4.1 成对数据的统计相关性
课标要求 1.结合实例,体会两个变量间的相关关系. 2.掌握相关关系的判断,能根据散点图对线性相关关系进行判断. 3.结合实例,会通过相关系数比较成对数据的相关性. 4.了解样本相关系数与向量夹角的关系.
【知识梳理】
1.变量之间的常见关系
分类 概念
函数 关系 两个变量之间具有 的对应关系
相关 关系 如果两个变量所取的值之间存在着既有某种规律性而又不十分 的关系,则称这两个变量之间存在着相关关系
不相关 两个变量间没有任何关系
温馨提醒 相关关系与函数关系的区别和联系
(1)相同点:两者均是指两个变量的关系;
(2)不同点:①函数关系是一种确定的关系,相关关系是一种非确定的关系.②函数关系是一种因果关系,而相关关系不一定是因果关系,也可能是伴随关系.
2.散点图
(1)定义
在建立直角坐标系中,每对数据都可在直角坐标系中用一个点表示,这些点称为散点,由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图.
(2)线性相关关系
如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线,则称它们有线性相关关系,简称为线性相关.
(3)函数关系
如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量,各观测点落在 上,则它们就是函数关系.
3.相关系数
(1)线性相关系数
一般地，对n个成对观测数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)，我们用{xi}表示数据x1，x2，…，xn，{yi}表示数据y1，y2，…，yn，当sxsy≠0时，我们称rxy＝＝＝______________为{xi}和{yi}相关系数.
(2)相关系数的性质
①rxy的取值范围是[-1,1].当0
③|rxy|越接近于0,变量x,y的线性相关程度越低.
④rxy具有对称性,即rxy=ryx.
⑤rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量.rxy=0只表示两个变量之间不存在线性相关关系,并不说明变量之间没有关系,它们之间可能存在非线性关系.
4.相关系数与向量的夹角
若我们把两组成对数据分别看作n维空间的两个向量(x1,x2,…,xn),(y1,y2,…,yn),
则a＝(x1－，x2－，…，xn－)，b＝(y1－，y2－，…，yn－)，从而有
cos〈a，b〉＝＝∈[－1，1]，
(1)当夹角属于时,余弦值越大表示两个向量的夹角越小,两组数据的正相关程度越高;余弦值越小表示两个向量的夹角越大,两组数据的正相关程度越低.
(2)当夹角属于时,余弦值越大表示两个向量的夹角越小,两组数据的负相关程度越低;余弦值越小表示两个向量的夹角越大,两组数据的负相关程度越高.
(3)当夹角为时,余弦值为0,这说明两组数据不存在线性相关关系.
【自测检验】
1.思考辨析,判断正误
(1)对于给定的两个变量的统计数据,都可以作出散点图. ( )
(2)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系. ( )
(3)相关系数是研究变量之间线性相关程度的量. ( )
(4)若r=±1,则说明x,y之间具有完全的线性关系. ( )
(5)若r=0,则说明成对样本数据间是函数关系. ( )
(6)相关系数r的范围是(-∞,+∞). ( )
2.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.任何两个变量都具有相关关系
B.圆的周长与该圆的半径具有相关关系
C.某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
D.根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系
3.下面对相关系数r描述正确的是 ( )
A.r>0表明两个变量负相关
B.r>1表明两个变量正相关
C.r只能大于零
D.越接近于0,两个变量相关关系越弱
4.(多选)下面的各图中,散点图与相关系数r符合的是 ( )
题型一 散点图与相关性
例1 (1)(多选)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示,则下列说法正确的是 ( )
A.沸点与海拔高度呈正相关
B.沸点与气压呈正相关
C.沸点与海拔高度呈负相关
D.气压与海拔高度呈负相关
(2)某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系:
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
①请作出这些数据的散点图;
②你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗
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迁移 对于本例(2),若近似成线性相关关系,请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.
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思维升华 两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验:借助积累的经验进行分析判断.
(2)利用散点图:通过散点图,观察它们的分布是否存在一定的规律,直观地进行判断.如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近,那么这两个变量就是线性相关的,注意不要受个别点的位置的影响.
训练1 根据下面四个散点图中的点的分布状态,直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是 ( )
题型二 对相关系数的理解
例2 (1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A,B两变量的线性相关性做试验,并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表:
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
则哪位同学的试验结果体现A,B两变量有更强的线性相关性 ( )
A.甲 B.乙
C.丙 D.丁
(2)在一组数据为(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)(n≥2,x1,x2,…,xn不全相等)的散点图中,若这组样本数据的相关系数为-1,则所有的样本点(xi,yi)(i=1,2,…,n)满足的方程可以是 ( )
A.y=-x+1 B.y=x-1
C.y=x+1 D.y=-x2
思维升华 相关系数的性质
(1)r的绝对值越接近0,相关性越弱;
(2)r的绝对值越接近1,相关性越强.
