成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题
1．（2024高三上·重庆市模拟）若集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得，解得，∴，
由，解得，∴，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用平方法、对数函数的单调性、对数函数的定义域，再结合交集的运算法则得出集合A，再解一元二次不等式得出集合B，则由交集的运算法则得出集合.
2．（2024高三上·重庆市模拟），则在处切线方程为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以，，所以，
所以函数在处的切线方程为，即.
故答案为：A.
【分析】先求出函数在处的导数值，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，最后由点斜式方程可得函数在处的切线方程.
3．（2024高三上·重庆市模拟），，命题，命题与夹角为钝角，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设、夹角为，，
若，则，则，
则，所以与夹角为钝角或平角，
所以是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】设两向量的夹角为，根据和三角函数值在各象限的符号，从而计算出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．（2024高三上·重庆市模拟）直线上单位向量为，直线上有，两点，，若，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为为直线上的单位向量，
所以，所以或，
因为，为直线上两点，，
所以，故，
因为，所以，
当时，；
当时，.
故答案为：D.
【分析】根据单位向量的定义求出的值，再由已知条件结合向量垂直的坐标表示，从而求出的值.
5．（2024高三上·重庆市模拟）我们初中所学的反比例函数图象其实是一种典型的双曲线．若，则该双曲线焦距为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：作出和的图象，它们的交点分别为，
由和联立方程组解得：或，即交点，
所以
根据双曲线的意义，可知实轴长，即，
又由双曲线的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所以这是等轴双曲线，即，
所以，即双曲线的焦距为.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数是等轴双曲线结合实轴长以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，进而得出双曲线的焦距.
6．（2024高三上·重庆市模拟）在锐角三角形中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为三角形为锐角三角形，且，
所以，解得，所以，
又因为，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得，从而得出，再借助诱导公式、正切的和角公式以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
7．（2024高三上·重庆市模拟）已知数列，分别为等差数列和等比数列，为递减数列，为递增数列，且的和有最大值．， ，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据题意，等差数列递减，
所以公差，等比数列递增，则公比，
由，
联立上式消可得：，
再消得：，所以，，
因为，，
所以，，解得，
所以
，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式，从而建立方程组，再利用消元思想和公比，分别表示其它变量，再通过约束条件可得公比的取值范围，则根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和公比的取值范围，从而得出的取值范围.
8．（2024高三上·重庆市模拟）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；相似三角形的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，
则平面
如图所示，设正四棱锥外接球的球心为，，连接，
则，
因为，所以，
在中， ，即，
如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，，取的中点，连接，
设内切球与面切于点，与面切于点，
易知，，
则，
所以，
令，则，
所以，
当且仅当即时，等号成立，取得最小值，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】先根据正棱锥球的内切或外接确定球心位置，再求出外接球的半径和内切球半径，则根据外接球半径与内切球半径之比最小时求出的值，再根据四棱锥的体积公式得出的值.
9．（2024高三上·重庆市模拟），，下列说法正确的是（ ）
A．有1解
B．有2解
C．
D．，将向右平移个单位得到，为奇函数
【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，所以，
令，则，，
当时，函数单调递减，且；
当时，函数单调递增，且，
又因为，所以存在唯一的，满足条件，
即存在唯一的，满足条件，
即，只有一个解，故A正确、B错误；
因为，，结合选项A知，，
所以，
，
所以，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，
因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以函数为奇函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】令，将原方程化为，，再结合余弦函数性质判断出方程的解的个数，则判断出选项A和选项B；由已知条件结合，再利用两角和正弦公式判断出选项C；根据余弦型函数的图象变换得出函数，再结合奇函数定义判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．（2024高三上·重庆市模拟），下列说法正确的是（ ）
A．在定义域内单调递增
B．，
C．在定义域内恒有
D．当时，恒有
【答案】A,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，.
对于A，因为，所以，
所以在单调递增，故A正确；
对于B，因为，即，
又因为，所以，即，
因为，所以方程无解，
所以不存在，使，故B错误；
对于C，当，；当时，，
所以，当时，，故C错误；
对于D，令，，则，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
所以，即，则时，，
令，，则，
所以在单调递减，所以，即，
因为，所以，所以，且，
所以，
所以，
则当时，恒有，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将函数化简，再利用导数判断函数的单调性，则可判断选项A；解关于的方程判断出选项B；分别判断不等式左、右两边的符号可判断出选项C；令，，利用导数判断函数单调性，从而得到和，再利用作差法判断出选项D，从而找出说法正切的选项.
