2025 届天津市武清区杨村第一中学高三（下）第 2 次统练数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. = { | 2 ≤ ≤ 5}， = { | + 1 ≤ ≤ 2 1}，若 ∪ = ，则实数 的取值范围是( )
A. ( ∞, 3] B. ( ∞,2) C. [2,3] D. ( ∞,3)
2.“ > ”是“ > + 1”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件
| |+1
3.函数 ( ) = 的大致图象为( ) 2
A. B.
C. D.
1
4.已知函数 ( )图象关于 轴对称，且 ( )在[0,+∞)上单调递减，则 ( 0.225)， ( 3 )， (0. 3 )大小关5
系是( )
1 1
A. ( 3 ) < (0. 3
0.2) < ( 25) B. ( ) < ( 5) < (0. 3
0.2)
5 3 5 2
1 1
C. (0. 30.2) < ( 3 ) < ( 25) D. ( 25) < ( ) < (0. 3
0.2)
5 3 5
5.某批产品检验后的评分，由统计结果制成如图所示的频率分布直方图，
下列说法中正确的是( )
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A. = 0.05 B. 评分的众数估值为70
C. 评分的第25百分位数估值为67.5 D. 评分的平均数估值为76
13 7
6.已知函数 ( ) = sin ( + + ) ( ∈ , 0 < < )在( , )上单调，且 ( ) = 0，若将函数 =
2 2 6 6 12
( )的图象向右平移 ( > 0)个单位长度后关于 轴对称，则 的最小值为( )
2
A. B. C. D.
3 3 4 6
7.下列命题正确的个数是( )
①若直线 上有无数个点不在平面 内，则 // ；
②若直线 与平面 平行，则 与平面 内有任意一条直线都平行；
③如果两条平行直线中的一条直线与一个平面平行，那么另一条直线也与这个平面平行；
④若直线 与平面 平行，则 与平面 内的任意一条直线都没有公共点．
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
2 2
8.已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)的左右焦点分别是 1， 2，左右顶点分别是 1， 2，离心率为2，
6√ 15
点 在 上，若直线 1 ， 2 的斜率之和为 ， 1 2的面积为√ 15，则 =( ) 5
A. 1 B. √ 2 C. √ 3 D. 2
5
9.已知三棱锥 各个顶点都在半径为 的球 的球面上，且 = = ， = = 2√ 2，∠ =
2
90 ，则球心 到平面 的距离为( )
3 5 5
A. B. C. 3 D.
2 2 4
二、填空题：本题共 6 小题，每小题 5 分，共 30 分。
4
10.复数 = 2 的虚部为 ．
1
11.(2 5 )(1 + 3 )6的展开式中，含 2的项的系数为 . (用数字作答)
12.已知圆( 1)2 + ( 2)2 = 9，直线 : + + = 0，圆上至少有三个点到直线 的距离等于1，则 的
范围是 ．
13.五一国际劳动节，学校团委举办“我劳动，我快乐”的演讲比赛，某班有甲、乙、丙等5名同学参加，
抽签确定出场顺序，在“学生甲必须在学生乙的前面出场”的前提下，学生甲、乙相邻出场的概率为 ．
| |, > 0 ( )
14.已知函数 ( ) = { 3 ，若函数 = ( )所有零点的乘积为1，则实数 的取值范围为 ． 3 + 2, ≤ 0
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15.已知平行四边形 的面积为10√ 3，∠ = ， 为线段 的中点．若 为线段 上的一点，且 =
3
2
+ ，则 = ，| |的最小值为 ．
3
三、解答题：本题共 4 小题，共 48 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题12分)
tan 2
在 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ， = 1．
tan
(1)求 ；
(2)设 = 3， = 3√ 7．
①求 ；
②求cos(2 + )的值．
17.(本小题12分)
2 2 √ 2
已知椭圆 :
2
+ 2 = 1( > > 0)的离心率为 ，且过点(2,0)．
2
(1)求椭圆 的标准方程；
(2)已知点 (4,0), (1,0)，过点 作直线 (不与 轴重合)交椭圆 于 , ，连接 交 于点 ，连接 ，直线
与 轴交于点 ．
| |
( )求 的值；
| |
( )若点 在线段 上，求 的取值范围．
18.(本小题12分)
+1
2 1{ 2已知数列 }和{ }，数列{ }的前 项和 = ， = ( ) ( ∈ )，数列{ }满足 = ． 2
