北京市海淀区中关村中学2024-2025学年高一下学期 3月月考数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 3 分，共 30 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.集合 = { ∈ | ≤ 6}， = { ∈ | 2 3 > 0}，则 ∩ =( )
A. {3,4,5} B. {4,5,6} C. { |3 < ≤ 6} D. { |3 ≤ < 6}
2.如图，在平行四边形 中， =( )
A.
B.
C.
D.
3.与 224°角终边相同的角是( )
A. 24° B. 113° C. 124° D. 136°
6
4.已知函数 ( ) = log ，在下列区间中，包含 ( )零点的区间是( )
2
A. (0,1) B. (1,2) C. (2,4) D. (4,+∞)
5.设 、 都是非零向量，下列四个条件中，使 = 成立的充分条件是( )
| | | |
A. | | = | |且 // B. =
C. // D. = 2
| |
6.已知平面上不共线的四点 ， ， ， ，若 3 + 2 = 0 ，则 =( ) | |
2 1 1
A. 2 B. C. D.
3 2 3
7.设 = 0 .20.3， = 20.3，则( )
A. + < < 0 B. < + < 0 C. + < 0 < D. < 0 < +
8.如图，在矩形 中，| | = 4√ 3，设 = ， = ， = ，则| + + | =( )
A. 8 B. 8√ 2 C. 8√ 3 D. 16
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1
9.已知函数 ( ) = ，给出下列四个结论：
1+
1
① ( )在定义域上单调递增；② ( )存在最大值；③不等式 ( ) ≤ 的解集是( ∞, 2)；④ ( )的图象
3
1
关于点(0, )对称．
2
其中所有正确结论的序号是( )
A. ① B. ①③ C. ①④ D. ①③④
{
+ 1, ≥ 0
10.已知函数 ( ) = 其中 < 1，对于任意 1 ∈ 且 1 ≠ 0，均存在唯一实数 2，使得 + , < 0
( 2)= ( 1)，且 1 ≠ 2，若| ( )| = ( )有4个不相等的实数根，则 的取值范围是( )
A. (0,1) B. ( 1,0)
C. ( 2, 1) ∪ ( 1,0) D. ( 2, 1)
二、填空题：本题共 6 小题，共 28 分。
11.与向量 = ( 1,1)方向相同的单位向量 = ______．
12.已知扇形的半径为2，圆心角为2弧度，则该扇形的面积为______．
1
13.函数 ( ) = + √ 2 的定义域为______．
14.已知点 (3, 4)、 ( 1,2)，点 在直线 上，且| | = 2| |，则点 的坐标是______．
15.对于函数 ( )，若集合{ | > 0, ( ) = ( )}中恰有 个元素，则称函数 ( )是“ 阶准偶函数”.已知
1
( ) , ≤ ,
函数 ( ) = { 2
2 , > .
(1)若 = 0，则函数 ( )是“______阶准偶函数”；
(2)若函数 ( )是“1阶准偶函数”，则 的取值范围是______．
16.定义在[ ,+∞)上的函数 ( )， ( )单调递增， ( ) = ( ) = ，若对任意 > 存在 1 < 2，使得 ( 1) =
( 2) = 成立，则称 ( )是 ( )在[ ,+∞)上的“追逐函数”已知 ( ) =
2，下列四个函数：① ( ) = ；
1
② ( ) = + 1；③ ( ) = 2 1；④ ( ) = 2 .其中是 ( )在[1,+∞)上的“追逐函数”的个数是
______个.
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题12分)
已知 = (1,0)， = (2,1)，
(1)当 为何值时， 与 + 2 共线．
(2)若 = 2 + 3 ， = + ，且 、 、 三点共线，求 的值．
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18.(本小题12分)
某工厂为了解甲、乙两条生产线所生产产品的质量，分别从甲、乙两条生产线生产的产品中各随机抽取了100
件产品，并对所抽取产品的某一质量指数进行检测，根据检测结果按[2,4)，[4,6)，[6,8)，[8,10]分组，得到
如图所示的频率分布直方图．
(1)求甲生产线所生产产品的质量指数的平均数(同一组中的数据用该组区间的中点值代表)；
(2)若产品的质量指数在[8,10]内，则该产品为优等品 .现采用分层抽样的方法从样品中的优等品中抽取6件产
品，再从这6件产品中随机抽取2件产品进一步进行检测，求抽取的这2件产品中恰有1件产品是甲生产线生
产的概率．
19.(本小题12分)
如图1所示，在△ 中，点 在线段 上，满足3 = ， 是线段 上的点，且满足3 = 2 ，线
段 与线段 交于点 ．
(Ⅰ)若 = + ，求实数 ， 的值；
(Ⅱ)若 = ，求实数 的值；
(Ⅲ)如图2，过点 的直线与边 ， 分别交于点 ， ，设 = ， = ( > 0, > 0)，求 + 的
最小值．
20.(本小题12分)
若函数 ( )满足：对任意正数 ， ，都有 ( ) + ( ) < ( + )，则称函数 ( )为“ 函数”．
(1)试判断函数 1( ) =
2与 2( ) = ln( + 1)是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)若函数 = 3 + 3 是“ 函数”，求实数 的取值范围；
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(3)若函数 ( )为“ 函数”， (1) = 1，对任意正数 、 ，都有 ( ) > 0， ( ) > 0，证明：对任意 ∈
