2024-2025学年北师大版数学八年级下册期中模拟试卷
一、单选题
1．下列图案中，可以利用平移来设计的图案是（ ）
A． B． C． D．
2．若三角形的三边分别为a，b，c，则下面四种情况中，构成直角三角形的是（ ）
A．a=2，b=3，c=4 B．a=12，b=5，c=13
C．a=4，b=5，c=6 D．a=7，b=18，c=17
3．下列各式：①3<5；②4x+5>0；③x=3；④x2+x；⑤⑥；其中是不等式的有（ ）
A．2 个 B．3个 C．4个 D．5个
4．如图，，则 （ ）
A． B． C． D．
5．在实数范围内分解因式2a3﹣8a的结果是（ ）
A．2a（a2﹣4） B．2a（a+2）（a﹣2） C．2a（a+4）（a﹣4） D．a（a+2）（a﹣2）
6．如图，将线段AB绕点O顺时针旋转90°得到线段A′B′，那么A（﹣2，5）的对应点A′的坐标是（ ）
A．（2，5） B．（5，2） C．（2，﹣5） D．（5，﹣2）
7．小明拿40元购买雪糕和矿泉水，已知每瓶矿泉水2元，每支雪糕1.5元，他买了5瓶矿泉水，x支雪糕，则列出关于x的不等式正确的是（ ）
A． B．
C． D．
8．如图，一次函数y1＝x+b与一次函数y2＝kx+3的图象交于点P（1，2），则关于不等式x+bkx+3的解集是（ ）
A．x0 B．x0 C．x1 D．x1
9．如图，中，，，的平分线交于点F，平分．给出下列结论：①；②；③；④．正确结论有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
10．如图，在中，为上一点，，垂足为，，垂足为，，连接，为边上的点，连接且．下列结论：①；②；③．其中结论正确的序号是（ ）
A．①② B．②③ C．①③ D．①②③
二、填空题
11．以下等式：①；②；③；④；⑤．从左到右的变形属于因式分解的是 ．
12．不等式组的解集是 ．
13．若多项式能用完全平方公式进行因式分解，则的值为 ．
14．在平面直角坐标系中，已知点 、，现将线段向右平移，使与坐标原点重合，则平移后的坐标是 ．
15．某班学生周末乘车到博物馆，若每车坐4人，则有20人坐不下；若每车坐8人，则有一辆车既不空也不满，该班共有学生 人．
16．如图，在中，的垂直平分线分别交、于点E、F．若是等边三角形，则 °．
17．对于实数x，我们规定表示不大于x的最大整数，例如，若，则x的取值可以是 （任写一个）．
18．如图，在中，，，，且在直线上，将绕点顺时针旋转到位置①，可得到点；将位置①的三角形绕点顺时针旋转到位置②，可得到点，此时；将位置②的三角形绕点顺时针旋转到位置③，可得到点，此时按此规律继续旋转，直到得到点为止，则 ．
三、解答题
19．因式分解：
(1)； (2)．
20．解不等式组，并写出它的所有整数解．
21．△ABC在平面直角坐标系中的位置如图所示．
（1）画出△ABC关于y轴对称的△A1B1C1；
（2）将△ABC向右平移6个单位，作出平移后的△A2B2C2，并写出△A2B2C2各顶点的坐标；
（3）观察△A1B1C1和△A2B2C2，它们是否关于某条直线对称？若是，请在图上画出这条对称轴．
22．如图，为的边的延长线上一点，于点，交于点，且．求证：．
23．某学校计划购买一批毽子和跳绳供学生体育运动使用，已知购买2个毽子和3根跳绳共需元；购买1个毽子和2根跳绳共需8元.