(1)求证：数列{ }是等差数列；
(2)求数列{ }的前 项和 ；
(3)若 ≤ 对一切 ∈
恒成立，求实数 的取值范围．
19.(本小题12分)
已知 ( ) = ( + 1) , ≠ 0．
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(1)若 = 1，求 ( )在(0, (0))处的切线方程；
(2)设 ( ) = ′( )，求 ( )的单调区间；
(3)求证：当 > 0时， , ∈ (0,+∞), ( + ) + 1 > ( ) + ( )．
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1.【答案】
2.【答案】
3.【答案】
4.【答案】
5.【答案】
6.【答案】
7.【答案】
8.【答案】
9.【答案】
1
10.【答案】
2
11.【答案】180
12.【答案】[ 3 2√ 2, 3 + 2√ 2]
2
13.【答案】 /0.4
5
14.【答案】(0,2] ∪ (3,+∞)
2
15.【答案】 ； ； ； ；
3
4√ 5 4
； / √ 5
3 3
tan 2 sin cos 2sin
16.【答案】解：(1)因为 = 1，所以 + 1 = ，
tan sin cos sin
sin cos +cos sin 2sin sin( + ) 2sin
所以 = ，即 = ，
sin cos sin sin cos sin
sin 2sin
所以 = ，
sin cos sin
1
因为0 < < ，0 < < ，所以sin ≠ 0，sin ≠ 0，所以cos = ，
2
又0 < < ，所以 = ．
3
(2)①因为 = 3， = 3√ 7， = ，
3
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 cos ，
即63 = 9 + 2
1
2 × 3 × × ，整理得 2 3 54 = 0，
2
而 > 0，所以 = 9．
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√ 3
sin 3× √ 21
②由正弦定理 = = ，得sin = = 2 = ，
sin sin sin 3√ 7 14
5√ 7
由 < ，得 < ，则cos = √ 1 2 = ，
14
2
5√ 3 5√ 7 11
所以sin2 = 2sin cos = ，cos2 = 2 2 1 = 2 × ( ) 1 = ，
14 14 14
11 1 5√ 3 √ 3 1
所以cos(2 + ) = cos2 cos sin2 sin = × × = ．
14 2 14 2 7
= 2 = 2
√ 2
17.【答案】解：(1)由题意可得{ = ，解得{ = √ 2,
2
2 = 2 + 2 = √ 2
2 2
所以椭圆 的标准方程为 + = 1；
4 2
4 1
(2)( )设 ( 0 01, 1), ( 0, 0), ( 3, 3)，记 = , = ， 0 0
则直线 : = + 4，
= + 4
联立{ 2 2 ，消 得( 2 + 2) 2 + 8 + 12 = 0，
+ = 1
4 2
则 = 64 2 48( 2 + 2) = 16 2 96 > 0，故 2 > 6，
12 12
则 0 1 = 2 ，所以 1 = 2 ， +2 ( +2) 0
另一方面直线 : = + 1，
= + 1
联立{ 2 2 ，消 得( 2 2 + 2) + 2 3 = 0，
+ = 1
4 2
3 3
则 0 3 = 2 ，所以 = ， +2 3 ( 2+2) 0
2 2
由于 0 + 0 = 1，得2 20 = 4
2
0， 4 2
| | | 1| 4(
2+2) ( 1)2+2 2 ( 1)2+4 2 5 2
= = 2 = 4
0 0 = 4 0 0 = 4 0 = 1，
| | | 3| +2 ( 4)
2
0 +2
2
0 (
2
0 4) +4
2
0 20 8 0
| | 1
所以 = ；
| | 2
( )由( )的结论可知，点 为线段 的中点，则 = ，
不妨设 , 都在 轴上方，
进一步有 = = 1，
0
由( )联立直线 与椭圆的方程得( 2 + 2) 2 + 8 + 12 = 0，
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8 12
由韦达定理得 0 + 1 = 2 , 0 1 = 2 ， +2 +2
2
2+ 21 ( + ) 2 16
2 16 10
则 + 0 = 1 0 = 1 0 0 1 = 2 = 2 ∈ (2, )，
0 1 0 1 0 1 3(
2+2) 23(1+ 2)
3
因为点 在线段 上，所以 1 < 0，
1
所以 1 ∈ ( , 1)，
0 3
1
所以 = = 1得取值范围为( , 1)．
0 3
18.【答案】解：(1)当 = 1时， 1 = 1 = 1；
当 ≥ 2时， =
2 2
1 = ( 1) = 2 1．
又 1 = 1也符合上式，所以 = 2 1( ∈ ).