训练2 (多选)对两个变量的相关系数r,下列说法正确的是 ( )
A.|r|越大,相关程度越大
B.|r|越小,相关程度越大
C.|r|趋近于0时,没有线性相关关系
D.|r|越接近1时,线性相关程度越强
题型三 相关系数的计算及判断
例3 现随机抽取了某中学高一10名在校学生,他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下:
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
(1)求,.
(2)根据数据资料，x与y是否具有线性相关关系，请用相关系数加以说明.
参考数据：x＝116 584，y＝47 384，xiyi＝73 796
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思维升华 利用相关系数r检验线性相关关系,需要应用公式计算出r的值,由于数据较大,需要借助计算器.
训练3 假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料:
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
已知x＝90，y＝140.78，xiyi＝112.3.
(1)求,;
(2)对x,y进行线性相关性检验.
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题型四 用向量夹角来分析相关关系
例4 有人调查了8名男大学生的身高及其父亲的身高,得到的数据如表所示:
编号i 1 2 3 4 5 6 7 8
父亲身 高Hi/cm 174 170 173 169 182 172 180 172
儿子身 高Wi/cm 176 176 171 170 185 176 180 174
用向量夹角来分析题中两组数据之间的相关关系.
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思维升华 用向量夹角来判断相关关系是判断两个变量x和y是否具有相关关系的又一种方法,应熟练掌握.
训练4 一个车间为了规定工时定额,需要确定加工零件所花费的时间,为此进行了9次试验,收集数据如表所示.
零件数 Hi/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90
加工时间 Wi/min 62 68 75 81 89 95 102 108 112
用向量夹角来分析表中两组数据的相关关系,求相关系数r.
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【课堂达标】
1.(多选)下列说法正确的是 ( )
A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B.同一物体的加速度与作用力是函数关系
C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系
2.下列两个变量相关程度最强的是 ( )
A.商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9
B.商品销售额和商业利润率的相关系数是0.84
C.平均流通费用率和商业利润率的相关系数是-0.94
D.商品销售价格和商品销售量的相关系数是-0.91
3.(多选)已知某次考试之后,班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本,他们的数学、物理成绩(单位:分)对应如下表:
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95
给出散点图如下:
根据以上信息,判断下列结论错误的为 ( )
①根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系;
②根据散点图,可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系;
③从全班随机抽取甲、乙两名同学,若甲同学数学成绩为80分,乙同学数学成绩为60分,则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
A.① B.②
C.③ D.以上都错误
4.一唱片公司研究预支出费用x(十万元)与唱片销售量y(千张)之间的关系，从其所发行的唱片中随机抽选了10千张，得到如下的资料：xi＝28，x＝303.4，yi＝75，y＝598.5，xiyi＝237，则y与x的相关系数r的绝对值为________.
4.1 成对数据的统计相关性
新知导学
知识梳理
1.确定性 确定
2.(3)一条直线
3.(1)
(2)①正相关 负相关
自测检测
1.(1)√
(2)× 提示 相关关系是一种非确定的关系.
(3)√ (4)√
(5)× 提示 若r=0,则说明成对样本数据间不存在线性相关关系.
(6)× 提示 相关系数的范围是[-1,1].
2.CD [A显然不对,B是函数关系,C,D正确.]
3.D [因r>0表明两个变量正相关,故A错误;
又因 r∈[-1,1],故B,C错误;
两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1,表明两个变量的线性相关性越强, r的绝对值越接近于0,表示两个变量之间的线性相关性越弱,故D正确.]
4.ACD [因为相关系数r的绝对值越接近1,线性相关程度越高,且r>0时正相关,r<0时负相关,故观察各选项,易知B不符合,A,C,D均符合.故选ACD.]
题型剖析
例1 (1)BCD [由左图知气压随海拔高度的增加而减小,由右图知沸点随气压的升高而升高,所以气压与海拔高度呈负相关,沸点与气压呈正相关,沸点与海拔高度呈负相关.]
(2)解 ①以x轴表示树木的树龄,y轴表示树木的体积,可得相应的散点图如图所示.
②由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势,且散点落在一条直线附近,所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系且呈正相关.
