浙江中考专题解答题——尺规作图（含解析）
一、解答题：本大题有8个小题，共72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
1．（2024九下·杭州模拟）某同学尝试在已知的中利用尺规作出一个菱形，如图所示．
（1）根据作图痕迹，能确定四边形是菱形吗？请说明理由．
（2）若，，，求四边形的面积．
2．（2024九下·浙江模拟）如图均是的正方形网格，各小正方形的顶点称为格点，按要求作以格点A为顶点的四边形．
（1）图1作邻边不等的平行四边形．
（2）图2作菱形（不是正方形）．
3．（2024·诸暨模拟）如图，方格纸上每个小正方形的边长均为1个单位长度，点，，，在格点（两条网格线的交点叫格点）上，以点为原点建立直角坐标系.
（1）过，，三点的圆的圆心坐标为 ；
（2）请通过计算判断点与的位置关系.
4．（2025·浙江模拟）如图，在平行四边形ABCD中，DE平分∠ADC交BC于点E.
（1）用直尺和圆规作∠ABC的平分线交AD于点F
（2）在（1）的条件下，求证：四边形BEDF是平行四边形.
5．（2024九上·双辽期中）如图，在下列的正方形网格中，按要求作图．
（1）在图①②③中，分别画一条线段，使各网格为轴对称图形（要求所画图形互不相同）；
（2）在图④中，画一条线段，使整个网格为中心对称图形．
6．（2024九下·浙江模拟）图1，图2都是由边长为1的小等边三角形构成的网格，每个小等边三角形的顶点称为格点，线段的端点在格点上，分别按要求画出图形：
（1）在图1中画出两个以为斜边的直角三角形，且点C在格点上；
（2）在图2中画出一个以为对角线的菱形，且D，E在格点上．
7.（2023·鹿城模拟）如图中的方格都是由边长为1的小正方形组成．请按以下要求在图1、图2中画出相应的图形（请保留作图痕迹）．
在图1，画出的中线．
在图2，的边上找到一点F，使．
8．（2024九下·浙江模拟）在的方格纸中，的顶点均在格点上，请按下列要求作图．
（1）在图1中，作线段，使得，且在格点上；
（2）在图2中，作线段，使得平分，且在格点上．
9．（2025九上·南昌期末）如图，在由边长为1的小正方形构成的5×6的网格中，△ABC的顶点A，B，C均在格点上．请按要求完成作图：①仅用无刻度直尺；②保留作图痕迹井标注相关字母．
（1）如图1，在内寻找格点，使得．
（2）如图2，在线段上找一点，使得．
10．（2024·宁波模拟）如图，在边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，的顶点和点O均在网格线的交点上．
（1）以点O为旋转中心，将按顺时针方向旋转，得到，请画出．
（2）将向右平移4个单位，得到，请画出．
11．（2024九下·柯桥模拟）下图是由边长为的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）图①中，画出的中线；
（2）图②中，在的边上找一点，使得；
（3）图③中，在的边上找一点，连接，使的面积为1．
12．（2024·柯桥模拟）下图题由边长为1的小正方形组成的网格，的顶点均在格点上．按如下要求利用无刻度的直尺作图（保留痕迹，不写作法）．
（1）图①中，画出的中线AD；
（2）图②中，在的边BC上找一点，使得；
（3）图③中，在的边AC上找一点，连接BF，使的面积为1．
13．（2024九下·瓯海模拟）如图，在正方形网格中，每个小正方形的边长都是一个单位长度，在平面直角坐标系中，的三个顶点坐标分别为，，．
（1）将先向左平移个单位，再向上平移个单位，得到，画出两次平移后的， 并写出点的坐标；
（2）画出绕点顺时针旋转后得到的，并写出点的坐标；
（3）在（）的条件下，求旋转过程中点所经过的路径长．（结果保留）
14．（2024九下·绍兴模拟）图1，图2，图3均为的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段的两个端点均为格点，只用无刻度的直尺，在给定的网格中画图，画出满足要求的一种情况即可．
（1）在图1中找一个格点P，连结，使．
（2）在图2中找两个格点P，Q，连结，使直线．
（3）在图3中找两个格点P，Q，连结交线段于点C，使．
答案解析部分
1．【答案】（1）解：四边形是菱形．
理由：由作图痕迹可得，，，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，，
∴四边形是平行四边形，
∵，
∴四边形是菱形；
（2）解：过点作于，则，
∵，
∴，
∴，
∴，，
设，则，
∵，
∴，
解得，
∴，
∴四边形的面积．
【解析】【分析】（1）由作图痕迹可得，∠FAC=∠EAC，∠FCA=∠ECA，由平行四边形的对边平行可得AD∥BC，根据两直线平行，内错角相等得出∠FAC=∠ECA，推得∠FAC=∠EAC=∠FCA=∠ECA，根据内错角相等，两直线平行得出AE∥CF，根据一组对边平行且相等的四边形是平行四边形，一组邻边相等的平行四边形是菱形即可证明；
（2）过点A作AM⊥BC于M，根据直角三角形中两锐角互余得到∠BAM=30°，根据直角三角形中30度角所对的边是斜边的一半进而得到BM=1，根据任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方求出，再由任何一个直角三角形中，两条直角边长的平方之和一定等于斜边长的平方列出方程，解方程求出ME=1，求出CE=2，由平行四边形面积公式即可求解.