(2 , 2 +1
1 2
)( ∈ )，都有 ( ) ( ) > ．
2
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
10.【答案】
√ 2 √ 2
11.【答案】( , )
2 2
12.【答案】4
13.【答案】{ |0 < ≤ 2且 ≠ 1}
1
14.【答案】( , 0)或( 5,8)
3
15.【答案】2 [ 2, 1)∪ [1，2)
16.【答案】2
17.【答案】解：(1) = (1,0) (2,1) = ( 2, 1)．
+ 2 = (1,0)+ 2(2,1) = (5,2)．
∵ 与 + 2 共线
∴ 2( 2) ( 1)× 5 = 0，
即2 4+ 5 = 0，
1
得 = ．
2
(2) ∵ 、 、 三点共线，
∴ // ．
∴存在实数 ，使得2 + 3 = ( + ) = + ，
又 与 不共线，
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∴ {2 = ，
3 =
3
解得 = ．
2
18.【答案】解：(1)甲生产线所生产产品的质量指数的平均数为：
甲 = 3 × 0.05× 2+ 5 × 0.15× 2 + 7 × 0.2× 2 + 9 × 0.1× 2 = 6.4．
(2)由题意可知，甲生产线的样品中优等品有100 × 0.1× 2 = 20件，
乙生产线的样品中优等品有100× 0.05 × 2 = 10件，
20
从甲生产线的样品中抽取的优等品有6 × = 4件，记为 ， ， ， ；
20+10
10
从乙生产线的样品中抽取的优等品有6 × = 2件，记为 ， ；
20+10
从这6件产品中随机抽取2件的情况有：
( , )，( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，
( , )，共15种；
其中符合条件的情况有：
( , )，( , )，( , )，( , )，
( , )，( , )，( , )，( , )，共8种．
8
故所求概率 = ．
15
1
19.【答案】解：(Ⅰ)因为3 = ，所以 = ，
4
所以
1 1 1 3
= + = + = + ( ) = + ，
4 4 4 4
1 3
所以 = , = ；
4 4
(Ⅱ)由题意可知： = =
2
2
= + ，
5 5
=
2 1 3 2 2
= = ( + ) = ( )
3
+ ，
5 4 4 5 4 5 4
又因为 ， ， 三点共线，所以存在实数 使得 = ，
2 3 2 2
即( ) + = ( + ) = + ，
4 5 4 5 5
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2 2 8
= =
所以{4 5 5 ，解得{ 11，
3 6
= =
4 11
8
所以 = ；
11
1 1
(Ⅲ)易知 = , = ，
8 2 6 2 1 6 1 2 6
由(Ⅱ)知 = = + = × + × = + ，
11 11 11 11 11 11 11
又因为 ， ， 三点共线，
2 6
所以 + = 1，又 > 0， > 0，
11 11
2 6 8 2 6 8 2 6 8+4√ 3
则 + = ( + )( + ) = + + ≥ + 2√ × = ，
11 11 11 11 11 11 11 11 11
2 6 6+2√ 3 2+2√ 3
当且仅当 = ，即 = , = 时取等号，
11 11 11 11
8+4√ 3
所以 + 的最小值为 ．
11
20.【答案】解：(1)对于任意 ， ∈ (0,+∞)， 1( )+ 1( ) =
2 + 2， 1( + ) = ( + )
2，
所以 1( + ) [ 1( ) + 1( )] = ( + )
2 ( 2 + 2) = 2 > 0，
即 1( ) + 1( ) < 1( + )成立，
故 1( ) =
2是“ 函数”；
对于 2( ) = ln( + 1)，
取 = = 1，则 2( ) + 2( ) = 2 2， 2( + ) = 3，
因为2 2 > 3，故 2( ) = ln( + 1)不是“ 函数”；
(2)因为函数 = 3 + 3 是“ 函数”，
所以对于任意的 ， ∈ (0,+∞)，有3 + + ( + ) 3 > 3 + 3 + 3 + 3 恒成立，
即3 + 3 3 > 3 恒成立，
所以(3 1)(3 1) > 1 3 恒成立，
又因为 ， ∈ (0,+∞)，故3 ，3 ∈ (1,+∞)，则(3 1)(3 1) ∈ (0,+∞)，
1 1
则1 3 ≤ 0，即 ≥ ，即实数 的取值范围为[ ,+∞)；
3 3
(3)证明：由函数 ( )为“ 函数”，可知对于任意正数 ， ，
都有 ( ) > 0， ( ) > 0，且 ( ) + ( ) < ( + )，
(2 )
令 = ，可知 (2 ) > 2 ( )，即 > 2，
( )
故对于自然数 与正数 ，
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(2 +1 ) (2 +1 ) (2 ) (2 )
都有 = > 2 +1，
( ) (2 ) (2 1 ) ( )
1 1 1
对任意 ∈ (2 , 2 +1)( ∈ )，可得 ∈ ( +1 , )，又 (1) = 1， 2 2
2 +1
所以 ( ) > ( 2 ) + (2 ) > (2 ) ≥ 2 (1) = > ，
2 2
1 1 1 1 1 (1) 1 2 2
同理 ( ) < ( ) ( 2 2
) < ( ) ≤ =
2 2 2
= +1 < ， 2
1 2
故 ( ) ( ) > ．
2
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