迁移 解 近似拟合直线如图所示.
训练1 C [散点图A中的点无规则的分布,范围很广,表明两个变量之间的相关程度很小;
B中所有的点都在同一条直线上,是函数关系;
C中点的分布在一条带状区域上,即点分布在一条直线的附近,是线性相关关系;
D中的点也分布在一条带状区域内,但不是线性的,而是一条曲线附近,所以不是线性相关关系,故选C.]
例2 (1)D (2)A [(1)|r|越接近1,相关性越强,故选D.
(2)∵这组样本数据的相关系数为-1,∴这一组数据(x1,y1),(x2,y2),…,(xn,yn)线性相关,且是负相关.∴可排除B,C,D,故选A.]
训练2 AD [对于A,|r|越大,相关程度越大,A正确;
对于B,|r|越小,相关程度越小,B错误;
对于C,|r|趋近于0时,线性相关关系越弱,C错误;
对于D,|r|越接近1时,线性相关程度越强,D正确.]
例3 解 (1)(120+108+…+99+108)=107.8,
(84+64+…+57+71)=68.
(2) xiyi－10＝73 796－10×107.8×68＝492，
x－102＝116 584－10×107.82＝375.6，
y－102＝47 384－10×682＝1 144.
所以相关系数r=≈0.750 6.
由此可看出这10名学生的两次数学成绩具有线性相关关系.
训练3 解 (1)=4,
=5.
(2) xiyi－5＝112.3－5×4×5＝12.3，
x－52＝90－5×42＝10，
y－52＝140.78－125＝15.78，
所以r=≈0.979.
所以x与y之间具有很强的线性相关关系.
例4 解 由于=174,=176,将上表中的两组数据分别减去,,
记h=(H1-,H2-,…,H8-),w=(W1-,W2-,…,W8-),
则可得h=(0,-4,-1,-5,8,-2,6,-2),w=(0,0,-5,-6,9,0,4,-2).
于是有h·w=5+30+72+24+4=135,
|h|=,
|w|=,
cos
由此可以看出,其余弦值接近1,也就是两向量的夹角接近0,这说明这两组数据正相关程度高.
训练4 解 由于=50,=88,
将表中的两组数据分别减去,,记
h=(H1-,H2-,…,H9-),
w=(W1-,W2-,…,W9-).
则h=(-40,-30,-20,-10,0,10,20,30,40),w=(-26,-20,-13,-7,1,7,14,20,24).
∴h·w=3 880,|h|=20,
|w|=2.
∴cos
由此看出,其余弦值接近于1,也就是两向量的夹角接近于0,这说明这两组数据正相关程度高.
课堂达标
1.ABD [闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系,但具有相关性,是相关关系,所以A正确;
物体的加速度与作用力的关系是函数关系,B正确;
产品的成本与产量之间是相关关系,C错误;
广告费用与销售量之间是相关关系,D正确.]
2.C [当|r|越接近1时,样本数据的线性相关程度越强;当|r|越接近0时,样本数据的线性相关程度越弱,-0.94的绝对值最大,故选C.]
3.BC [由散点图知,各点都分布在一条直线附近,故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系,但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系,故①正确,②错误;利用概率的知识进行预测,得到的结论有一定的随机性,故③错误.]
4.0.3 [r＝
＝＝0.3.](共72张PPT)
4.1 成对数据的统计相关性
第4章 统计
1.结合实例，体会两个变量间的相关关系.
2.掌握相关关系的判断，能根据散点图对线性相关关系进行判断.
3.结合实例，会通过相关系数比较成对数据的相关性.
4.了解样本相关系数与向量夹角的关系.
课标要求
新知导学
题型剖析
课时精练
内容索引
新知导学
1.变量之间的常见关系
知识梳理
分类 概念
函数关系 两个变量之间具有________的对应关系
相关关系 如果两个变量所取的值之间存在着既有某种规律性而又不十分______的关系，则称这两个变量之间存在着相关关系
不相关 两个变量间没有任何关系
确定性
确定
相关关系与函数关系的区别和联系
(1)相同点：两者均是指两个变量的关系；
(2)不同点：①函数关系是一种确定的关系，相关关系是一种非确定的关系.②函数关系是一种因果关系，而相关关系不一定是因果关系，也可能是伴随关系.
温馨提醒
2.散点图
(1)定义
在建立直角坐标系中，每对数据都可在直角坐标系中用一个点表示，这些点称为散点，由坐标系及散点形成的数据图叫作散点图.