11．（2024高三上·重庆市模拟）定义：满足当为奇数时，；当为偶数时，，，则称为“回旋数列”.若为“回旋数列”，，，设前项和为，从，，…，中任意抽取两个数，两个数之和大于的概率为，的前项积为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．且恒不小于 D．
【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为数列为“回旋数列”，，
当为奇数时，；当为偶数时，，
所以当为奇数时，，，所以，
所以数列为等差数列，公差为，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，，所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又因为，，故，
所以当为偶数时，，
所以，，所以，故A错误；
因为，
所以，
则
，
所以，，
，，
所以，故B正确，
从，，，中任意抽取两个数，有种取法，
其中两个数之和大于的取法包含取一个奇数项与它之后的所有偶数项，
或取一个偶数项与它之前的所有奇数项，
则，
所以，
所以，，故C正确；
因为的前项积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合递推关系证出数列的奇数项为等差数列、偶数项为等差数列，从而求出数列的通项公式，由此判断出选项A；利用组合求和法求出，则判断出选项B；根据古典概率公式求出，则判断出选项C；利用放缩法求出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．（2024高三上·重庆市模拟）偶数项二项式系数和为，则第项为 ．
【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：根据题意有，解得，
所以原式化为：，
所以二项式展开式的第四项为：.
故答案为：.
【分析】根据二项式系数的性质求出的值，再利用二项式的展开式的通项得出第项.
13．（2024高三上·重庆市模拟），若与关于复平面虚轴对称，则 ．
【答案】或或.
【知识点】图形的对称性；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，①
又因为与关于复平面虚轴对称，所以，②
由①②解得或，
所以，当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
故答案为：或或.
【分析】设，再根据复数的运算法则和复数的几何意义以及点的对称性，从而得出复数z，再根据共轭复数的定义得出复数z的共轭复数.
14．（2024高三上·重庆市模拟）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ．
【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为动点在双曲线右支上，所以，
则，
不妨设点在渐近线上，
过点作，则，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立，
因为的坐标为，故，
所以的最小值为，
因为，又因为双曲线的焦距为，
所以，
又因为，所以（舍去）或，
所以双曲线的方程为，其渐近线方程为和，
设点的坐标为，则，，
故，，
所以，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】结合双曲线定义可得，再结合平面几何知识得出其最小值，从而列方程求出的值，由此可得双曲线方程和双曲线的渐近线方程，设，再表示出，再结合基本不等式求最值的方法得出的最小值.
15．（2024高三上·重庆市模拟）如图，在三棱柱中，侧面底面， ，点为线段中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以为的中点，
又因为点为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
（2）解：连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点为线段的中点，所以，
因为侧面底面，
平面平面，平面，
所以底面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
所以两两垂直，
如图，以为坐标原点，
分别以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，再利用线面平行的判定定理证出平面.
（2）由已知条件可知为等边三角形，再结合三线合一得出，再利用面面垂直的性质定理可证直线底面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角为钝角，从而得出二面角的余弦值.
（1）连接，交于点，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以为的中点，又因为点为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
（2）连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点为线段的中点，
所以，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以底面，又平面，所以，
因为，为的中点，所以，
所以两两垂直，
如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
16．（2024高三上·重庆市模拟）在中，内角所对的边分别是，．
（1）求外接圆半径；
（2）若为等腰三角形，所在平面内有一点，满足为内部一点，求的最小值．
【答案】（1）解：当时，由，可得，
由余弦定理可得，
又因为，所以，故，
所以的外接圆半径，
当时，由，可得，
由余弦定理可得，
又因为，
所以，故，
所以的外接圆半径.
（2）解：因为为等腰三角形，由（1）可得，
因为，
所以，
过点作，垂足为，取的中点，连接，
则，，
所以，所以点在直线上，
取线段的中点，则
因为，
所以
设点到的距离为，则，
又因为，则，
所以，又为线段的中点，
所以点到的距离为，
所以，
所以的最小值为．
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先讨论角的取值范围，再由已知条件结合余弦定理求出的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径.
（2）取的中点，化简向量关系式证出点在上，再根据向量的线性运算法则和数量积的性质可得，为线段的中点，再求出的最小值得出.的最小值.
