2024-2025学年高二数学下学期第一次联考试卷
试题范围：数列、导数及其应用、计数原理
第一部分（选择题 共58分）
一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.
1．设为数列的前n项和，若，则（ ）
A．1032 B．1033 C．520 D．521
2．已知，，，则关于，，的方程共有（ ）组不同的解.
A．36 B．45 C．50 D．24
3．市内某公共汽车站6个候车位(成一排)，现有3名乘客随便坐在某个座位上候车，则恰好有2个连续空座位的候车方式的种数是( )．
A．48 B．54 C．72 D．84
4．若数列的通项公式为，则该数列中的最大项是（ ）
A． B． C． D．
5．汉诺塔（Tower of Hanoi），是一个源于印度古老传说的益智玩具. 如图所示，有三根相邻的标号分别为A、B、C的柱子， A柱子从下到上按金字塔状叠放着个不同大小的圆盘，要把所有盘子一个一个移动到柱子B上，并且每次移动时，同一根柱子上都不能出现大盘子在小盘子的上方，请问至少需要移动多少次？记至少移动次数为，例如：，，则下列说法正确的是（ ）
A． B．为等差数列
C．为等比数列 D．
6．已知，，，则的大小关系为（ ）
A． B． C． D．
7．从点可向曲线引三条不同切线，则t的取值范围为（ ）．
A． B． C． D．
8．已知函数，若，则的最小值为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．e
二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.
9．数学中蕴含着无穷无尽的美，尤以对称美最为直观和显著.回文数是对称美的一种体现，它是从左到右与从右到左读都一样的正整数，如22，121，3443，94249等，显然两位回文数有9个：11，22，33，…，99；三位回文数有90个：101，111，121，…，191，202，…，999.下列说法正确的是（ ）
A．四位回文数有45个
B．四位回文数有90个
C．（）位回文数有个
D．（）位回文数有个
10．已知函数，则下列结论正确的是（ ）
A．时，曲线的切线斜率最小值为
B．时，有最大值
C．时，有两个零点
D．时，有最小值
11．已知函数，下列结论正确的是（ ）
A．当时，是的极大值点
B．若在区间上单调递减，则的取值范围是
C．若存在唯一的零点，且，则的取值范围是
D．存在实数，使得成立
三 填空题：（本大题共3小题，每小题5分，共15分.）
12．已知数列，对于任意正整数，都满足，则
13．任意时，不等式恒成立，则实数的取值范围是 .
14．某城市的交通道路如图，从城市的西南角到城市的东北角，经过城市中心广场，最近的走法种数有 种．
四 解答题：（本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤）
15．（13分）关于正整数2160，求：
(1)它有多少个不同的正因数？
(2)它的所有正因数的和是多少？
16．（15分）已知数列的首项，的前项和为且满足
(1)证明：数列是等差数列；
(2)若，求数列的前项和．
17．（15分）已知函数.
(1)讨论的单调性；
(2)若函数有两个零点，求m 的范围．
18．（17分）已知函数.
(1)当时，求曲线在点处的切线方程；
(2)当时，不等式恒成立，求实数的取值范围；
(3)证明：.
19．（17分）洛必达法则对导数的研究产生了深远的影响.洛必达法则：给定两个函数，当时，.已知函数，.
(1)证明：在区间上单调递减；
(2)对于恒成立，求实数的取值范围；
(3)，证明：（附：）
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B A C D C B A A BD AD
题号 11 12 13 14
答案 ACD 60
15.（1）由题意，，则2160的正因数，
因为可取0，1，2，3，4；可取0，1；可取0，1，2，3；所以2160有个不同的正因数.
式子的展开式就是40个正因数之和．所以，之和为.
16．（1）证明：因为，即，
所以，又，所以数列是以为首项，以为公差的等差数列．
（2）由（1）可得，所以，当时，
所以，当时也成立，所以，
所以，所以①，②，
①②得，则，所以．
17．（1）函数，当时，在上单调递增；
当时，在内单调递减，在单调递增；
（2），令，整理可得，
设，则，
由，令，得，令，得，则在内单调递减，在内单调递增，由题意可知：有两个零点，则，解得，
18．（1）；（2）因为，恒成立，所以恒成立.令，则，令，则且不恒为0，即在上单调递减，则，
所以当时，且不恒为0，所以在区间上单调递减，故，所以，综上，实数的取值范围为；
（3）取，由（2）得当时，，所以.
取，则有，
即，所以，，，，将上述式子相加得，得证.
19．（1），令，则，令，则，若，则单调递减，单调递减，，在上单调递减，若，则单调递增，，即存在唯一，使得，且在上，单调递减，在上，单调递增，
且，在区间上单调递减，且在上连续，
综上，在区间上单调递减.（2）当时，，成立.当时，由可得，令，由（1）可知在上单调递减，.由洛必达法则：，.（3）当且时，，令，则，令，则，在上单调递增，，即在上单调递增，（当时取等号），，，，，即