因为 +1 = 2( + 1) 1 2 + 1 = 2，
所以数列{ }是等差数列．
+1 2 1+1
1 2 1 2 1
(2)由 = 2 1，得 = ( ) = ( ) = ( ) ， 2 2 2
2 1
故 = = ， 2
1 3 5 2 3 2 1
= 1 + 2 + 3 + + 1 + 2
，
2 2 2 2
1 1 3 2 3 2 1
则 = +
2 22 23
+ + +2 2 +1
，
1 1 1 1 1 2 1
两式相减得 = + 2( + + + )
2 2 22 23 2 2 +1
1 1
2(1 )1
= + 2 × 2 2
1 2 1 3 2 +3
1 2 2 +1
=
2 2 +1
，
1
2
2 +3
即 = 3 ． 2
2 +1 2 1 3 2
(3)因为 +1 = = ，
2 +1 2 2 +1
当 = 1时， +1 > 0，即 +1 > ，当 ≥ 2时，易得 +1 < ，
3
所以 1 < 2 > 3 > 4 > ，故 2是数列{ }中的最大项，且 2 = ． 4
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3
要使 < 对一切 ∈ 恒成立，只需 ≥ 即可， 4
3
故实数 的取值范围为[ , +∞)．
4
19.【答案】解：(1)当 = 1时， ( ) = ( + 1) , ∴ ′( ) = ( + 2) ，
故 ( )在(0, (0))处的切线斜率为 ′(0) = (0 + 2) 0 = 2，而 (0) = (0 + 1) 0 = 1，
所以 ( )在(0, (0))处的切线方程为 1 = 2( 0)，即2 + 1 = 0．
(2)由题意得 ( ) = ′( ) = ( + + 1) ，则 ′( ) = ( 2 + 2 + 2 ) ，
2
令 ′( ) = ( 2 + 2 + 2 ) < 0，即 2 + 2 + 2 < 0, ∴ < 1 ，
令 ′( ) = ( 2 + 2
2
+ 2 ) > 0，即 2 + 2 + 2 > 0, ∴ > 1 ，
2 2
≠ 0时，单调递减区间为( ∞, 1 )，单调递增区间为( 1 ,+∞)．
(3)证明：由(2)可知，当 > 0时， ( ) = ′( )在(0,+∞)上单调递增，而 (0) = ′(0) = + 1 > 0，
即 ′( ) > 0在(0,+∞)上恒成立，故 ( )在(0,+∞)上单调递增，
设 ( ) = ( + ) ( )，则 ′( ) = ′( + ) ′( )，
因为 ∈ (0,+∞)，则 + > > 0，故 ′( + ) > ′( ), ∴ ′( ) > 0，
所以 ( ) = ( + ) ( )在(0,+∞)上单调递增，而 ∈ (0,+∞)，
则 ( ) > (0)，即 ( + ) ( ) > ( ) (0)，而 (0) = 1，
故 ( + ) ( ) > ( ) 1，即 ( + ) + 1 > ( ) + ( )．
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