
联立，化简得：，则恒成立，
所以，，
所以
，
解得：，即，
所以直线的方程为：；
证明：由可知，，
，
直线的方程为，令，得，
直线的方程为，令，得，
记以为直径的圆与轴交于，两点，
由圆的弦长公式可知，
，
解得：，为定值．
第1页，共1页