2．【答案】（1）解：由平行四边形的性质作图如图1，
（2）解：由菱形的性质作图如图2，
【解析】【分析】（1）结合题目要求，由平行四边形的判定知，只要对边平行且相等同时邻边不相等即可；
（2）由菱形的判定知只要对角线互相垂直平分即可．
（1）解：由平行四边形的性质作图如图1，
（2）解：由菱形的性质作图如图2，
3．【答案】（1）
（2）解：计算得，，，点在圆外.
【解析】【解答】解：（1）解：如图，连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，
是过，，三点的圆的圆心，
．
（2），，，
，，
，
点在的外部．
【分析】本题考查垂径定理推论，勾股定理，平面坐标系中点的坐标，点与圆的位置关系．
（1）连接，，分别作，的垂直平分线，两直线交于点，就是过，，三点的圆的圆心，观察图形可求出点的坐标；
（2）利用两点间的距离公式可求出，利用勾股定理可求出的长度，再进行比较两个长度可得：，利用点与圆的位置关系可作出判断．
4．【答案】（1）解：如图，BF就是∠ABC的角平分线；
（2）证明：如图2，
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴∠ABC=∠ADC，AD//BC，
∵BF平分∠ABC，DE平分∠ADC，
∴∠CBF=∠ADE，
∵AD // BC，
∴∠ADE= ∠CED，
∴∠CBF=∠CED，
∴BF // DE，
..四边形BEDF是平行四边形.
【解析】【分析】（1）以点B为圆心，任意长度为半径画弧，弧分别交AB、BC于点M、N，再分别以点M、N为圆心，大于MN的长度为半径画弧，两弧在∠ABC的内部相交于点Q，作射线BQ交AD于点F，则BF就是∠ABC的角平分线；
（2）由平行四边形的对边平行，对角相等得∠ABC=∠ADC，AD//BC，由角平分线的定义推出∠CBF=∠ADE，由二直线平行，内错角相等，得∠ADE= ∠CED，则∠CBF=∠CED，由同位角相等，两直线平行，得BF∥DE，从而根据两组对边分别平行的四边形是平行四边形可得结论.
5．【答案】（1）解：如图即为所求；
（2）解：如图即为所求.
【解析】【分析】（1）根据轴对称图形的定义：沿着某一条直线对折后，直线两侧的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形，据此画图即可；
（2）根据中心对称图形的定义：把一个图形绕着某一个点旋转180°，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形叫做中心对称图形，据此画图即可．
6．【答案】（1）解：点即为所求；
∠ACB=60°+30°=90°，∠AC'B=60°+30°=90°，
（2）解：菱形即为所求．
∵ AD=DB=BE=EA=AB，
∴四边形ADBE是以为对角线的菱形.
