2024-2025 学年天津市南开大学附中高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 9 小题，每小题 5 分，共 45 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列选项正确的是( )
A. ( 10°)′ = 10° B. (lg )′ = 1
C. [(2 + 1)(2 1)]′ = 8 D. ( )′ =
1
2.已知集合 = {1,2,3,4,8}， = { | 3 ∈ }，则 ( ∩ ) =( )
A. {1,2,3} B. {2,3,4} C. {3,4,8} D. {2,4,8}
3.在最近南京市举行的半程马拉松比赛中，某路段设三个服务站，某高校 5 名同学到甲、乙、丙三个服务
点做志愿者，每名同学只去 1 个服务点，每个服务点至少 1 人，则不同的安排方法共有( )
A. 25 种 B. 150 种 C. 300 种 D. 50 种
2 2
4.“0 < < 2 ”是“方程 + 2 4 = 1 表示焦点在 轴上的双曲线”的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
5.设随机变量 ～ (2, )， (4, )，若 ( = 0) = 49，则 ( ) =( )
A. 2 43 B. 3 C.
4 D. 89 9
6.用数字 0，1，2，3，4 组成没有重复数字的三位偶数的个数为( )
A. 60 B. 48 C. 36 D. 30
7.若( + 1 2 )
的展开式中二项式系数之和为 32，各项系数之和为 243，则展开式中 2的系数是( )
A. 32 B. 64 C. 80 D. 160
8 .已知函数 ( )的导函数为 ′( )，且满足 ( ) = 2 ′( 3 ) ，则 ′( 3 )的值为( )
A. 1 B. 3 C. 12 2 2 D.
3
2
9.公司选拔部门总监，根据投票数与业绩评分，甲、乙、丙、丁、戊 5 人以并列第一的得分在选拔中脱颖
而出.现在人事部、财务部与科研部要分别选择 1 人担任部门总监，其余 2 人随机分别调到 2 个部门中担任
项目经理，设事件 = {甲、乙两人不在同一部门}，事件 = {甲担任财务部部门总监}，则 ( | ) =( )
A. 2 2 5 13 B. 5 C. 6 D. 2
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二、填空题：本题共 6 小题，共 30 分。
10.如果随机变量 ～ (5, 2)，且 ( ≤ 3) = 0.3，那么 (3 ≤ ≤ 7) = ______．
11 .若 +1 = 1 ，则 = ______．
12.已知函数 ( ) = 12 , ∈ [
2 , 2 ]，则 ( )的最小值为______．
13.3 名男生和 3 名女生随机站成一排，每名女生至少与一名男生相邻，则不同的排法种数为______．
14 1.已知( 3 2 ) 的展开式中，仅有第 5 项的二项式系数最大，则展开式中有理项的个数为______．
15.若函数 ( ) = 2 有两个不同的极值点，则实数 的取值范围为______．
三、解答题：本题共 5 小题，共 75 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 15 分)
已知某计算机网络的服务器有三台设备，只要有一台能正常工作，计算机网络就不会断掉.如果三台设备各
自能正常工作的概率都为 0.8，它们之间互相不影响.设能正常工作的设备数为 ．
(Ⅰ)求 的分布列；
(Ⅱ)求 ( )和 ( )；
(Ⅲ)求计算机网络不会断掉的概率．
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是直角梯形，侧棱 ⊥底面 ， ⊥ ， // ， = =
= 2， = 4，点 是棱 的中点．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)求直线 与平面 所成角的正弦值；
(3)求平面 与平面 夹角的大小．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = (2 + 1) + 2．
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(1)当 = 1 时，求 ( )在点(1, (1))处的切线方程；
(2)若 > 0，试讨论 ( )的单调性．
19.(本小题 15 分)
2 2 1 3
已知椭圆 1： 2 + 2 = 1( > > 0)的离心率为2，且过点(1, 2 )，其中 为坐标原点．
(1)求椭圆 1的方程；
(2)过椭圆 1的右顶点作直线与抛物线 2： 2 = 2 相交于 ， 两点；
①求证： ⊥ ；
②设射线 ， 分别与椭圆 1相交于点 ， ，求 到直线 的距离．
20.(本小题 15 分)
数列{ }满足： 1 + 3 2 + 5 3 + … + (2 1) = 3 + ( 1) 3 +1．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 2 2 7 = ( 1)( 1)， 为数列{ }的前 项和，若 < 4 + 2恒成立，求实数 的取值范围． +1
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.0.4
11. 1
12. 32
12
13.288
14.2
15.(0, 12 ) ∪ (
1
2 , + ∞)
16.解：(Ⅰ)由题意，台设备各自能正常工作的概率都为 0.8，它们之间互不影响，
可得三台设备正常工作的设备数 服从二项分布，即 ～ (3,0.8)，
的所有可能取值为 0，1，2，3
所以 ( = 0) = 03 × 0.80 × (1 0.8)3 = 0.008， ( = 1) = 13 × 0.81 × (1 0.8)2 = 0.096， ( = 2) =
2 × 0.823 × (1 0.8)1 = 0.384， ( = 3) = 3 33 × 0.8 × (1 0.8)0 = 0.512，
从而 的分布列为：