（1）当时，由，可得，
由余弦定理可得，又，
所以，故，
所以的外接圆半径，
当时，由，可得，
由余弦定理可得，又，
所以，故，
所以的外接圆半径，
（2）因为为等腰三角形，
由（1）可得，
因为，
所以，
过点作，垂足为，取的中点，连接，
则，，
所以，
所以点在直线上，
取线段的中点，
则，
因为，
所以，
设点到的距离为，则，
又，则，
所以，又为线段的中点，
所以点到的距离为，
所以，
所以的最小值为．
17．（2024高三上·重庆市模拟）为等差数列或等比数列，和为，，．
（1）若为等差数列，求的通项公式；
（2）当为等差数列时，；当为等比数列且为摆动数列时，．当时，求的值；
（3）若单调递增，证明：
【答案】（1）解：由题意得，所以，
因为为等差数列，
所以.
（2）解：
根据在单调递增可得，
因为为等比数列，，，
所以，所以，
因为，
当时，，此时，；
当时，，此时，
因为为摆动数列，
所以，，
当为奇数时，，
易知时，单调递减，即奇数项单调递减，
因为，所以；
当为偶数时，单调递增，即偶数项单调递增，
所以，
因为，所以，
所以.
（3）证明：当为等差数列时，，
令，得，
即此时单调递增，故时，并非单调递增；
当为等比数列时，
当时，由（2）知，，易知单调递增；
当时，为摆动数列，并非单调递增，
所以，，
即证，
当时，；
当时，，
所以和时，成立；
下证当时，成立.
因为，所以，即，
所以，
即证，
令，，即证，
因为，
又因为，，
所以，所以时单调递增，
所以，所以时，成立，
综上所述，
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和，，从而求出和的值，再结合等差数列前n项和公式求出.
（2）由（1）中的等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式求出，再将转化为对勾函数的形式求出，从而求出，再分奇数、偶数讨论的单调性，从而求出，进而求出的值.
（3）根据单调递增求出和，再分，和三种情况证明，令，再证明大于，最后证明当时单调递增，从而证出不等式成立.
（1）由题意得，所以，
因为为等差数列，所以；
（2），
根据在单调递增可得，
因为为等比数列，，
所以，所以，因为，
当时，，此时，；
当时，，此时，，
因为为摆动数列，所以，
，
当为奇数时，，
易知时，单调递减，即奇数项递减，
因为，所以；
当为偶数时，单调递增，即偶数项递增，
所以，因为，
所以，所以；
（3）当为等差数列时，，
令，得，即此时单调递增，故时，并非单调递增；
当为等比数列时，当时，由（2）知，，易知单调递增，
当时，为摆动数列，并非单调递增，
所以，，即证，
当时，，
当时，，
所以和时，成立；
下证当时，成立.
因为，所以，即，
所以，
即证，
令，，
即证，因为，
因为，，
所以，所以时单调递增，
所以，所以时，成立，
综上，
18．（2024高三上·重庆市模拟）已知椭圆C：（），为坐标原点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于，两点（在轴上方），有，不与轴重合．
（1）当时，求椭圆的离心率；
（2）求的取值范围；
（3）是否存在使？若存在，求出的余弦值；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）解：当时，所以，即轴，
因为，所以
又因为，所以，
解得.
（2）解：设，则 ，则，
在中，由正弦定理得：，
又因为，所以，
所以，即.
（3）解：因为，又因为，
所以，即点在的中垂线上，
作轴，
所以，
当时，，
所以，
所以，
则存在点，.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）当时，轴，即可求出点的坐标，从而求出椭圆的离心率.
（2）在中，由正弦定理得出，再结合三角形中角的取值范围，从而求出角的取值范围，进而得出的取值范围，则得出的取值范围.
（3）由结合椭圆的定义可得，则点在的中垂线上，从而求出点的坐标，在直角三角形中结合，分别计算和结合余弦函数的定义得出存在点，并求出的值.
（1）当时，所以，即轴，，
所以，又因为，所以，解得.
（2）设，则 ，则
在中，由正弦定理有：，
又因为，所以
所以，即.
（3）因为，又因为，
所以，即点在的中垂线上，作轴，
所以，当时，，
所以，
所以
存在点，.
19．（2024高三上·重庆市模拟）已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题：
（1）当时，证明；
（2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且．
①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
②若，证明：．
【答案】（1）证明：由，
则，
又因为与在函数图象上，
则，且
；
要证，
因为，即证，
不妨设，令，则，
则，
故只需证，
令，，
则，
再令，
则，则在上单调递增，
故，故当时，恒成立，
由，得，
则，
所以在上单调递减，
故，得证.
（2）解：①由等差数列且，
则，解得，
下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件.
