2025年湖南省长沙市岳麓山外国语实验中学高考数学一模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则( )
A. B. C. D.
2.如果圆锥的底面半径为，高为，那么它的侧面积是( )
A. B. C. D.
3.要得到余弦曲线，只需将正弦曲线向左平移( )
A. 个单位 B. 个单位 C. 个单位 D. 个单位
4.如图，在中，为线段上的一点，，且，则( )
A. ，
B. ，
C. ，
D. ，
5.现用甲、乙、丙、丁四台打印设备打印一批对内径有较高精度要求的零件已知这四台打印机设备在正常工作的状态下，打印出的零件内径尺寸单位：服从正态分布，且根据要求，正式打印前需要对设备进行调试，调试时，四台设备各试打个零件，打印出的零件内径尺寸单位：如下，根据上述信息判断，下列设备不需要调试的是( )
A. 甲：，，，，
B. 乙：，，，，
C. 丙：，，，，
D. 丁：，，，，
6.已知圆：和直线：，则“”是“直线与圆有公共点”的( )
A. 充要条件 B. 充分不必要条件
C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件
7.已知为定义在上的奇函数，当时，设方程有四个互不相等的实根，则实数的取值范围是( )
A. B. C. D.
8.已知数列满足，则数列的前项和( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数，若的最小正周期为，且对任意的，恒成立，下列说法正确的有( )
A.
B. 若，则
C. 若，则
D. 若在上单调递减，则
10.圆：关于直线对称，记点，下列结论正确的是( )
A. 点的轨迹方程为
B. 以为直径的圆过定点
C. 的最小值为
D. 若直线与圆切于点，则
11.已知抛物线：与圆：相交于，，线段恰为圆的直径，且直线过抛物线的焦点，则正确的结论是( )
A. 或
B. 圆与抛物线的准线相切
C. 在抛物线上存在关于直线对称的两点
D. 线段的垂直平分线与抛物线交于，，则有
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.在中，为钝角，，作交于已知，，则 ______其中表示不超过的最大整数
13.已知函数是定义在上的奇函数，当时，，则当时， ．
14.有个相同的球，分别标有数字，，，，，从中有放回的随机取两次，每次取个球，表示事件“第一次取出的球的数字是”，表示事件“第二次取出的球的数字是”表示事件“两次取出的球的数字之和是”，表示事件“两次取出的球的数字之和是”，则下列命题正确的序号有______．
与互斥；
；
与相互独立；
与相互独立．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知函数．
Ⅰ当时，求的单调区间与极值；
Ⅱ若在上有解，求实数的取值范围．
16.本小题分
在中，设角，，的对边长分别为，，．
若，，，求的周长；
若点是边上一点，且，，，求的长．
17.本小题分
已知等比数列的前项和为，且，，成等差数列
求的值及数列的通项公式；
若，求数列的前项和．
18.本小题分
如图，山形图是两个全等的直角梯形和的组合图，将直角梯形沿底边翻折，得到图所示的几何体已知，，，点在线段上，且，在几何体中，解决下面问题．
证明：平面；
若平面平面，证明：．
19.本小题分
我国随着人口老龄化程度的加剧，劳动力人口在不断减少，“延迟退休”已成为公众关注的热点话题之一，为了了解公众对“延迟退休”的态度，某研究机构对属地所在的一社区进行了调查，并将随机抽取的名被调查者的年龄制成如图所示的茎叶图．
经统计发现，投赞成票的人均年龄恰好是这人年龄的第百分位数，求此百分位数；
经统计年龄在的被调查者中，投故成票的男性有人，女性有人，现从该组被调查者中随机选取男女各人进行跟踪调查，求被选中的人中至少有人投赞成票的概率结果用最简分数表示
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：当时，，所以
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，函数有极小值，无极大值．
因为在上有解，
所以在上有解，
当时，不等式成立，此时，
当时，在上有解，
令，则
由知时，，即，
当时，；当时，，
所以在上单调递减，在上单调递增，
所以当时，，所以，
综上可知，实数的取值范围是．
16.解：因为，，
所以．
由正弦定理，得，
所以．
设，在三角形与三角形中，由余弦定理得：
，，
所以，，
得，
因为，所以，解得，
即的长为．
17.解：等比数列的前项和为，且，，成等差数列，
则：，
当时，，
当时，，
由于数列是等比数列，
则：．
解得：．
所以：
若，
则：，
则：
，
得：，
解得：．
18.证明：连接与相交于，连接，
由于，且，
所以：：：，
又，所以，
平面，平面，
所以平面；
过作交于，
因为平面平面，且平面平面，
平面，
所以平面，平面，故C，
又四边形为直角梯形，故AB，
，是平面内的两相交直线，所以平面，
平面，
故BE．
19.解：由条件得，，
则这人年龄的第百分位数是将他们的年龄按从小到大的顺序排列后的第人与第人的年龄平均值，
由茎叶图可知，第人的年龄为，第人的年龄为，
则所求的第百分位数是；
由茎叶图可知，年龄在的被调查者共人，其中名男性，名女性，
令为至少有三人投赞成票，依题意得，
被选中的人中有两名女性一名男性投赞成票的概率是，
被选中的人中有一名女性两名男性投赞成票的概率是，
被选中的人中有两名女性两名男性投赞成票的概率是，
则被选中的人中至少有人投赞成票的概率为．
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