(2)线性相关关系
如果两个变量之间的关系近似地表现为一条直线，则称它们有线性相关关系，简称为线性相关.
(3)函数关系
如果一个变量的取值完全依赖于另一个变量，各观测点落在一条直线上，则它们就是函数关系.
(2)相关系数的性质
①rxy的取值范围是[－1，1].当0＜rxy＜1时，称变量x和变量y________；当－1＜rxy＜0时，称变量x和变量y________.
②|rxy|越接近于1，变量x，y的线性相关程度越高，这时数据(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xn，yn)分散在一条直线附近.
③|rxy|越接近于0，变量x，y的线性相关程度越低.
④rxy具有对称性，即rxy＝ryx.
⑤rxy仅仅是变量x与y之间线性相关程度的一个度量.rxy＝0只表示两个变量之间不存在线性相关关系，并不说明变量之间没有关系，它们之间可能存在非线性关系.
正相关
负相关
1.思考辨析，判断正误
(1)对于给定的两个变量的统计数据，都可以作出散点图.( )
(2)相关关系是两个变量之间的一种确定的关系.( )
提示 相关关系是一种非确定的关系.
(3)相关系数是研究变量之间线性相关程度的量.( )
(4)若r＝±1，则说明x，y之间具有完全的线性关系.( )
(5)若r＝0，则说明成对样本数据间是函数关系.( )
提示 若r＝0，则说明成对样本数据间不存在线性相关关系.
(6)相关系数r的范围是(－∞，＋∞).( )
提示 相关系数的范围是[－1，1].
自测检验
√
×
√
√
×
×
2.(多选)下列说法正确的是
A.任何两个变量都具有相关关系
B.圆的周长与该圆的半径具有相关关系
C.某商品的需求量与该商品的价格是一种非确定性关系
D.根据散点图可判断两变量是否具有线性相关关系
√
√
A显然不对，B是函数关系，C，D正确.
3.下面对相关系数r描述正确的是
A.r>0表明两个变量负相关 B.r>1表明两个变量正相关
C.r只能大于零 D.|r|越接近于0，两个变量相关关系越弱
√
因r＞0表明两个变量正相关，故A错误；
又因 r∈[－1，1]，故B，C错误；
两个变量之间的相关系数r的绝对值越接近于1，表明两个变量的线性相关性越强， r的绝对值越接近于0，表示两个变量之间的线性相关性越弱，故D正确.
4.(多选)下面的各图中，散点图与相关系数r符合的是
√
√
√
因为相关系数r的绝对值越接近1，线性相关程度越高，且r＞0时正相关，r＜0时负相关，故观察各选项，易知B不符合，A，C，D均符合.故选ACD.
题型剖析
(1)(多选)某中学的兴趣小组在某座山测得海拔高度、气压和沸点的六组数据绘制成散点图如图所示，则下列说法正确的是
√
题型一 散点图与相关性
例1
A.沸点与海拔高度呈正相关 B.沸点与气压呈正相关
C.沸点与海拔高度呈负相关 D.气压与海拔高度呈负相关
√
√
由左图知气压随海拔高度的增加而减小，由右图知沸点随气压的升高而升高，所以气压与海拔高度呈负相关，沸点与气压呈正相关，沸点与海拔高度呈负相关.
(2)某种木材体积与树木的树龄之间有如下的对应关系：
树龄 2 3 4 5 6 7 8
体积 30 34 40 60 55 62 70
①请作出这些数据的散点图；
②你能由散点图发现木材体积与树木的树龄近似成什么关系吗？
①以x轴表示树木的树龄，y轴表示树木的体积，可得相应的散点图如图所示.
②由散点图发现木材体积随着树龄的增加而呈增加的趋势，且散点落在一条直线附近，所以木材的体积与树龄近似成线性相关关系且呈正相关.
迁移
对于本例(2)，若近似成线性相关关系，请画出一条直线来近似地表示这种线性相关关系.
近似拟合直线如图所示.
思维升华
两个变量是否相关的两种判断方法
(1)根据实际经验：借助积累的经验进行分析判断.
(2)利用散点图：通过散点图，观察它们的分布是否存在一定的规律，直观地进行判断.如果发现点的分布从整体上看大致在一条直线附近，那么这两个变量就是线性相关的，注意不要受个别点的位置的影响.
