安徽省示范高中皖北协作区2025届高三下学期第27届联考
数学试卷
一、单选题：本大题共8小题，共40分。
1.我国文化体育事业蓬勃发展，正从体育大国向体育强国的目标持续迈进中国代表队在历届夏季奥运会获得的金牌数依次为，，，，，，，，，，，则这届夏季奥运会中国代表队获得的金牌数的第百分位数为( )
A. B. C. D.
2.若集合，为质数，则中元素的个数为( )
A. B. C. D.
3.圆与圆的位置关系是( )
A. 内切 B. 外离 C. 外切 D. 内含
4.在正四棱柱中，，，，，分别为侧棱，，上一点，则的最小值为( )
A. B. C. D.
5.如图，这是一朵美丽的几何花，且这八片花瓣的顶端，，，，，，，恰好可以围成一个正八边形，设，，则( )
A. B. C. D.
6.若，，，则( )
A. B. C. D.
7.同时抛掷三枚质地均匀的骰子，得到向上的点数分别为，，，则，，是直角三角形的三个内角的概率为( )
A. B. C. D.
二、多选题：本大题共3小题，共18分。
8.已知两个非零向量，的夹角为，且，则的取值范围是( )
A. B.
C. D.
9.若为纯虚数，则复数可以为( )
A. B. C. D.
10.已知函数，，则( )
A. 与的奇偶性相同
B. 曲线关于直线对称
C. 的最小正周期是最小正周期的倍
D. 在上单调递减
11.曲线的形状类似希腊字母“”，其方程为若点在曲线上，，，，，则( )
A. 当在第一象限时，
B. 当在第四象限时，
C. 直线与曲线的所有交点的横坐标之和大于
D. 直线与曲线恰有个公共点
三、填空题：本大题共3小题，共15分。
12.函数的值域为 ．
13.已知顶点为的圆锥的外接球为球，为底面圆的一条直径，是母线的中点，为底面圆的中心，为线段的中点，若是边长为的正三角形，则球的表面积为 ，与该圆锥底面所成角的正切值为 ．
14.设表示有限集合中元素的个数已知函数，，，若，其中为常数，且，则的取值范围为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.已知函数，．
若，求曲线在点处的切线方程
证明：“在上单调递增”是“在上单调递增的充要条件．
16.在中，角，，的对边分别为，，，已知．
若，，求
若，，依次成等差数列，求面积的最大值．
17.已知抛物线的准线方程为，直线与交于，两点．
求的标准方程．
若，为坐标原点，证明：．
若为的焦点，且的周长为，求的值．
18.如图，在五面体中，菱形的边长为，，．
证明：且．
求五面体体积的最大值．
当五面体的体积最大时，求平面与平面夹角的余弦值．
19.已知是各项均为正数的数列，事件“”发生的概率为，事件“”发生的概率为．
若随机变量的期望不小于，求的取值范围
已知，若，，，依次成等比数列的概率为，比较与的大小
若为大于的常数，且为偶数，证明在得到的次递推过程中，事件“”发生的次数为奇数，并求的最大值．
参考答案
1.
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8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.解：，．
，
，则，
曲线在点处的切线方程为，即．
证明：在上单调递增，
对成立对成立，
当时，对成立，
在上单调递增．
在上单调递增，
对成立对成立，
当时，对成立，
在上单调递增．
故由知，“在上单调递增”是“在上单调递增的充要条件．
16.解：由及正弦定理，得，
因为，所以．
由余弦定理得，
代入数据，得，解得负值舍去．
因为，，依次成等差数列，所以．
方法一由余弦定理得
，
又，所以，，
所以的面积，
当且仅当或为正三角形时，等号成立，
所以面积的最大值为．
方法二以所在直线为轴，的中垂线为轴建立平面直角坐标系，
则，，设，
因为，
所以，
即，所以，
所以的面积，
当且仅当或为正三角形时，等号成立，
所以面积的最大值为．
17.解：因为抛物线的准线方程为，
所以，所以，
所以的标准方程是；
证明：令，，
联立直线与，
整理得：，
则，，
则，
所以，
所以，即；
解：联立得，
设，，则，，，
所以，
，
所以的周长为．
因为函数为增函数，且，
所以方程的解为，所以满足．
18.证明：在菱形中，，
因为平面，平面，
所以平面．
因为平面平面，所以．
取的中点，的中点，连接，，，
则，所以，
故，，，四点共面．
因为，
所以，，即．
因为四边形为梯形，所以与相交，
所以平面，
又平面，
所以，而，所以．
解：分别作，，垂足分别为，，连接，，，．
易证与平面，平面均垂直．
因为，，，
所以四边形是等腰梯形，
由对称性可知，
设，，
则，，
所以，
，
，
所以五面体的体积，
，
当时，，单调递增，当时，，单调递减．
故五面体体积的最大值为．
以为坐标原点，，，所在直线分别为轴、轴、轴，
建立空间直角坐标系，如图所示，
则，，，．
，，
设平面的法向量为，
则取，得，
，
设平面的法向量为，
则
取，得．
，，
故平面与平面夹角的余弦值为．
19.解：由题可知，有四种可能取值情况，
第一种：，，则；
第二种：，，则；
第三种：，，则；
第四种：，，则；
故，
因为，所以，且，
解得或，
即的取值范围为．
要使，，，依次成等比数列，
则，，，是首项为，公比为的等比数列，
或者，，，是常数列，
则，
，
因为，
所以．
记事件“”为，事件“”为，
设在得到的次递推过程中，有次为，
则这次递推过程可以分成段，各段递推中的次数分别为，，，，
若最后一次用，则，若第一次用，则
则，
若为偶数，则，
因为为偶数，所以为奇数，则为奇数，
因为为偶数，
所以为奇数，
则不可能成立．
若为奇数，则，
因为为偶数，所以为奇数，则为偶数，
同理可得为偶数，
所以可能成立，
所以事件“”发生的次数为奇数．
则，
则，当且仅当，，时取等号，
所以的最大值为．
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