2025 年宁夏银川六中高考数学一模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.设集合 = {0,1,2}， = {1,4}， = { ∈ | 2 3 + 2 > 0}，则( ∪ ) ∩ =( )
A. {3} B. {1,4} C. {1,3} D. {0,4}
2 1+ .已知复数 = 2 ，其中 是虚数单位，则 的虚部为( )
A. 3 3 1 15 B. 5 C. 5 D. 5
3.已知平面向量 ， 满足| | = | | = 2，且 1在 上的投影向量为 2 ，则向量 与向量 + 的夹角为( )
A. 30° B. 60° C. 120° D. 150°
4 4.已知 > 1，则 = + 1取得最小值时 的值为( )
A. 3 B. 2 C. 4 D. 5
5.定义在 上的函数 ( )满足( + 2) ′( ) < 0，又 = ( 13), = (( 1 0.5
2 3
) ), = ( 3)，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.已知正三棱锥 6的体积为 4 , = 3，则该三棱锥外接球的表面积为( )
A. 7 B. 7 9 2 C. 9 D. 2
2
7
2
.双曲线 2 12 = 1( > 0)的两个焦点分别是 1和 2，焦距为 8； 是双曲线上的一点，且| 1| = 5，则
| 2|的值为( )
A. 1 B. 4 C. 9 D. 1 或 9
8.将函数 ( ) = sin( + 3 )( > 0)
的图象向右平移6个单位长度，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为
1
原来的2，纵坐标不变，得到函数 ( )的图象.若 ( )在(0, 3 )上单调递增，则 的取值范围为( )
A. (0, 12 ] B. (0,
1
3 ] C. (0,
2 ] D. (0,
3 ]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列命题的是真命题的是( )
A. 1 1若 > ，则 <
B.若 > ， > ，则 >
C.若 > ， > ，则 >
第 1页，共 9页
D.若 2 > 2，则 >
10.在△ 中，下列结论正确的是( )
A. sin( + ) = B. sin + 2 = cos 2
C. tan( + ) = ( ≠ 2 ) D. cos( + ) =
11.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1：若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1.这就是数学史上著名的“冰卷猜想”(又称“角谷猜想”
等).如取正整数 = 6，根据上述运算法则得出 6 → 3 → 10 → 5 → 16 → 8 → 4 → 2 → 1，共需要 8 个步源
变成 2(简称为 8 步“雹程”).现给出“冰雹猜想”的递推关系如下：已知数列{ }满足： 1 = ( 为正整
, 为偶数,
数)， 2 +1 = ( ∈ )，记数列{ }的前 项和为 ，若 6 = 1，则( )
3 + 1, 为奇数.
A. = 5 或 32 B. 2025 = 1
C.当 最小时的“雹程”是 2 步 D. 2025 = 4774 或 4747
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.若曲线 ( ) = 在点 ( 0, 0)处的切线过原点 (0,0)，则 0 = ______．
13.已知△ 中，角 、 、 的对边分别为 、 、 ，若 = 60°， = 2，且(sin2 + sin2 ) + 4 2 =
4(sin2 + sin2 )，则 = ______．
14.已知定义在 上的函数 ( )满足 ( ) + ( ) = 0，且 ( + 2)为偶函数，则 ( )的周期为______；当 0 ≤
≤ 2 时， ( ) = ，若关于 的方程| ( )| + (| |) = 有 4 个不同实根，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知等比数列{ }的前 项和为 ， 22 7 = 3 4，且 3， 4，9 3成等差数列．
(1)求数列{ }的通项公式；
(2)设 = +
1
( +1)，求数列{ }的前 项和