则
又因为，
成等差数列，
由，
存在三点，使成等差数列有解，
当时，，故；
当时，，故，
故当时，，
令，且，则，
所以，
令，且，
则，
再令，且，
则，
令，因为在单调递减，且，
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
故，故，
故在上单调递减，且在上也单调递减；
又因为当，；
当时，；
当，且，
综上可知且，
所以且，且，
又因为，
所以若不存在三点，使成等差数列，则或，
故的取值范围为；
②令，.
则所证不等式，
令，，
则，
故在单调递增，则，
即，得证.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差中项
【解析】【分析】（1）通过已知条件和运算，将所证不等式转化为，再令，转化为证明，然后构造函数研究函数单调性得出函数的值域，从而证出不等式成立.
（2）①先求解存在三点，使成等差数列的情况，由题意得，由此代入消元变形转化为有解，再构造函数求值域，即可得出实数m的取值范围.
②将不等式变形转化，构造函数，再利用函数的单调性证明不等式成立，从而证出不等式成立.
（1）由，
则，又与在上.
则；
且
；
要证，
因为，即证，
不妨设，令，则，
则，
故只需证.
令，，
则，
再令，
则，则在上单调递增，
故，故当时，恒成立，
由，得，
则，所以在上单调递减，
故，得证.
（2）①由等差数列且，则，
解得，
下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件.
故；
又，
成等差数列，
由，
存在三点，使成等差数列有解.
当时，，故，
当时，，故，
故当时，；
令，且，则，
所以，令，且，
则，
再令，且，
则，
令，因为在单调递减，且，
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
故，故，
故在上单调递减，且在上也单调递减；
又因为当，；当时，；
当，且.
综上可知且，
所以有，且，且，又，
所以若不存在三点，使成等差数列，则有或，
故的取值范围为；
②令，.
则所证不等式.
令，，
则，
故在单调递增，则有，
即，得证.
成渝经济圈名校联盟2024-2025学年高三上学期第一次联考数学试题
1．（2024高三上·重庆市模拟）若集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．（2024高三上·重庆市模拟），则在处切线方程为（ ）
A． B． C． D．
3．（2024高三上·重庆市模拟），，命题，命题与夹角为钝角，则是的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．（2024高三上·重庆市模拟）直线上单位向量为，直线上有，两点，，若，则的值为（ ）
A．或 B． C． D．或
5．（2024高三上·重庆市模拟）我们初中所学的反比例函数图象其实是一种典型的双曲线．若，则该双曲线焦距为（ ）
A． B． C． D．
6．（2024高三上·重庆市模拟）在锐角三角形中，若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
7．（2024高三上·重庆市模拟）已知数列，分别为等差数列和等比数列，为递减数列，为递增数列，且的和有最大值．， ，，，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024高三上·重庆市模拟）一正四棱锥，，当其外接球半径与内切球半径之比最小时，为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024高三上·重庆市模拟），，下列说法正确的是（ ）
A．有1解
B．有2解
C．
D．，将向右平移个单位得到，为奇函数
10．（2024高三上·重庆市模拟），下列说法正确的是（ ）
A．在定义域内单调递增
B．，
C．在定义域内恒有
D．当时，恒有
11．（2024高三上·重庆市模拟）定义：满足当为奇数时，；当为偶数时，，，则称为“回旋数列”.若为“回旋数列”，，，设前项和为，从，，…，中任意抽取两个数，两个数之和大于的概率为，的前项积为，下列说法正确的是（ ）
A． B．
C．且恒不小于 D．
12．（2024高三上·重庆市模拟）偶数项二项式系数和为，则第项为 ．
13．（2024高三上·重庆市模拟），若与关于复平面虚轴对称，则 ．
14．（2024高三上·重庆市模拟）双曲线，焦距为，左、右焦点分别为，动点在双曲线右支上，过作两条渐近线垂线分别交于两点．若最小值为，则的最小值为 ．
15．（2024高三上·重庆市模拟）如图，在三棱柱中，侧面底面， ，点为线段中点．
（1）证明：平面；
（2）若，求二面角的余弦值．
16．（2024高三上·重庆市模拟）在中，内角所对的边分别是，．
（1）求外接圆半径；
（2）若为等腰三角形，所在平面内有一点，满足为内部一点，求的最小值．
17．（2024高三上·重庆市模拟）为等差数列或等比数列，和为，，．
（1）若为等差数列，求的通项公式；
（2）当为等差数列时，；当为等比数列且为摆动数列时，．当时，求的值；
（3）若单调递增，证明：
18．（2024高三上·重庆市模拟）已知椭圆C：（），为坐标原点，过椭圆左焦点的直线交椭圆于，两点（在轴上方），有，不与轴重合．
（1）当时，求椭圆的离心率；
（2）求的取值范围；
（3）是否存在使？若存在，求出的余弦值；若不存在，请说明理由．
19．（2024高三上·重庆市模拟）已知函数，与在函数的图象上，回答下列问题：
（1）当时，证明；
（2）上有三点（均不为且互不相等），满足成等差数列且．
①若不存在三点，使成等差数列，求的取值范围；
②若，证明：．
答案解析部分
1．【答案】C
【知识点】交集及其运算
【解析】【解答】解：由，可得，解得，∴，
由，解得，∴，
所以.
