2026全国版高考数学一轮
链接高考9 轨迹问题
1.(2025届河北张家口开学考,5)已知M、N两点坐标分别为(-2,0),(2,0).直线MK、NK相交于点K,且它们的斜率之和是3,则点K的轨迹方程为 ( )
A.3x2-2xy-12=0(x≠±2)
B.3y2-2yx-12=0(x≠±2)
C.=1(x≠±2)
D.=1(x≠±2)
2.(多选)(2025届湖北部分学校开学考,11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为DD1的中点,N为正方形ABCD所在平面内一动点,则下列命题正确的有 ( )
A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B.若N到直线BB1与直线DC的距离相等,则N的轨迹为抛物线
C.若MN与平面ABCD所成的角为,则N的轨迹为椭圆
D.若D1N与AB所成的角为,则N的轨迹为双曲线
3.(多选)(2025届广东广州三校期中联考,11)已知平面内两定点M(0,-2)和N(0,2)与一动点P(x,y),满足||=m(m≥4),若动点P的轨迹为曲线E,则下列关于曲线E的说法正确的是 ( )
A.存在m,使曲线E过坐标原点
B.曲线E关于y轴对称,但不关于x轴对称
C.若P,M,N三点不共线,则△PMN周长的最小值为2+4
D.曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H,则四边形GMHN的面积不大于m
4.(2024湖北鄂南高中一模,13)已知对任意平面向量=(x,y),把=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.现将双曲线Γ:后得到曲线C,则曲线C的方程为 .
5.(2025届湖南长郡中学第一次调研,15)已知M为圆x2+y2=9上一个动点,MN垂直x轴,垂足为N,O为坐标原点,△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)记第(1)问中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A、B两点,点Q(0,1),若点H(,0)恰好是△ABQ的垂心,求直线l的方程.
6.(2025届江苏淮安淮阴中学模拟,15)在平面直角坐标系xOy中,动点M到x轴的距离等于点M到点的距离,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点P(-1,y0)为曲线C上的一点,曲线C在点P的切线交直线y=-1于Q,过P作直线QP的垂线交C于点N,求△PQN的面积.
7.(2025届广东华南师大附中二模,17)设A,B分别是直线y=x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足,记P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点Q为曲线C的上顶点,点F1,F2分别为左、右焦点,过点Q的直线l交曲线C于另一点M,若,求l的方程.
8.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
链接高考9 轨迹问题
1.(2025届河北张家口开学考,5)已知M、N两点坐标分别为(-2,0),(2,0).直线MK、NK相交于点K,且它们的斜率之和是3,则点K的轨迹方程为 ( )
A.3x2-2xy-12=0(x≠±2)
B.3y2-2yx-12=0(x≠±2)
C.=1(x≠±2)
D.=1(x≠±2)
答案 A
2.(多选)(2025届湖北部分学校开学考,11)已知正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为2,M为DD1的中点,N为正方形ABCD所在平面内一动点,则下列命题正确的有 ( )
A.若MN=2,则MN的中点的轨迹所围成图形的面积为π
B.若N到直线BB1与直线DC的距离相等,则N的轨迹为抛物线
C.若MN与平面ABCD所成的角为,则N的轨迹为椭圆
D.若D1N与AB所成的角为,则N的轨迹为双曲线
答案 ABD
3.(多选)(2025届广东广州三校期中联考,11)已知平面内两定点M(0,-2)和N(0,2)与一动点P(x,y),满足||=m(m≥4),若动点P的轨迹为曲线E,则下列关于曲线E的说法正确的是 ( )
A.存在m,使曲线E过坐标原点
B.曲线E关于y轴对称,但不关于x轴对称
C.若P,M,N三点不共线,则△PMN周长的最小值为2+4
D.曲线E上与M,N不共线的任意一点G关于原点对称的点为H,则四边形GMHN的面积不大于m
答案 ACD
4.(2024湖北鄂南高中一模,13)已知对任意平面向量=(x,y),把=(xcos θ-ysin θ,xsin θ+ycos θ),叫做把点B绕点A沿逆时针方向旋转θ角得到点P.现将双曲线Γ:后得到曲线C,则曲线C的方程为 .
答案 xy=1
5.(2025届湖南长郡中学第一次调研,15)已知M为圆x2+y2=9上一个动点,MN垂直x轴,垂足为N,O为坐标原点,△OMN的重心为G.
(1)求点G的轨迹方程;
(2)记第(1)问中的轨迹为曲线C,直线l与曲线C相交于A、B两点,点Q(0,1),若点H(,0)恰好是△ABQ的垂心,求直线l的方程.
