2024-2025学年重庆市部分区县高二下学期第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知函数，当自变量由变到时，函数的平均变化率为( )
A. B. C. D.
2.已知数列的首项为，则( )
A. B. C. D.
3.抛物线的焦点坐标为( )
A. B. C. D.
4.“十二平均律”是通用的音律体系，明代朱载堉最早用数学方法计算出半音比例，为这个理论的发展做出了重要贡献十二平均律将一个纯八度音程分成十二份，依次得到十三个单音，从第二个单音起，每一个单音的频率与它的前一个单音的频率的比都等于若第一个单音的频率为，则第八个单音的频率为( )
A. B. C. D.
5.直线的图象如图所示，则圆与直线的位置关系为( )
A. 相离 B. 相切 C. 相交 D. 无法确定
6.已知等差数列的公差不为，其前项和为，且，，当取得最小值时，( )
A. B. C. D.
7.等差数列的前项和分别是，且，则( )
A. B. C. D.
8.已知正项数列的前项和为，，且，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数的导函数为，的部分图象如图所示，则( )
A. 在上单调递增 B. 在上单调递减
C. 是的极小值点 D. 是的极小值点
10.已知点，，，，点为曲线：上一点，则( )
A. 存在无数个点，使得为定值
B. 存在无数个点，使得为定值
C. 仅存在个点，使得
D. 仅存在个点，使得
11.若存在点，使得过点可作曲线的两条切线，切点为和，且是锐角，则可能为( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在数列中，，则 ．
13.已知函数在上单调递减，则 ．
14.若偶函数的定义域为，满足，且当时，，则不等式的解集是 ．
四、解答题：本题共5小题，共60分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知抛物线经过双曲线的焦点，且的离心率为．
求的方程；
与的个交点围成一个梯形，求该梯形的高．
16.本小题分
已知函数．
若，求在上的值域；
若，求在上的零点个数．
17.本小题分
如图，平面，，点，位于平面的两侧，，，，四点共面，且，，．
证明：平面．
过点作平面的垂线，指出垂足的位置，并说明理由．
求平面与平面夹角的余弦值．
18.本小题分
若函数的导函数满足对恒成立，则称为函数．
试问是否为函数？说明你的理由．
若为函数，求的取值范围．
19.本小题分
已知是由自然数组成的无穷数列，该数列前项的最大值记为，第项之后各项的最小值记为．
若，写出的值．
若为定值，且，证明：是等比数列．
若，证明：的项只能是或或，且有无穷多项为．
参考答案
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15.因为抛物线过双曲线的焦点，所以令可得，
所以，又，
解得，
所以的方程．
由抛物线可得，
代入双曲线的方程可得，，
解得或，
所以梯形的高为．
16.时，，此时，
令，．
则，则在上单调递增，
则，故在上单调递增，
则；
由题，令，．
则，，
时，，根据正弦函数性质知在上的零点个数为；
时，所以，
故在上单调递减．
又，则，使．
则，
故在上单调递增，在上单调递减．
又注意到，，结合在上单调递增，
则时，，，又，
结合在上单调递减则存在，使．
综上，当时，在上的零点个数为，
当时，在上的零点个数为．
17.
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19.由可得为，
又，
，所以，
，所以，
，所以，
，所以．
若，则，
因为，所以，
于是，
所以，即是公比为等比数列．
因为，所以，
，即对任意，，
假设中存在大于的项，
设为满足的最小正整数，则，并且对任意，
因为，所以，且，
于是，
与矛盾，从而对于任意，都有，即的项只能是或或，
因为对任意，，所以．
假定有有穷多项为，且是中最后一个，则或，而，
于是或，与矛盾．
综上，的项只能是或或，且有无穷多项为．
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