故答案为：C.
【分析】先利用平方法、对数函数的单调性、对数函数的定义域，再结合交集的运算法则得出集合A，再解一元二次不等式得出集合B，则由交集的运算法则得出集合.
2．【答案】A
【知识点】利用导数研究曲线上某点切线方程
【解析】【解答】解：因为，
所以，，所以，
所以函数在处的切线方程为，即.
故答案为：A.
【分析】先求出函数在处的导数值，再结合导数的几何意义得出切线的斜率，再根据代入法得出切点坐标，最后由点斜式方程可得函数在处的切线方程.
3．【答案】B
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断
【解析】【解答】解：设、夹角为，，
若，则，则，
则，所以与夹角为钝角或平角，
所以是的必要不充分条件.
故答案为：B.
【分析】设两向量的夹角为，根据和三角函数值在各象限的符号，从而计算出的取值范围，再根据充分条件、必要条件的判断方法，从而找出正确的选项.
4．【答案】D
【知识点】平面向量垂直的坐标表示
【解析】【解答】解：因为为直线上的单位向量，
所以，所以或，
因为，为直线上两点，，
所以，故，
因为，所以，
当时，；
当时，.
故答案为：D.
【分析】根据单位向量的定义求出的值，再由已知条件结合向量垂直的坐标表示，从而求出的值.
5．【答案】C
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：作出和的图象，它们的交点分别为，
由和联立方程组解得：或，即交点，
所以
根据双曲线的意义，可知实轴长，即，
又由双曲线的渐近线是两坐标轴，它们互相垂直，所以这是等轴双曲线，即，
所以，即双曲线的焦距为.
故答案为：C.
【分析】利用反比例函数是等轴双曲线结合实轴长以及双曲线中a，b，c三者的关系式，从而求出c的值，进而得出双曲线的焦距.
6．【答案】A
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；两角和与差的正切公式
【解析】【解答】解：因为三角形为锐角三角形，且，
所以，解得，所以，
又因为，
所以
，
当且仅当时，即当时，等号成立，
所以的最小值为4.
故答案为：A.
【分析】根据题意可得，从而得出，再借助诱导公式、正切的和角公式以及基本不等式求最值的方法，从而得出的最小值.
7．【答案】B
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式
【解析】【解答】解：根据题意，等差数列递减，
所以公差，等比数列递增，则公比，
由，
联立上式消可得：，
再消得：，所以，，
因为，，
所以，，解得，
所以
，
因为，所以.
故答案为：B.
【分析】利用等差数列和等比数列的通项公式，从而建立方程组，再利用消元思想和公比，分别表示其它变量，再通过约束条件可得公比的取值范围，则根据等差数列的通项公式、等比数列的通项公式和公比的取值范围，从而得出的取值范围.
8．【答案】D
【知识点】基本不等式在最值问题中的应用；相似三角形的性质；锥体的体积公式及应用
【解析】【解答】解：如图，正四棱锥中，正方形的对角线相交于点，
则平面
如图所示，设正四棱锥外接球的球心为，，连接，
则，
因为，所以，
在中， ，即，
如图所示，设正四棱锥内切球的球心为，，取的中点，连接，
设内切球与面切于点，与面切于点，
易知，，
则，
所以，
令，则，
所以，
当且仅当即时，等号成立，取得最小值，
所以，
所以.
故答案为：D.
【分析】先根据正棱锥球的内切或外接确定球心位置，再求出外接球的半径和内切球半径，则根据外接球半径与内切球半径之比最小时求出的值，再根据四棱锥的体积公式得出的值.
