2024-2025 学年江苏省无锡市大桥实验学校高一（下）3 月段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在△ 中， = ， = .若边 上一点 满足 = 2 ，则 =( )
A. 2 1 53 + 3 B. 3
2
3
C. 2 3
13 D.
1 + 23 3
2.已知| | = 8，与 同向的单位向量为 ，| | = 4， ， 的夹角为 120°，则向量 在向量 方向上的投影向量
为( )
A. 4 B. 4 C. 2 D. 2
3.窗花是贴在窗子或窗户上的剪纸，是中国古老的传统民间艺术之一，图 1 是一个正八边形窗花隔断，图 2
是从窗花图中抽象出的几何图形的示意图.如图 2，若正八边形 的边长为 2， 是正八边形
八条边上的动点，则 的最小值为( )
A. 2 B. 0 C. 2 2 D. 4 2
4.在三角形△ 中，分别根据下列条件解三角形，其中有两解的是( )
A. = 8， = 16， = 30° B. = 25， = 30， = 150°
C. = 30， = 40， = 30° D. = 72， = 30， = 45°
2 2
5.在△ 中，设 = 2 ，那么动点 的轨迹必通过△ 的( )
A.垂心 B.内心 C.外心 D.重心
6.已知锐角△ 的内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， + + 3 = 3 ，且 = 1，
则△ 面积的取值范围为( )
A. (0,2) B. (1, 132 ) C. (
1
2 , 2) D. (
3 3
8 , 2 )
7.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 3 = ( + 3 )，cos( 3 )sin(
6 + ) =
3
4，
则△ 的形状为( )
A.锐角三角形 B.钝角三角形 C.直角三角形 D.不确定
第 1页，共 9页
8.如图，在等腰△ 中，已知| | = | | = 1，∠ = 120°， ， 分别是边 ， 的点，且 = ，
= ，其中 ， ∈ (0,1)且 + 2 = 1，若线段 ， 的中点分别为 ， ，则| |的最小值是( )
A. 77 B. 7 C.
21
14 D. 21
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知 ， ， 分别是△ 三个内角 ， ， 的对边，下列四个命题中正确的是( )
A.若△ 是锐角三角形，则 >
B.若 = ，则△ 是等腰三角形
C.若 + = ，则△ 是等腰三角形
D. △ = 若 是等边三角形，则 =
10.如图，直线 过△ 的重心 (三条中线的交点)，且与边 ， 交于点 ， 且 = , = ，
直线 将△ 分成两部分分别为△ 和四边形 ，其对应的面积依次记为 △ 和 四边形 ，则以下
结论正确的是( )
A. + = 4 13 B. +
1
= 3
C. 四边形 5 D. 四边形 4 的最大值为4 的最大值为△ △ 3
11.下列说法正确的是( )
A. (
1
若非零向量 | | + | | ) = 0，且| | | | = 2，则△ 为等边三角形
B.已知 = ， = ， = ， = ，四边形 为平行四边形，则 + = 0
C.已知正三角形 的边长为 2 3，圆 是该三角形的内切圆， 是圆 上的任意一点，则 的最大值
为 1
D.已知向量 = (2,0)， = (2,2)， = ( 2 , 2 )，则 与 5 夹角的范围是[ 4 , 12 ]
第 2页，共 9页
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.某同学为测量塔的高度 ，选取了与塔底 在同一水平面内的两个测量基点 与 ，现测得∠ = 15°，
∠ = 135°， = 20 ，在点 测得塔顶 的仰角为 60°，则塔高 = .
13.如图，在平面四边形 中， ⊥ ，∠ = 60°，∠ = 150°， = 3 ，
= 2 3， = 3，若点 为边 上的动点，则 的最小值为______．3
14.如图，某商场内有一家半圆形时装店，其平面图如图所示， 是圆心，直径 为 24
米， 是弧 的中点.一个时装塑料模特 在 上， = 2 .计划在弧 上设置一个收
银台 ，记∠ = ，其中 ∈ (0, 2 )；
(1)则 tan∠ = ______(用 表示)；
(2)若∠ 越大，该店店长在收银台 处的视线范围越大，则当店长在收银台 处的视线
范围最大时， 的长度为______米.