0 1 2 3
0.008 0.096 0.384 0.512
(Ⅱ)因为 ～ (3,0.8)，
所以 ( ) = 3 × 0.8 = 2.4， ( ) = 3 × 0.8 × (1 0.8) = 0.48；
(Ⅲ)要使得计算机网络不会断掉，也就是要求能正常工作的设备至少有一台，即 ≥ 1，
因此所求概率为 ( ≥ 1) = 1 ( < 1) = 1 ( = 0) = 1 0.008 = 0.992．
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17.解：(1)证明：因为侧棱 ⊥底面 ， 底面 ，所以 ⊥ ，
又因为 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，所以 ⊥平面 ，
又 平面 ，所以 ⊥ ，
又因为 = = 2，点 是棱 的中点，
所以 ⊥ ，
又 ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
(2)连接 ，由题意可得 2 = 2 + 2，可得 = 2 2，取 的中点 ，
连接 ，则 ⊥ ，则 = 2， = 2，
所以 = 22 + 22 = 2 2，
所以 2 + 2 = 2，所以 ⊥ ，
以 ， ， 所在直线分别为 轴， 轴，为 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，
则 (2 2, 0,0)， (0,0,0)， (0,2 2, 0)， ( 2, 2, 0)， (0,0,2)，
( 2 , 22 2 , 1)，
所以 = (2 2, 0, 2)，
由(1)可得 ⊥平面 ，
所以平面 的一个法向量为面 = ( 2 2 ，2 , 2 , 1)
设直线 与平面 所成角为 ，
= |cos < , > | = | | =
6
，
| | | | 3
即直线 与平面 所成角的正弦值为 6．
3
(3)由(2)可知 ⊥ ，又 ⊥ ， ∩ = ， ， 平面 ，
所以 ⊥平面 ．
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所以平面 的一个法向量为 = (0,2 2, 0)，
设平面 与平面 的夹角为 ，
则 = |cos < , > | = | 1
|
| = ，
| | | 2
又 0° ≤ ≤ 90°，所以 = 60°
即平面 与平面 夹角的大小为 60°．
18.
19. 1解：(1)由椭圆 1的离心率为2，
2 2 1
可得： 2 = ， 4
整理得：3 2 = 4 2，
2 2 2 2
则椭圆 1： 2 +
4
2 = 1 的方程可化为 2 + 3 2 = 1．
代入点(1, 32 )得
2 = 4，
2 2
则椭圆 1的方程为
+ ．4 3 = 1
2 2(2)由椭圆 1方程为 +
= 1 可得：该椭圆的右顶点为(2,0)．4 3
①证明：设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
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当直线 的斜率为 0 时，直线 与抛物线 2只有一个交点，不满足题意．
当直线 的斜率不为 0 时，设直线 的方程为 = + 2，
2 = 2
联立方程组 = + 2，
整理得 2 2 4 = 0，
则 1， 22为方程 2 4 = 0 的两不等根，
= 4 2 + 16 > 0
有 1 + 2 = 2 ．
1 2 = 4
因为 = ( 1, 1), = ( 2, 2)，
2 2
所以 = 1 2 +
1 2
1 2 = 4 + 1 2 =
16 4 = 0，4
故 ⊥ ．
②设 ( 3, 3)， ( 4, 4)，直线 为 = + ．
= +
由联立方程组 2 2
4 +
，
3 = 1
整理得：(3 2 + 4) 2 + 6 + 3 2 12 = 0( )，
= 36 2 2 12(3 2 + 4)( 2 4) > 0
+ = 6 由 3， 4为方程 的两不等实数根，得 3 4 3 2+4 ．
2
3
3 12
4 = 3 2+4
由①知 ⊥ ，
则 ⊥ ，有 = 0．
因为 = ( 3, 3), = ( 4, 4)，
所以 3 4 + 3 4 = ( 3 + )( 4 + ) + 3 4 = ( 2 + 1) 3 24 + ( 3 + 4) + = 0，
2 2 2
整理得：( 2 + 1) 3 12 6 2 7 12 12 ，3 2+4 + 3 2+4 + = 3 2+4 = 0
则有 7 2 = 12( 2 + 1)．
| | 12 2+1 2 21
则根据点到直线距离公式可得：点 到直线 的距离为 = = = ．
2+1 7 2+1 7
20.解：(1)已知数列{ }满足： 1 + 3 2 + 5 3 + … + (2 1) +1 = 3 + ( 1) 3 ．
令 = 1， 1 = 3，
又 1 + 3 2 + 5 3 + + (2 1) = 3 + ( 1) 3 +1( ≥ 1)，①
1 + 3 2 + 5 3 + + (2 3) 1 = 3 + ( 2) 3 ( ≥ 2)，②
由① ②得到(2 1) = ( 1) 3 +1 ( 2) 3 = (2 1) 3 ，
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即： = 3 ( ≥ 2)，
经检验， = 1， 1 = 3 也成立，
故数列{ }的通项公式 = 3 , ∈ ；
(2) 2 2 3 1 1 = ( = 1)( +1 1) (3 1)(3 +1 1)
= 3 1 3 +1 1，
= + + + = 1 1 + 1 1 1 1 2 3 1 32 1 32 1 33 1 + + 3 1
1 1 1
3 +1 1 = 2 3 +1 1，
1 1
因为 = 2 3 +1 1是单调递增数列，
1
则 < 2，
若 < 2 4 + 7 2恒成立，
7 1
则 2 4 + 2 ≥ 2，
即 2 4 + 3 ≥ 0，
解得 ≥ 3 或 ≤ 1，
实数 的取值范围为( ∞,1] ∪ [3, + ∞)．
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