【解析】【分析】（1）根据等边三角形三线合一的性质及直角三角形的性质作图；
（2）根据等边三角形的性质及菱形的性质作图即可．
【答案】7．解：如图1中，线段BD即为所求；
解：如图2中，点F即为所求．
【解析】【分析】（1）利用方格纸的特点，根据矩形的对角线互相平分，取格点E、F，连接EF，EF与AC的交点D为AC中点，连接BD即可；
（2）利用方格纸的特点，取格点M、N，连接MN，MN与AC的交点为F，由平行于三角形一边得直线，截其它两边的延长线，所截三角形与原三角形相似可得△AMF∽△CNF，由相似三角形的对应边成比例可知，进而根据同高三角形面积之比等于对应底的比可得，点F即为所求．
7．解：（1）如图1中，线段BD即为所求；
8．解：如图2中，点F即为所求．
．【答案】（1）解：如图1，线段即为所求；
（2）解：如图2，线段即为所求．
【解析】【分析】（1）利用平行线的判定画出图形，在网格中取一点B，使BD=AC，CD=AB，然后证出，从而得，进行得；
（2）利用平行四边形的性质画出图形，取格点E，构造平行四边形，连接即可得平分．
9．【答案】（1）解：如图2，分别作线段、的垂直平分线，相交于点，连接、，则点、、在以点为圆心，的长为半径的圆上，
，
则点即为所求．
（2）解：如图1，分别取格点，，使，且，连接，交于点，
则，
，
则点即为所求；
【解析】【分析】（1）作两个边的垂直平分线，交点即为三角形的外心；．
（2）取格点，，连接，交于点，根据相似三角形的对应边成比例解答即可.
10．【答案】（1）解：如图：即为所求：
（2）解：如图：即为所求：
【解析】【分析】(1)根据旋转的性质得到点A、B、C的对应点，然后依次连接即可；
(2)根据平移的性质得到点A、B、C的对应点， 然后依次连接即可 ．
11．【答案】（1）解：如图所示，
根据网格图的特点，四边形是矩形，是对角线，且交于点，
∴即为所求的中线；
（2）解：如图所示，作，
根据网格图的特点可得是平行四边形，于交于点，连接，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴即为所求点的位置，
（3）解：如图所示，
如图，点分别是中点，且交于点，连接并延长交于点，过点作，交于点，
∴，，
∴，
设点到的距离为，
∴，，
∴，
∴，
∴即为所求位置．
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线相互平分并结合网格图的特征即可求解；
（2）根据全等三角形的性质并结合网格图的特征作图即可求解；
（3）根据三角形中位线的性质“三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半”以及中线平分面积的方法作图即可求解.
12．【答案】（1）解：如图①，线段AD为所求；
（2）解：如图，∠BAE=45°，
理由：连接BG，
∵BG=，AG=，AB=，
∴AB2=BG2+AG2，
∴△ABG是等腰直角三角形，
∴∠BAE=45°；
（3）解：如图，点F就是所求的点
∵△ABC的面积为：3×3-=9-3-2=4，
∴△ABF的面积为1.
【解析】【分析】（1）根据矩形的对角线互相平分，连接以BC为对角线的矩形的另一条对角线，与BC相交于点D，可得出点D是边BC的中点，连接AD即可；
（2）根据勾股定理及勾股定理的逆定理，找到点G，构成△ABG是等腰直角三角形，从而得出∠BAE=45°；
（3）首先求出△ABC的面积为4，然后根据正方形的对角线互相平分得出点F是线段AC的四等分点，即AF=，即可得出ABF的面积为1.
13．【答案】（1）解：先分别将△ABC的顶点A、B、C向左平移个单位，再向上平移个单位得到对应点A1、B1、C1，再首尾顺次相连，即可得到 ，
∴即为所求，；
（2）解：先将的顶点A1、B1、C1 绕点顺时针旋转，得到对应点A2、B2、C1，再首尾顺次相连，即可得到 ，
∴即为所求， ；
（3）解：由（1）可知：，C1（-1，0），
∴A1C1==，
由旋转的性质可知，所经过的路径为以点C1为圆心，以A1C1为半径的圆的弧，
∴点所经过的路径长为：.
【解析】【分析】（）根据平移的性质作出对应点，然后尾顺次相连即可；
（）根据旋转的性质作出对应点，然后尾顺次相连即可；
（）用勾股定理求出，再利用弧长公式进行求解即可.
（1）解：如图，
∴即为所求，；
（2）解：如图，
∴即为所求，；
（3）解：∵，
∴旋转过程中点所经过的路径长为：．
14．【答案】（1）解：如图1，和即为所求格点；
（2）解：如图2，即为所求；
（3）解：如图3，即为所求.
【解析】【分析】（1）根据等腰直角三角形两内角等于45°可知，以为斜边作等腰直角三角形，则直角顶点即为所求的格点P；
（2）AB是2×3的网格对角线，结合垂直的概念，在网格中找3×2的网格对角线PQ即可，答案不唯一；
（3）根据相似三角形的性质，利用“8字型相似“模型，取格点P，Q，使，且，则，得，于是，故P，Q即为所求．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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