√
根据下面四个散点图中的点的分布状态，直观上判断两个变量之间具有线性相关关系的是
训练1
散点图A中的点无规则的分布，范围很广，表明两个变量之间的相关程度很小；
B中所有的点都在同一条直线上，是函数关系；
C中点的分布在一条带状区域上，即点分布在一条直线的附近，是线性相关关系；
D中的点也分布在一条带状区域内，但不是线性的，而是一条曲线附近，所以不是线性相关关系，故选C.
(1)甲、乙、丙、丁四位同学各自对A，B两变量的线性相关性做试验，并用回归分析方法分别求得相关系数r如下表：
√
题型二 对相关系数的理解
例2
甲 乙 丙 丁
r 0.82 0.78 0.69 0.85
则哪位同学的试验结果体现A，B两变量有更强的线性相关性
A.甲 B.乙 C.丙 D.丁
|r|越接近1，相关性越强，故选D.
√
思维升华
相关系数的性质
(1)r的绝对值越接近0，相关性越弱；
(2)r的绝对值越接近1，相关性越强.
√
(多选)对两个变量的相关系数r，下列说法正确的是
A.|r|越大，相关程度越大 B.|r|越小，相关程度越大
C.|r|趋近于0时，没有线性相关关系 D.|r|越接近1时，线性相关程度越强
训练2
√
对于A，|r|越大，相关程度越大，A正确；
对于B，|r|越小，相关程度越小，B错误；
对于C，|r|趋近于0时，线性相关关系越弱，C错误；
对于D，|r|越接近1时，线性相关程度越强，D正确.
现随机抽取了某中学高一10名在校学生，他们入学时的数学成绩x(分)与入学后第一次考试的数学成绩y(分)如下：
题型三 相关系数的计算及判断
例3
学生号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
x 120 108 117 104 103 110 104 105 99 108
y 84 64 84 68 69 68 69 46 57 71
思维升华
利用相关系数r检验线性相关关系，需要应用公式计算出r的值，由于数据较大，需要借助计算器.
假设关于某种设备的使用年限x(年)与所支出的维修费用y(万元)有如下统计资料：
训练3
x 2 3 4 5 6
y 2.2 3.8 5.5 6.5 7.0
(2)对x，y进行线性相关性检验.
有人调查了8名男大学生的身高及其父亲的身高，得到的数据如表所示：
题型四 用向量夹角来分析相关关系
例4
编号i 1 2 3 4 5 6 7 8
父亲身高Hi/cm 174 170 173 169 182 172 180 172
儿子身高Wi/cm 176 176 171 170 185 176 180 174
用向量夹角来分析题中两组数据之间的相关关系.
思维升华
用向量夹角来判断相关关系是判断两个变量x和y是否具有相关关系的又一种方法，应熟练掌握.
一个车间为了规定工时定额，需要确定加工零件所花费的时间，为此进行了9次试验，收集数据如表所示.
训练4
零件数Hi/个 10 20 30 40 50 60 70 80 90
加工时间Wi/min 62 68 75 81 89 95 102 108 112
用向量夹角来分析表中两组数据的相关关系，求相关系数r.
课堂达标
1.(多选)下列说法正确的是
A.闯红灯与交通事故发生率的关系是相关关系
B.同一物体的加速度与作用力是函数关系
C.产品的成本与产量之间的关系是函数关系
D.广告费用与销售量之间的关系是相关关系
√
√
√
闯红灯与发生交通事故之间不是因果关系，但具有相关性，是相关关系，所以A正确；
物体的加速度与作用力的关系是函数关系，B正确；
产品的成本与产量之间是相关关系，C错误；
广告费用与销售量之间是相关关系，D正确.
2.下列两个变量相关程度最强的是
A.商品销售额和商品销售量的相关系数是0.9
B.商品销售额和商业利润率的相关系数是0.84
C.平均流通费用率和商业利润率的相关系数是－0.94
D.商品销售价格和商品销售量的相关系数是－0.91
√
当|r|越接近1时，样本数据的线性相关程度越强；当|r|越接近0时，样本数据的线性相关程度越弱，－0.94的绝对值最大，故选C.
3.(多选)已知某次考试之后，班主任从全班同学中随机抽取一个容量为8的样本，他们的数学、物理成绩(单位：分)对应如下表：
学生编号 1 2 3 4 5 6 7 8
数学成绩 60 65 70 75 80 85 90 95
物理成绩 72 77 80 84 88 90 93 95
给出散点图如下：
根据以上信息，判断下列结论错误的为
①根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系；
②根据散点图，可以判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系；
③从全班随机抽取甲、乙两名同学，若甲同学数学成绩为80分，乙同学数学成绩为60分，则甲同学的物理成绩一定比乙同学的物理成绩高.
