天津市河西区2025届高三下学期数学总复习质量调查试卷一
一、单选题：本题共9小题，每小题5分，共45分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知全集，，则( )
A. B. C. D.
2.设，则“”是“”的( )
A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
3.对变量，有观测数据，得散点图；对变量，有观测数据，得散点图由这两个散点图可以判断( )
A. 变量与正相关，与正相关 B. 变量与正相关，与负相关
C. 变量与负相关，与正相关 D. 变量与负相关，与负相关
4.设，，，则的大小关系为( )
A. B. C. D.
5.若、，且，则下列不等式恒成立的是( )
A. B. C. D.
6.已知函数，则( )
A. 为奇函数 B. 为偶函数
C. 为奇函数 D. 为偶函数
7.已知函数图象的一条对称轴是，且在上有且仅有两个对称中心，则函数的解析式为( )
A. B.
C. D.
8.已知双曲线的左、右焦点分别为、，为双曲线的渐近线上的点，满足，且，的面积为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
9.如图，在体积为的正四棱锥中，，，设平面与直线交于点，记四棱锥的体积为，则( )
A. B. C. D.
二、填空题：本题共6小题，每小题5分，共30分。
10.是虚数单位，复数 ．
11.二项式展开式中，项的系数为 ．
12.已知抛物线上位于第一象限内的点到抛物线的焦点的距离为，过点作圆的切线，切点为，则 ．
13.某体育器材商店经营三种型号的组合器械，三种型号组合器械的优质率分别为，，，市场占有比例为，某健身中心从该商店任意购买一种型号的组合器械，则买到的组合器械是优质产品的概率为 ；若该健身中心从三种型号的组合器械各买一件，则恰好买到两件优质产品的概率为 ．
14.如图所示，四边形内接于圆，，，则 ；设，且，则四边形的面积为 ．
15.定义函数，若至少有个不同的实数解，则实数的取值范围是 ．
三、解答题：本题共5小题，共75分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
求角的大小；
设，．
求的值；
求的值．
17.如图所示，在几何体中，底面，，，，，．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值；
若平面与平面所成角的余弦值为，求线段的长．
18.已知椭圆的左、右顶点为、，左焦点为，离心率为，过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为．
求椭圆的标准方程；
过点的直线交椭圆于，两点其中点在轴上方，求与的面积之比的取值范围．
19.已知数列为等差数列，数列为等比数列，且，，，，．
求数列和的通项公式；
已知，求数列的前项和；
当时，设集合，集合中元素的个数记为，求数列的通项公式．
20.已知函数．
若在处的切线方程为，求实数，的值：
求证：当时，在上有两个极值点：
设，若在单调递减，求实数的取值范围其中为自然对数的底数
参考答案
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16.解：由正弦定理 及 ，
得 ，
，
，
，
，
．
解：由余弦定理 ， ， ，
解得 ．
解：由 ， ， ，所以 ，
，
于是 ， ，
故
．
17.由底面，，得直线两两垂直，
以点为原点，直线两两垂直分别为轴建立空间直角坐标系，
则，设，则，
显然是平面的一个法向量，而，，
即，因此平面，又平面，
所以平面．
由知，，
设平面的法向量，则，令，得，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
由知，，设平面的法向量，
则，令，得，
由知平面的法向量，由平面与平面所成角的余弦值为，
得，解得，
所以线段的长为．
18.由椭圆的离心率为，得，则，半焦距，
又过点且垂直于轴的直线被椭圆截得的线段长为，
由，得，于是，解得，
所以椭圆的标准方程为．
由知，，直线不垂直于轴，
设直线的方程为，，
由消去得，，，
，
于是，而
，因此，设，
则，解得，
于是，
所以与的面积之比的取值范围是．
19.因为数列为等差数列，所以，该数列的公差为，
所以，，
设等比数列的公比为，
由可得，解得，则．
当为奇数时，，
设数列奇数项的和为，
则．
当为偶数时，，设数列的偶数项的和为，
则，
可得，
上述两个等式作差得
，
整理可得，
所以，．
集合中元素个数等价于满足的不同解的个数，
若，则，与已知矛盾；
若，则，与已知矛盾，所以，，
又因为，
所以，，
即、、、、，共个解，故．
20.函数．
则，
由条件知，所以，
，所以切点坐标为．
把代入，
解得．
证明：令，
则，所以在单调递减，在单调递增．
因为，所以．
又，所以在有一个零点．
又，
令，则，
所以在单调递减，故，
即，所以在有一个零点．
于是可知：当时，，单调递增；当时，
，单调递减；当时，，单调递增．
因此，在上有两个极值点在处取得极大值，在处取得极小值．
，
令，
则，
令，当时，，
单调递增，，
所以，在单调递增，
于是可得，
若，则，，
因为在单调递减，
所以
，
令，
当时，，
故单调递减，所以，解得，
若，则，
，
因为在单调递减，所以，
当，时，
，
所以，即，满足题设．
若，则存在唯一确定的，使得．
当时，，即存在，，
但，这与在单调递减矛盾，不合题意．
综上所述，．
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