9．【答案】A,D
【知识点】两角和与差的正弦公式；二倍角的余弦公式；函数y=Asin（ωx+φ）的图象变换；含三角函数的复合函数的单调性；含三角函数的复合函数的对称性
【解析】【解答】解：因为，所以，
令，则，，
当时，函数单调递减，且；
当时，函数单调递增，且，
又因为，所以存在唯一的，满足条件，
即存在唯一的，满足条件，
即，只有一个解，故A正确、B错误；
因为，，结合选项A知，，
所以，
，
所以，故C错误；
将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象，
所以，
因为函数的定义域为，定义域关于原点对称，
，所以函数为奇函数，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】令，将原方程化为，，再结合余弦函数性质判断出方程的解的个数，则判断出选项A和选项B；由已知条件结合，再利用两角和正弦公式判断出选项C；根据余弦型函数的图象变换得出函数，再结合奇函数定义判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
10．【答案】A,D
【知识点】函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值
【解析】【解答】解：，.
对于A，因为，所以，
所以在单调递增，故A正确；
对于B，因为，即，
又因为，所以，即，
因为，所以方程无解，
所以不存在，使，故B错误；
对于C，当，；当时，，
所以，当时，，故C错误；
对于D，令，，则，
当时，，所以在单调递减；
当时，，所以在单调递增，
所以，即，则时，，
令，，则，
所以在单调递减，所以，即，
因为，所以，所以，且，
所以，
所以，
则当时，恒有，故D正确.
故答案为：AD.
【分析】将函数化简，再利用导数判断函数的单调性，则可判断选项A；解关于的方程判断出选项B；分别判断不等式左、右两边的符号可判断出选项C；令，，利用导数判断函数单调性，从而得到和，再利用作差法判断出选项D，从而找出说法正切的选项.
11．【答案】B,C,D
【知识点】等差数列的通项公式；等差数列的前n项和；古典概型及其概率计算公式
【解析】【解答】解：因为数列为“回旋数列”，，
当为奇数时，；当为偶数时，，
所以当为奇数时，，，所以，
所以数列为等差数列，公差为，
所以当为奇数时，，
当为偶数时，，，所以，
所以数列为等差数列，公差为，
又因为，，故，
所以当为偶数时，，
所以，，所以，故A错误；
因为，
所以，
则
，
所以，，
，，
所以，故B正确，
从，，，中任意抽取两个数，有种取法，
其中两个数之和大于的取法包含取一个奇数项与它之后的所有偶数项，
或取一个偶数项与它之前的所有奇数项，
则，
所以，
所以，，故C正确；
因为的前项积为，故D正确.
故答案为：BCD.
【分析】利用已知条件结合递推关系证出数列的奇数项为等差数列、偶数项为等差数列，从而求出数列的通项公式，由此判断出选项A；利用组合求和法求出，则判断出选项B；根据古典概率公式求出，则判断出选项C；利用放缩法求出，则判断出选项D，从而找出说法正确的选项.
12．【答案】
【知识点】二项式系数的性质
【解析】【解答】解：根据题意有，解得，
所以原式化为：，
所以二项式展开式的第四项为：.
故答案为：.
【分析】根据二项式系数的性质求出的值，再利用二项式的展开式的通项得出第项.
13．【答案】或或.
【知识点】图形的对称性；共轭复数
【解析】【解答】解：设，则，
因为，所以，①
又因为与关于复平面虚轴对称，所以，②
由①②解得或，
所以，当时，，此时；
当时，，此时；
当时，，此时.
故答案为：或或.
【分析】设，再根据复数的运算法则和复数的几何意义以及点的对称性，从而得出复数z，再根据共轭复数的定义得出复数z的共轭复数.
14．【答案】
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【解答】解：因为动点在双曲线右支上，所以，
则，
不妨设点在渐近线上，
过点作，则，
当且仅当点为线段与双曲线的交点时等号成立，
因为的坐标为，故，
所以的最小值为，
因为，又因为双曲线的焦距为，
所以，
又因为，所以（舍去）或，
所以双曲线的方程为，其渐近线方程为和，
设点的坐标为，则，，
故，，
所以，
当且仅当，时等号成立，所以的最小值为.
故答案为：.
【分析】结合双曲线定义可得，再结合平面几何知识得出其最小值，从而列方程求出的值，由此可得双曲线方程和双曲线的渐近线方程，设，再表示出，再结合基本不等式求最值的方法得出的最小值.