A.① B.② C.③ D.以上都错误
√
√
由散点图知，各点都分布在一条直线附近，故可以判断数学成绩与物理成绩具有线性相关关系，但不能判断数学成绩与物理成绩具有一次函数关系，故①正确，②错误；利用概率的知识进行预测，得到的结论有一定的随机性，故③错误.
0.3
课时精练
√
1.我们常说“吸烟有害健康”，吸烟与健康之间的关系是
A.正相关 B.负相关 C.无相关 D.不确定
烟吸越多，则健康程度越差.
√
2.下面给出了两个变量y与x对应的相关系数r，其中变量之间线性相关程度最高的是
A.r为－0.99 B.r为0.80 C.r为0.50 D.r为－0.25
|r|的值越接近1，变量之间线性相关程度越高，故选A.
√
3.(多选)下列关系中，属于相关关系的是
A.正方形的边长与面积之间的关系 B.农作物的产量与施肥量之间的关系
C.出租车费与行驶的里程 D.降雪量与交通事故的发生率之间的关系
√
A中，正方形的边长与面积之间的关系是函数关系；
B中，农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系，但具有相关关系；
C为确定的函数关系；
D中，降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.
√
4.对两个变量x，y进行线性相关检验，得线性相关系数r1＝0.785 9，对两个变量u，v进行线性相关检验，得线性相关系数r2＝－0.956 8，则下列判断正确的是
A.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量x与y的线性相关性较强
B.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量x与y的线性相关性较强
C.变量x与y正相关，变量u与v负相关，变量u与v的线性相关性较强
D.变量x与y负相关，变量u与v正相关，变量u与v的线性相关性较强
r1>0，则变量x与y正相关；r2<0，则变量u与v负相关；|r|越接近1，线性相关性较强，故C正确.
√
5.(多选)如图是根据x，y的观测数据(xi，yi)(i＝1，2，…，10)得到的散点图，由这些散点图可以判断变量x，y具有线性相关关系的图是
√
由题图知，B，C的点呈片状分布，没有明显的线性相关关系；
而图A，D中的点均在一条直线附近，具有线性相关关系.
一、三
因为r＞0，所以大多数的点都落在第一、三象限.
7.如图是x和y的一组样本数据的散点图，去掉一组数据________后，剩下的4组数据的相关系数最大.
D(3，10)
经判断，去掉D(3，10)这一组数据后，其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近，即两变量的线性相关性最强，此时相关系数最大.
－1
8.在一次试验中，测得(x，y)的四组值分别为(1，2)，(2，0)，(4，－4)，(－1，6)，则y与x的相关系数为________.
9.维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量，这个指标越高，耐热水性能也越好，而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素，在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标，为此必须找出它们之间的关系，现安排一批实验，获得如下数据.
甲醛浓度x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化度(y) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
10.某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表：
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
√
11.(多选)下表是某城市在2024年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表，已知该城市各月最低温与最高温具有相关关系，根据该表，下列结论正确的是
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低温 －12 －3 1 －2 7 17 19 23 25 10
A.最低温与最高温为正相关
B.每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加
C.月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
D.1月至4月的月温差相对于7月至10月，波动性更大
√
√
对于A，由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系，由数据分析可得最低温与最高温为正相关，故A正确；
对于B，由表中数据，每月最高温和最低温的平均值依次为：－3.5，3，5，4.5，12，20.5，23，26.5，28，15.5，在前8个月不是逐月增加，故B错误；
对于C，由表中数据，月温差依次为：17，12，8，13，10，7，8，7，6，11，月温差的最大值出现在1月，故C正确；
对于D，由C的结论，分析可得，故D正确.
12.(多选)在某地区随机抽取了8对母女的身高数据，如表
母亲身高x/cm 154 157 158 159 160 161 162 163
女儿身高y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166
√
√
√
由成对样本数据可得，
由r≈0.963>0，8个成对样本数据呈正相关关系，A错误；
对选项C，平移后的成对样本数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致，故相关性完全相同，C正确；
根据统计学思想，D正确.故选B，C，D.
13.以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据.
散点图如图：
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据的散点图；
14.为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件，并测量其尺寸(单位：cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸：
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.04 9.95
(1)求(xi，yi)的相关系数r，并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.3，则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小)；
因为1，2，3，…，16的平均数为8.5，课时精练38 成对数据的统计相关性
(分值:100分)
单选题每小题5分,共15分;多选题每小题6分,共24分.