(1)求毽子和跳绳的单价分别是多少元？
(2)若学校购买毽子和跳绳共件，且购买这批体育用品的总费用不超过元，求最多购买多少根跳绳？
24．如图，为等边三角形，，相交于点P，于点Q，，．
(1)求证：；
(2)求的长．
25．问题探究
(1)如图1，在四边形中，，点E是边上一点，，连接，判断的形状，并说明理由．
(2)如图2，在中，，点D为边的延长线上一点，且，过点A作且，连接，求证：．
(3)如图3，在平面直角坐标系中，已知点，连接，在x轴上方是否存在一点B，使得是等腰直角三角形，若存在，请直接写出点B的坐标；若不存在，请说明理由．
26．（1）观察猜想：
在Rt△ABC中，∠BAC=90°，AB=AC，点D在边BC上，连接AD，把△ABD绕点A逆时针旋转90°，点D落在点E处，如图①所示，则线段CE和线段BD的数量关系是 ，位置关系是 ．
（2）探究证明：
在（1）的条件下，若点D在线段BC的延长线上，请判断（1）中结论是还成立吗？请在图②中画出图形，并证明你的判断．
（3）拓展延伸：
如图③，∠BAC≠90°，若AB≠AC，∠ACB=45°，AC=，其他条件不变，过点D作DF⊥AD交CE于点F，请直接写出线段CF长度的最大值．
考答案
1．D
2．B
3．C
4．C
5．B
6．B
7．D
8．C
9．C
10．A
11．④
12．
13．或
14．
15．44
16．30
17．50（答案不唯一）
18．
19．（1）解：；
（2）解：
20．解不等式＞﹣1，得：x＞﹣2，
解不等式2x+1≥5（x﹣1），得：x≤2，
所以不等式组的解集为﹣2＜x≤2，
则不等式组的整数解哟﹣1、0、1、2．
21．（1）由图知，A（0，4），B（﹣2，2），C（﹣1，1），∴点A、B、C关于y轴对称的对称点为A1（0，4）、B1（2，2）、C1（1，1），连接A1B1，A1C1，B1C1，得△A1B1C1；
（2）∵△ABC向右平移6个单位，∴A、B、C三点的横坐标加6，纵坐标不变，作出△A2B2C2，A2（6，4），B2（4，2），C2（5，1）；
（3）△A1B1C1和△A2B2C2是轴对称图形，对称轴为图中直线l：x=3．
22．证明：∵，
∴，
∵，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴．
23．（1）解：设毽子的单价是x元，跳绳的单价是y元，由题意可得，
，
解得：，
答：毽子的单价是2元，跳绳的单价是3元；
（2）解：设学校购买毽子件，则跳绳件，由题意可得，
，
解得：，
∴，
∴最多购买根跳绳．
24．（1）∵为等边三角形，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
25．（1）解：△AED是等腰直角三角形，
证明：∵在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD （SAS）
∴AE=DE，∠AEB=∠EDC，
∵在Rt△EDC中，∠C=90°，
∴∠EDC+∠DEC=90°．
∴∠AEB+∠DEC=90°．
∵∠AEB+∠DEC+∠AED=180°，
∴∠AED=90°．
∴△AED是等腰直角三角形；
（2）
过点E作AD的中点F，连接EF．
∵点F是AD的中点
∴AD=2AF
∵
∴AF=BC
∵，
∴，
∴
∵，AF=BC
∴
∴
∵点F是AD的中点
∴EF是线段AD的垂直平分线
∴AE=DE
（3）情况一：是等腰直角三角形，且AB=OB，
假设点B存在,过点B作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，两条垂线交于点N
∵是等腰直角三角形
∴AB=OB，
∴
∵
∴，
又∵AB=OB
∴
设PB=x，则BN=3-x
∵
∴AN=PB=x
∴
∴
∴
解得：或（舍去）
此时B
情况二：是等腰直角三角形，且AB=AO，
假设点B存在，过点B作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，两条垂线交于点N
同情况一可证：
∴AN=OC=3,BN=AC=2
∴PB=OC-BN=3-2=1,NC=NA+AC=3+2=5
此时B
情况三：是等腰直角三角形，且OB=AO，
假设点B存在，过点B作y轴的垂线，垂足为点P，过点A作x轴的垂线，垂足为点C，两条垂线交于点N
同情况一可证：
∴OP=CO=3,BP=AC=2
故此时B
综上所述，点B坐标为：或或．
26．（1）①∵AB=AC，∠BAC=90°，
∴线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AD=AE，∠BAD=∠CAE，
∴△BAD≌△CAE，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=∠BCA+∠ACE=90°，
∴BD⊥CE；
（2）（1）中的结论仍然成立．理由如下：
如图，∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE，
∴AE=AD，∠DAE=90°，
∵AB=AC，∠BAC=90°
∴∠CAE=∠BAD，
∴△ACE≌△ABD，
∴CE=BD，∠ACE=∠B，
∴∠BCE=90°，即CE⊥BD，
∴线段CE，BD之间的位置关系和数量关系分别为：CE=BD，CE⊥BD．
（3）如图3，过A作AM⊥BC于M，EN⊥AM于N，
∵线段AD绕点A逆时针旋转90°得到AE
∴∠DAE=90°，AD=AE，
∴∠NAE=∠ADM，
易证得Rt△AMD≌Rt△ENA，
∴NE=AM，
∵∠ACB=45°，
∴△AMC为等腰直角三角形，
∴AM=MC，
∴MC=NE，
∵AM⊥BC，EN⊥AM，
∴NE∥MC，
∴四边形MCEN为平行四边形，
∵∠AMC=90°，
∴四边形MCEN为矩形，
∴∠DCF=90°，
∴Rt△AMD∽Rt△DCF，
∴，
设DC=x，
∵∠ACB=45°，AC=，
∴AM=CM=1，MD=1-x，
∴，
∴CF=-x2+x=-（x-）2+，
∴当x=时有最大值，CF最大值为．