15．【答案】（1）证明：连接，交于点，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以为的中点，
又因为点为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
（2）解：连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点为线段的中点，所以，
因为侧面底面，
平面平面，平面，
所以底面，
又因为平面，所以，
因为，为的中点，所以，
所以两两垂直，
如图，以为坐标原点，
分别以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
【知识点】直线与平面平行的判定；用空间向量研究二面角
【解析】【分析】（1）连接，交于点，连接，再利用线面平行的判定定理证出平面.
（2）由已知条件可知为等边三角形，再结合三线合一得出，再利用面面垂直的性质定理可证直线底面，从而建立空间直角坐标系，则得出点的坐标和向量的坐标，再由两向量垂直数量积为0的等价关系和数量积的坐标表示，从而得出平面的法向量和平面的法向量，再利用数量积求向量夹角公式和二面角的平面角为钝角，从而得出二面角的余弦值.
（1）连接，交于点，连接，
因为侧面是平行四边形，
所以为的中点，又因为点为线段的中点，
所以，
因为面，面，
所以面.
（2）连接，，因为，，
所以为等边三角形，，
因为点为线段的中点，
所以，
因为侧面底面，平面平面，平面，
所以底面，又平面，所以，
因为，为的中点，所以，
所以两两垂直，
如图以为坐标原点，分布以，，的方向为轴正方向建立空间直角坐标系，
则，，，
所以，，
设平面的法向量为，
则，令，则，
所以平面的法向量为，
又因为平面的法向量为，
则，
经观察，二面角的平面角为钝角，
所以二面角的余弦值为.
16．【答案】（1）解：当时，由，可得，
由余弦定理可得，
又因为，所以，故，
所以的外接圆半径，
当时，由，可得，
由余弦定理可得，
又因为，
所以，故，
所以的外接圆半径.
（2）解：因为为等腰三角形，由（1）可得，
因为，
所以，
过点作，垂足为，取的中点，连接，
则，，
所以，所以点在直线上，
取线段的中点，则
因为，
所以
设点到的距离为，则，
又因为，则，
所以，又为线段的中点，
所以点到的距离为，
所以，
所以的最小值为．
【知识点】平面向量的基本定理；平面向量的数量积运算；平面内点到直线的距离公式；正弦定理的应用；余弦定理的应用
【解析】【分析】（1）先讨论角的取值范围，再由已知条件结合余弦定理求出的值，再根据正弦定理求出外接圆的半径.
（2）取的中点，化简向量关系式证出点在上，再根据向量的线性运算法则和数量积的性质可得，为线段的中点，再求出的最小值得出.的最小值.
（1）当时，由，可得，
由余弦定理可得，又，
所以，故，
所以的外接圆半径，
当时，由，可得，
由余弦定理可得，又，
所以，故，
所以的外接圆半径，
（2）因为为等腰三角形，
由（1）可得，
因为，
所以，
过点作，垂足为，取的中点，连接，
则，，
所以，
所以点在直线上，
取线段的中点，
则，
因为，
所以，
设点到的距离为，则，
又，则，
所以，又为线段的中点，
所以点到的距离为，
所以，
所以的最小值为．
17．【答案】（1）解：由题意得，所以，
因为为等差数列，
所以.
（2）解：
根据在单调递增可得，
因为为等比数列，，，
所以，所以，
因为，
当时，，此时，；
当时，，此时，
因为为摆动数列，
所以，，
当为奇数时，，
易知时，单调递减，即奇数项单调递减，
因为，所以；
当为偶数时，单调递增，即偶数项单调递增，
所以，
因为，所以，
所以.
（3）证明：当为等差数列时，，
令，得，
即此时单调递增，故时，并非单调递增；
当为等比数列时，
当时，由（2）知，，易知单调递增；
当时，为摆动数列，并非单调递增，
所以，，
即证，
当时，；
当时，，
所以和时，成立；
下证当时，成立.
因为，所以，即，
所以，
即证，
令，，即证，
因为，
又因为，，
所以，所以时单调递增，
所以，所以时，成立，
综上所述，
【知识点】数列的函数特性；等差数列的通项公式；等差数列的前n项和
【解析】【分析】（1）利用等差数列的通项公式和，，从而求出和的值，再结合等差数列前n项和公式求出.
（2）由（1）中的等差数列的通项公式和等差数列前n项和公式求出，再将转化为对勾函数的形式求出，从而求出，再分奇数、偶数讨论的单调性，从而求出，进而求出的值.
（3）根据单调递增求出和，再分，和三种情况证明，令，再证明大于，最后证明当时单调递增，从而证出不等式成立.