一、基础巩固
1.我们常说“吸烟有害健康”,吸烟与健康之间的关系是 ( )
正相关 负相关
无相关 不确定
2.下面给出了两个变量y与x对应的相关系数r,其中变量之间线性相关程度最高的是 ( )
r为-0.99 r为0.80
r为0.50 r为-0.25
3.(多选)下列关系中,属于相关关系的是 ( )
正方形的边长与面积之间的关系
农作物的产量与施肥量之间的关系
出租车费与行驶的里程
降雪量与交通事故的发生率之间的关系
4.对两个变量x,y进行线性相关检验,得线性相关系数r1=0.785 9,对两个变量u,v进行线性相关检验,得线性相关系数r2=-0.956 8,则下列判断正确的是 ( )
变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量x与y的线性相关性较强
变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量x与y的线性相关性较强
变量x与y正相关,变量u与v负相关,变量u与v的线性相关性较强
变量x与y负相关,变量u与v正相关,变量u与v的线性相关性较强
5.(多选)如图是根据x,y的观测数据(xi,yi)(i=1,2,…,10)得到的散点图,由这些散点图可以判断变量x,y具有线性相关关系的图是 ( )
A B
C D
6.已知某个样本点中的变量x,y线性相关,相关系数r>0,平移坐标系,则在以(,)为坐标原点的坐标系下的散点图,大多数的点都落在第 象限.
7.如图是x和y的一组样本数据的散点图,去掉一组数据 后,剩下的4组数据的相关系数最大.
8.在一次试验中,测得(x,y)的四组值分别为(1,2),(2,0),(4,-4),(-1,6),则y与x的相关系数为 .
9.(10分)维尼纶纤维的耐热水性能的好坏可以用指标“缩醛化度”y来衡量,这个指标越高,耐热水性能也越好,而甲醛浓度是影响缩醛化度的重要因素,在生产中常用甲醛浓度x(克/升)去控制这一指标,为此必须找出它们之间的关系,现安排一批实验,获得如下数据.
甲醛浓 度x 18 20 22 24 26 28 30
缩醛化 度(y) 26.86 28.35 28.75 28.87 29.75 30.00 30.36
求样本中甲醛浓度与缩醛化度之间的相关系数r.
参考数据：xi＝168，yi＝202.94，xiyi＝4 900.16，x＝4 144，y＝5 892.0136.
10.(10分)某农场经过观测得到水稻产量和施化肥量的统计数据如表:
施化肥量x 15 20 25 30 35 40 45
水稻产量y 330 345 365 405 445 450 455
求水稻产量与施化肥量的样本相关系数,并判断相关性的强弱.
样本相关系数r＝.
参考数据：xi＝210，yi＝2 795，x＝7 000，y＝1 132 725，xiyi＝87 175.
二、综合运用
11.(多选)下表是某城市在2024年1月份至10月份各月最低温与最高温(℃)的数据表,已知该城市各月最低温与最高温具有相关关系,根据该表,下列结论正确的是 ( )
月份 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
最高温 5 9 9 11 17 24 27 30 31 21
最低温 -12 -3 1 -2 7 17 19 23 25 10
最低温与最高温为正相关
每月最低温与最高温的平均值在前8个月逐月增加
月温差(最高温减最低温)的最大值出现在1月
1月至4月的月温差相对于7月至10月,波动性更大
12.(多选)在某地区随机抽取了8对母女的身高数据,如表
母亲身高 x/cm 154 157 158 159 160 161 162 163
女儿身高 y/cm 155 156 159 162 161 164 165 166
参考数据：xi＝1 274，yi＝1 288，xiyi＝205 194，x＝202 944，y＝207 484.
下列说法正确的是 ( )
8个成对样本数据呈负相关
成对样本数据中变量x和变量y的样本相关系数r约为0.963
用关于均值为零点(,),平移后的成对样本数据(x1-,y1-),(x2-,y2-),…,(x8-,y8-)与原始成对样本数据相关性完全相同
用样本相关系数r可以估计总体两个变量的相关系数
13.(13分)以下是收集到的新房屋的销售价格y(万元)和房屋的大小x(m2)的数据.
房屋大小x/m2 115 110 80 135 105
销售价格y/万元 24.8 21.6 18.4 29.2 22
(1)画出数据的散点图;
(2)求相关系数r,并作出评价.
参考数据：xi＝545，yi＝116，xiyi＝12 952，x＝60 975，y＝2 756.8.