16.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是平行四边形，且△ 是等边三角形， = 2．
(1)求证： ⊥平面 ；
(2)若△ 是等腰三角形，求异面直线 与 所成角的余弦值．
第 2页，共 9页
17.(本小题 15 分)
综合素质评价是高考招生制度改革的内容之一.某高中采用多维评分的方式进行综合素质评价.如图是该校
高三学生“运动与建康”评价结果的频率直方图，评分在区间[90,100)，[70,90)，[60,70)，[50,60)上，分
别对应为 ， ， ， 四个等级.为了进一步引导学生对运动与健康的重视，初评获 等级的学生不参加复评，
1
等级不变，对其余学生学校将进行一次复评.复评中，原获 等级的学生有4的概率提升为 等级：原获 等级
1 1
的学生有5的概率提升为 等级：原获 等级的学生有6的概率提升为 等级.用频率估计概率，每名学生复评
结果相互独立．
(1)若初评中甲获得 等级，乙、丙获得 等级，记甲、乙、丙三人复评后等级为 等级的人数为 ，求 的分
布列和数学期望；
(2)从全体高三学生中任选 1 人，在已知该学生是复评晋级的条件下，求他初评是 等级的概率．
18.(本小题 17 分)
2 2
已知椭圆 ： 2 + 2 = 1( > 0, > 0)的左右顶点分别为 ， ，| | = 4，且右焦点 2与抛物线
2 = 4 的
焦点重合．
(1)求椭圆 的方程；
(2)过点 (4,0)作直线 交椭圆于 ， (异于 ， )两点，直线 ， 的交点为 ．
第 3页，共 9页
①证明：点 在定直线上；
②设直线 ， 交点为 ，问 △ △ 是否为定值？若是，求出该值，若不是，说明理由．
19.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 3 1．
(1)若 = 1，求 ( )的单调区间；
(2)若 0 ≤ ≤ 3，求证： ( ) < 0；
(3) ( ) = ( )+
3+1
若 , 1 ≠ 2使得 ( 1) = ( 2) = ，求证： + 1 < | 1 2| < + 1．
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.2
14.8 ( 2 2 2 25 , 9 ) ∪ ( 9 , 5 )
15.解：(1)设等比数列{ }的公比为 ，由 2 2 7 2 62 7 = 3 4，得 1 = 3 1 ，解得 = 3，
2 (1 34)
又 3， 1 24，9 3成等差数列，得 1 3 = 9 1 3 3，即 1 = 3，
所以 = 1 3 = 3 ；
(2)由(1) 1 1 1可知 = 3 + ( +1) = 3 + +1，
+1
所以 = 31 + 32 + … + 3 + 1
1 + 1 1+ … + 1 1 = 3(1 3 ) + 1 1 32 2 3 +1 1 3 +1 = 2
+3
2 +2．
16.(1)证明：在四棱锥 中， ⊥平面 ，底面 是平行四边形，且△ 是等边三角形，
= 2，
∵底面 是平行四边形，且△ 是等边三角形，
∴四边形 是菱形，则有 ⊥ ，
又 ⊥平面 ， 平面 ，
∴ ⊥ ，
又 ∩ = ， 平面 ， 平面 ，
∴ ⊥平面 ；
第 5页，共 9页
(2)解：设 ∩ = ，
∵△ 是等腰三角形，∴ = = 2， = = 3，
以 为坐标原点，射线 ， 分别为 轴， 轴的正半轴建立空间直角坐标系 ，如图，
则 (0, 3, 2)， (0, 3, 0)， (1,0,0)， (0, 3, 0)，
∴ = (1, 3, 2)， = (0,2 3, 0)，
设 与 所成角为 ，
∴ = | |
| | | |
= |1×0+ 3×2 3+( 2)×0| = 6 = 6，
12+( 3)2+( 2)2× 02+(2 3)2+02 2 2×2 3 4
∴异面直线 与 所成角的余弦值为 6．
4
17.解：(1) 的所有可能取值为 0，1，2，3，
( = 0) = 1 × 4 4 44 5 × 5 = 25，
( = 1) = 3 × 4 × 4+ 14 5 5 4 ×
1
2
1 4 14
5 × 5 = 25，
( = 2) = 3 1 1 4 1 1 1 14 × 2 5 × 5 + 4 × 5 × 5 = 4，
( = 3) = 3 14 × 5 ×
1
5 =
3
100，
∴ 的分布列如下：
0 1 2 3
4 14 1 3
25 25 4 100
( ) = 14+ 1 + 9 = 115 = 2325 2 100 100 20．