（1）由题意得，所以，
因为为等差数列，所以；
（2），
根据在单调递增可得，
因为为等比数列，，
所以，所以，因为，
当时，，此时，；
当时，，此时，，
因为为摆动数列，所以，
，
当为奇数时，，
易知时，单调递减，即奇数项递减，
因为，所以；
当为偶数时，单调递增，即偶数项递增，
所以，因为，
所以，所以；
（3）当为等差数列时，，
令，得，即此时单调递增，故时，并非单调递增；
当为等比数列时，当时，由（2）知，，易知单调递增，
当时，为摆动数列，并非单调递增，
所以，，即证，
当时，，
当时，，
所以和时，成立；
下证当时，成立.
因为，所以，即，
所以，
即证，
令，，
即证，因为，
因为，，
所以，所以时单调递增，
所以，所以时，成立，
综上，
18．【答案】（1）解：当时，所以，即轴，
因为，所以
又因为，所以，
解得.
（2）解：设，则 ，则，
在中，由正弦定理得：，
又因为，所以，
所以，即.
（3）解：因为，又因为，
所以，即点在的中垂线上，
作轴，
所以，
当时，，
所以，
所以，
则存在点，.
【知识点】直线与圆锥曲线的综合问题
【解析】【分析】（1）当时，轴，即可求出点的坐标，从而求出椭圆的离心率.
（2）在中，由正弦定理得出，再结合三角形中角的取值范围，从而求出角的取值范围，进而得出的取值范围，则得出的取值范围.
（3）由结合椭圆的定义可得，则点在的中垂线上，从而求出点的坐标，在直角三角形中结合，分别计算和结合余弦函数的定义得出存在点，并求出的值.
（1）当时，所以，即轴，，
所以，又因为，所以，解得.
（2）设，则 ，则
在中，由正弦定理有：，
又因为，所以
所以，即.
（3）因为，又因为，
所以，即点在的中垂线上，作轴，
所以，当时，，
所以，
所以
存在点，.
19．【答案】（1）证明：由，
则，
又因为与在函数图象上，
则，且
；
要证，
因为，即证，
不妨设，令，则，
则，
故只需证，
令，，
则，
再令，
则，则在上单调递增，
故，故当时，恒成立，
由，得，
则，
所以在上单调递减，
故，得证.
（2）解：①由等差数列且，
则，解得，
下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件.
则
又因为，
成等差数列，
由，
存在三点，使成等差数列有解，
当时，，故；
当时，，故，
故当时，，
令，且，则，
所以，
令，且，
则，
再令，且，
则，
令，因为在单调递减，且，
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
故，故，
故在上单调递减，且在上也单调递减；
又因为当，；
当时，；
当，且，
综上可知且，
所以且，且，
又因为，
所以若不存在三点，使成等差数列，则或，
故的取值范围为；
②令，.
则所证不等式，
令，，
则，
故在单调递增，则，
即，得证.
【知识点】必要条件、充分条件与充要条件的判断；函数恒成立问题；利用导数研究函数的单调性；利用导数研究函数最大（小）值；等差中项
【解析】【分析】（1）通过已知条件和运算，将所证不等式转化为，再令，转化为证明，然后构造函数研究函数单调性得出函数的值域，从而证出不等式成立.
（2）①先求解存在三点，使成等差数列的情况，由题意得，由此代入消元变形转化为有解，再构造函数求值域，即可得出实数m的取值范围.
②将不等式变形转化，构造函数，再利用函数的单调性证明不等式成立，从而证出不等式成立.
（1）由，
则，又与在上.
则；
且
；
要证，
因为，即证，
不妨设，令，则，
则，
故只需证.
令，，
则，
再令，
则，则在上单调递增，
故，故当时，恒成立，
由，得，
则，所以在上单调递减，
故，得证.
（2）①由等差数列且，则，
解得，
下面先研究若存在三点，使成等差数列的充要条件.
故；
又，
成等差数列，
由，
存在三点，使成等差数列有解.
当时，，故，
当时，，故，
故当时，；
令，且，则，
所以，令，且，
则，
再令，且，
则，
令，因为在单调递减，且，
故当时，，即，则在单调递增；
当时，，即，则在上单调递减，
故，故，
故在上单调递减，且在上也单调递减；
又因为当，；当时，；
当，且.
综上可知且，
所以有，且，且，又，
所以若不存在三点，使成等差数列，则有或，
故的取值范围为；
②令，.
则所证不等式.
令，，
则，
故在单调递增，则有，
即，得证.