三、创新拓展
14.(13分)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程,检验员每隔30 min从该生产线上随机抽取一个零件,并测量其尺寸(单位:cm).下面是检验员在一天内依次抽取的16个零件的尺寸:
抽取次序 1 2 3 4 5 6 7 8
零件尺寸 9.95 10.12 9.96 9.96 10.01 9.92 9.98 10.04
抽取次序 9 10 11 12 13 14 15 16
零件尺寸 10.26 9.91 10.13 10.02 9.22 10.04 10.04 9.95
经计算得＝9.97，s＝≈0.212，
≈18.439，
(xi－)(yi－)＝－2.78，
x≈1 591.134，≈0.09，
其中xi为抽取的第i个零件的尺寸，抽取次序为yi，样本的相关系数
r＝.
(1)求(xi,yi)的相关系数r,并回答是否可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小(若|r|<0.3,则可以认为零件的尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小);
(2)一天内抽检零件中,如果出现了尺寸在(-3s,+3s)之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况,需对当天的生产过程进行检查.
①从这一天抽检的结果看,是否需对当天的生产过程进行检查
②在(-3s,+3s)之外的数据称为离群值,试剔除离群值,估计这条生产线当天生产的零件尺寸的均值与标准差(精确到0.01).
课时精练38 成对数据的统计相关性
1.B [烟吸越多,则健康程度越差.]
2.A [|r|的值越接近1,变量之间线性相关程度越高,故选A.]
3.BD [A中,正方形的边长与面积之间的关系是函数关系;
B中,农作物的产量与施肥量之间不具有严格的函数关系,但具有相关关系;
C为确定的函数关系;
D中,降雪量与交通事故的发生率之间具有相关关系.]
4.C [r1>0,则变量x与y正相关;r2<0,则变量u与v负相关;|r|越接近1,线性相关性较强,故C正确.]
5.AD [由题图知,B,C的点呈片状分布,没有明显的线性相关关系;
而图A,D中的点均在一条直线附近,具有线性相关关系.]
6.一、三 [因为r>0,所以大多数的点都落在第一、三象限.]
7.D(3,10) [经判断,去掉D(3,10)这一组数据后,其他4组数据对应的点都集中在某一条直线附近,即两变量的线性相关性最强,此时相关系数最大.]
8.-1 [由题意得＝1.5，＝1，x＝22，
y＝56，xiyi＝－20，
相关系数r＝＝－1.]
9.解 =24,,
r＝
＝≈0.96.
10.解 由已知数据计算可知,
＝xi＝30，＝yi≈399.3，
所以样本相关系数r＝＝
≈0.97，
由于0.97与1十分接近，所以水稻产量与施化肥量的相关性强.
11.ACD [对于A,由题意可知该城市的各月最低温与最高温具有相关关系,由数据分析可得最低温与最高温为正相关,故A正确;
对于B,由表中数据,每月最高温和最低温的平均值依次为:-3.5,3,5,4.5,12,20.5,23,26.5,28,15.5,在前8个月不是逐月增加,故B错误;
对于C,由表中数据,月温差依次为:17,12,8,13,10,7,8,7,6,11,月温差的最大值出现在1月,故C正确;
对于D,由C的结论,分析可得,故D正确.]
12.BCD [由成对样本数据可得,
＝xi＝159.25，＝yi＝161，
x－82＝59.5，
y－82＝116，
xiyi－8＝80，
∴r＝＝≈0.963，B正确；
由r≈0.963>0,8个成对样本数据呈正相关关系,A错误;
对选项C,平移后的成对样本数据所对应平面直角坐标系中的散点图与原始的成对样本数据所对应的散点图形状完全一致,故相关性完全相同,C正确;
根据统计学思想,D正确.故选B,C,D.]
13.解 (1)散点图如图:
(2)＝＝109，＝＝23.2，
r＝
＝
＝≈0.96，
由此可知,新房屋的销售价格和房屋的大小之间有很强的正线性相关关系.
14.解 (1)因为1,2,3,…,16的平均数为8.5,
所以样本(xi,yi)(i=1,2,…,16)的相关系数
r＝＝≈－0.178，
所以|r|=0.178<0.3,
所以可以认为这一天生产的零件尺寸不随生产过程的进行而系统地变大或变小.
(2)①-3s=9.97-3×0.212=9.334,+3s=9.97+3×0.212=10.606,
第13个零件的尺寸为9.22,9.22<9.334,所以从这一天抽检的结果看,需对当天的生产过程进行检查.
②剔除9.22,这条生产线当天生产的零件尺寸的均值为
=10.02,
标准差s＝≈≈0.09.