解析 (1)设G(x,y),M(x0,y0),则N(x0,0),
因为G为△OMN的重心,
故=9,化简得+y2=1,
又x0y0≠0,故xy≠0,所以G的轨迹方程为+y2=1(xy≠0).
(2)因为H为△ABQ的垂心,所以AB⊥HQ,AH⊥BQ,
因为kHQ=,所以kl=,故设直线l的方程为y=x+m(m≠±1,±2),联立
消去y得13x2+8mx+4m2-4=0,
由Δ=208-16m2>0得m2<13,
设A(x1,y1),B(x2,y2),则x1+x2=,x1x2=,
由AH⊥BQ,得=-1,
所以x2(x1-)+(x1+m)(x2+m-1)=0,
所以4x1x2+(m-1)(x1+x2)+m2-m=0,
所以4(4m2-4)-24m(m-1)+13(m2-m)=0,
化简得5m2+11m-16=0,
解得m=1(舍去)或m=-(满足Δ>0),
故直线l的方程为y=.
6.(2025届江苏淮安淮阴中学模拟,15)在平面直角坐标系xOy中,动点M到x轴的距离等于点M到点的距离,记动点M的轨迹为曲线C.
(1)求曲线C的方程;
(2)已知点P(-1,y0)为曲线C上的一点,曲线C在点P的切线交直线y=-1于Q,过P作直线QP的垂线交C于点N,求△PQN的面积.
解析 (1)设M(x,y),
由题意可得|y|=,化简得y=x2+,
所以动点M的轨迹方程为y=x2+.
(2)对y=x2+求导得y'=2x,y'|x=-1=-2.把x=-1代入y=x2+,即切点坐标为P,
所以直线QP的方程为y-=-2(x+1),即y=-2x-,
令y=-1,可得x=,即Q,
因为PN⊥PQ,所以kPN=,
则直线PN的方程为y-(x+1),即y=,
联立,
所以△PQN的面积为.
7.(2025届广东华南师大附中二模,17)设A,B分别是直线y=x上的动点,且|AB|=,设O为坐标原点,动点P满足,记P的轨迹为曲线C.
(1)求C的方程;
(2)已知点Q为曲线C的上顶点,点F1,F2分别为左、右焦点,过点Q的直线l交曲线C于另一点M,若,求l的方程.
解析 (1)由题意,设A,B,P(x,y),
∵,∴x=x1+x2,y=(x1-x2).
则(*)
∵|AB|=,∴2=(x1-x2)2+,
将(*)式代入得2=2y2+x2,化简得+y2=1.
∴动点P的轨迹方程为+y2=1.
(2)设点M(x,y).由题意得Q(0,1),F1(-,0),F2(,0).
∵,∴MF1∥QF2,故,
又=(--x,-y),=(,-1),
∴y=0,
故点M在直线x+=0上,
联立消去x得7y2+6y-1=0,
解得y=-1或y=.
∴M(0,-1)或M.
当M坐标为(0,-1)时,直线l的方程为x=0,
当M坐标为时,直线l方程为y-1=x,
即y=x+1.
8.(2021新高考Ⅰ,21,12分)在平面直角坐标系xOy中,已知点F1(-,0),F2(,0),点M满足|MF1|-|MF2|=2.记M的轨迹为C.
(1)求C的方程;
(2)设点T在直线x=上,过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点,且|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,求直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和.
解析 (1)由题意知|F1F2|=2,因为|MF1|-|MF2|=2<|F1F2|=2,所以结合双曲线定义知,点M的轨迹C是以F1、F2为焦点的双曲线的右支.
设其方程为=1(a>0,b>0,x≥a),
则2a=2,2c=2,解得a=1,c=,
则b2=c2-a2=()2-12=16,
所以M的轨迹C的方程为x2-=1(x≥1).
(2)如图,设T,直线AB的方程为y-m=k1,由消去y得(16-)x2+(-2k1m)x-+k1m-m2-16=0,
设A(x1,y1),B(x2,y2),
则x1+x2=,x1x2=,
因为T,
所以|TA|=
=
=,
同理|TB|=,
所以|TA|·|TB|=(1+)
=(1+)x1x2-(x1+x2)+
=(1+)
=(1+)
=.
设直线PQ的方程为y-m=k2,
同理得|TP|·|TQ|=,
因为|TA|·|TB|=|TP|·|TQ|,
所以,
即,
(1+)(-16)=(1+)(-16),
化简得,由题意知k1≠k2,所以k1+k2=0,
即直线AB的斜率与直线PQ的斜率之和为0.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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