0.15×1
(2)记事件 ( )为“该学生复评晋级”，事件 为“该学生初评是 ”， ( | ) = ( ) =
5
0.6×1
=
4+0.15×
1
5+0.05×
1
6
18
113．
第 6页，共 9页
18.解：(1)易知抛物线 2 = 4 的焦点为(1,0)，
因为椭圆右焦点 2与抛物线 2 = 4 的焦点重合
所以椭圆 的半焦距为 = 1，
因为| | = 4，
所以 2 = 4，
解得 = 2，
则 2 = 3，
2 2
故椭圆 的方程为
4 +
；
3 = 1
(2)①证明：设直线 的方程为 = + 4， ( 1, 1)， ( 2, 2)，
易知 ( 2,0)， (2,0)，
= + 4
联立 2 2 ，消去 并整理得(3 2 + 4) 2 + 24 + 36 = 0，
4 + 3 = 1
此时 > 0，
24 36
由韦达定理得 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4，
1
因为 ： = +2 ( + 2)
2
， ： =
1 2 2
( 2)，
3 9
+2 +
所以 2 =
2( 1+2) 1 2+6 2
( 2) = +2 =
2 1 2 2
1 3 = 3，1 2 1 2 1 2 1 2 2
解得 = 1．
则点 在定直线 = 1 上．
②同理知点 在定直线 = 1 上，
1
因为点 在直线 ： = +2 ( + 2)上，1
令 = 1，
3
解得 = 1 1+2；
3
同理得 = 2 2+2，
第 7页，共 9页
1
因为 △ = 2 | ||
1
| = 2| |， △ = 2 | || | = 2| |，
36 所以 1
2 36 1 2 36 1 2
△ △ = 4| | = | ( | = |1+2)( 2+2) ( 1+6)( 2+6)
| = | 2 | =1 2+6 ( 1+ 2)+36
| 36 2 4 2+3 2+4 | = 9．
则 △ △ 为定值，定值为 9．
19.解：(1)当 = 1 时， ( ) = 3 1， ∈ (0, + ∞)，
则 ′( ) = + 1 3 2，令 ( ) = ′( )，
则 1′( ) = 6 ，
6
令 ′( ) > 0，解得 0 < < 6 ，
6
令 ′( ) < 0，解得 > 6 ，
∴ 6 6′( )在区间(0, 6 )上单调递增，在区间( 6 , + ∞)上单调递减，
∴ ( ) ≤ 6 6 1 1 1′ ′( 6 ) = ln 6 + 2 = 2 (ln 6+ 1) < 0，
∴ ( )的单调递减区间是(0, + ∞)，无增区间．
(2)证明：∵ ∈ (0, + ∞)，
当 ∈ (0,1)时， ( ) < 0 显然成立，
当 ∈ (1, + ∞)时， ′( ) = ( + 1) 3 2，令 ( ) = ′( )，
∴ ′( ) = 6 < 0，
∴ ′( )在区间(1, + ∞)上单调递减，∴ ′( ) < ′(1) = 3 ≤ 0，
∴ ( )在区间(1, + ∞)上单调递减，∴ ( ) < (1) = 2 < 0，
综上所述，当 0 ≤ ≤ 3 时， ( ) < 0．
(3)证明： ( ) = ，
∴ ′( ) = + 1，令 ′( ) < 0 1，则 0 < < ，
第 8页，共 9页
∴ ( )在区间(0, 1 1 )上单调递减，在区间( , + ∞)上单调递增，
∵ ( 1 ) =
1
，
∴ ∈ ( 1 , 0)．
< ∈ (0, 1不妨设 1 2，则 1 )， 2 ∈ (
1
, 1)，
先证： 2
1 1
1 > + 1，设 ( , )， (1,0)，
1
易知直线 方程为 = ，直线 方程为 = 1 ( 1)，
则直线 ， 与直线 = 交点的横坐标为 4 = ， 5 = ( 1) + 1，
∴ 5 4 = + 1，
∵ 4 = = 1 1 > 1，同理可证： 4 < 2，
∴ 1 < 4 < 2，类似的可以证明 1 < 5 < 2，
∴ 5 4 < 2 1，即 + 1 < 2 1；
再证： 2 1 < + 1，
易知 ( )在 = 1 处的切线方程为 = 1，该切线与直线 = 的交点的横坐标为 3 = + 1，
令 ( ) = ( ) ( 1) = + 1，则 ′( ) = ，
当 ∈ (0,1)时， ′( ) < 0，此时 ( ) > (1) = 0，
∴当 ∈ (0,1)时， = 1 图像在 ( )下方．
∴ 3 > 2 1，
∴ 2 1 < 3 < + 1；
综上， + 1 < | 1 2| < + 1，即得证．
第 9页，共 9页