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在△ 中， ， ， 分别是内角 ， ， 的对边，已知 = 5， = 3，5 = 3 + 5 ．
(1)求△ 的面积；
(2)若 是 边上一点，且 = 2 ，求 的长．
16.(本小题 15 分)
在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且( 3 ) = ( )( + )．
(1)求 ；
(2)若△ 为锐角三角形，求 + 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
已知甲船在 海岛正北方向 15 3海里的 处，以 7 海里/小时的速度沿东偏南 60°的方向航行．
第 3页，共 9页
(1)甲船航行 3 小时到达 处，求 ；
(2)在 海岛西偏南 60°方向 6 海里的 处，乙船因故障等待救援.当甲船到达 海岛正东方向的 处时，接收
到乙船的求援信号.已知距离 海岛 3 海里以外的海区为航行安全区域，甲船能否沿 方向航行前往救援？
请说明理由．
18.(本小题 17 分)
如图， ， 是单位圆上的相异两定点( 为圆心)，且∠ = ( 为锐角).点 为单位圆上的动点，线段
交线段 于点 ．
(1)求 (结果用 表示)；
(2)若 = 60°
①求 的取值范围；
②设 = (0 < < 1) ，记 △ = ( )，求函数 ( )的值域．△
19.(本小题 17 分)
设 ∈ ，我们常用[ ]来表示不超过 的最大整数.如：[ 4.1] = 5，[2.3] = 2．
(1)已知 2 5 1 = 0 的两根是 1， 2， 1 < 2.求 2[ 1] + [ 2]的值；
第 4页，共 9页
(2)在锐角△ 中，角 、 、 所对的边分别为 、 、 ，且 2 2 + 2 = 2 2 1 + 1 + 1，则 的最小
值为 ，求[ ]的值．
(3)已知 ( ) = 2 + 2 | | 15， ( ) = cos2 + ，若对 1 ∈ [1,2]
， 2 ∈ [ 2 , 2 ]，使不等式
( 1) ≤ [ ( 2)]成立，求实数 的取值范围．
第 5页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.20 6
13.1516
14. 3 4 6
15.解：(1)由正弦定理化简 5 = 3 + 5 可得 5 = 3 + 5 ，即 = 35 ，
2 2 2 3 2+ 2
由余弦定理可得 = + = 5 12 2 = 2，
= 5 = 8 △ = 1 = 1将 代入可得 ，所以 面积 2 2 × 5 × 8 ×
3
2 = 10 3，
(2) 3由(1)可知 8 = 5 × 5 ，解得 = 7，
因为 = 2 ，所以 = 7 = 143， 3，
2 2 2 2 2 2
由 cos∠ + cos∠ = 0 + + + ，即 2 2 = 0，
(7)2+ 2 52 (14)2+ 2 23 8+ 3 = 0 = 2 61所以 7 14 ，解得 3 ．
3 3
16.解：(1)因为( 3 ) = ( )( + )，
所以( 3 ) = ( )( + )，即 2 + 2 2 = 3 ．
2
= +
2 2 3
可得 2 = 2 ，
又 ∈ (0, )，
第 6页，共 9页
所以 = 6．
(2)因为 + = sin( 5 3 36 ) + = 2 + 2 = 3sin( +
3 )，
又△ 为锐角三角形，
所以 0 < < 5 2，0 < 6 <
2，
所以3 < <
2，
+ 2 5 1 3所以 3 ∈ ( 3 , 6 )，可得 sin( + 3 ) ∈ ( 2 , 2 )，
所以 3sin( + 3 ) ∈ (
3 3
2 , 2 )，
故 + 3 3的取值范围为( 2 , 2 ).
17.
18.解：(1) = | || |cos( ∠ ) = | |cos∠ = cos 1；
(2)当 = 60°时， = 12
① = ( ) ( ) = + 1．
设∠ = 2 ，由条件知， ∈ [0, 3 ]，
3 3 1 3
∴ = 2 cos( 3 + ) = 2 2 + 2
第 7页，共 9页
= 3 32 2 +
3
2 =
3 3 1
2 3( 2 2 ) =
3 3cos( + 2 6 )．
∵ ∈ [0, 2 3 ]，∴ cos( +
6 ) ∈ [
3 3
2 , 2 ]，
∴ ∈ [0,3]；
②设 = (0 < < 1)，则 = + = + = (1 ) + = ，
∴ =
1 ，
由 = 1 | 1 可得， | = 1，
即( )2 + ( 1 )2 2 × × 1 ×
2 +1
= 1，整理得 = 2 ，
∴ = 1 1
2
= 2 +1，
∴ △ = · = 1
2 2+
△ · 1
× 2 +1 = 2 +1．
2
即 ( ) = + 2 +1 (0 < < 1)．
2
而 ( ) = + 2 1 2 +1 = 1 + 2 +1．
2 1 = ( 1 < < 1), ( ) = 1 + = 1 + 4 令 ，
( +12 )
2 +1 2+32 +1
当 = 0 时， (0) = 1；
当 ≠ 0 时， ( ) = 1 + 4 33，利用单调性定义可证明函数 = + 在( 1,0)和(0,1)都是递减的， +
设 1, 2 ∈ 0,1 ，且 1 < 2，则 1 2 = 1 +
3 3
2 + = 1 2 1
3
1 2 1 2
则 1 < , 1 <
3 3
2 ，故 1 > 2，所以 = + 在(0,1)上单调递减，1 2
由于 = + 3 3 是奇函数，则 = + 在( 1,0)和(0,1)单调递减，
因此， + 3 > 4
3
或 + < 4，
2
∴函数 ( ) = + 2 +1 (0 < < 1)值域是(0,2)．
19.
第 8页，共 9页
第 9页，共 9页
