2024-2025 学年上海市松江一中高二（下）月考数学试卷（3 月份）
一、单选题：本题共 3 小题，每小题 4 分，共 12 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列向量中，与向量 = (3,4)共线的一个单位向量是( )
A. ( 6, 8) B. ( 35 ,
4 4 3
5 ) C. (8,6) D. ( 5 , 5 )
2.已知可导函数 ( )的部分图象如图所示， (2) = 0， ′( )为函数 ( )的导函数，下列结论不一定成立的
是( )
A. ′(1) < (1)
B. ′(5) < (5)
C. ′(2) = (2)
D. ′(3) < ′(4) < ′(5)
3.某手机专卖店新进 ， ， ， ， ， ， 这 7 款充电宝，准备将它们在货柜里摆成一排售卖，则下列说
法不正确的是( )
A.若 ， ， 必须摆在前三个位置，则不同的摆法有 144 种
B.若 ， ， 彼此不相邻， ， ， ， 也彼此不相邻，则不同的摆法有 72 种
C.若 ， ， 彼此不相邻，则不同的摆法有 1440 种
D.若 不能摆在后两个位置，则不同的摆法有 3600 种
二、多选题：本题共 1 小题，共 4 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
4.若函数 ( )的图象上存在无数个点，使得 ( )在这无数个点处的切线重合，则称 ( )为“共切线函数”，
则下列函数中是“共切线函数”的是( )
A. ( ) = + 2 B. ( ) = 3 +
2
C. ( ) = + 2 , ≤ 0, ( 2), > 0 D. ( ) =
三、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5 (1+ ) (1).若函数 ( )的导函数 ′( )存在，且 lim = 4，则 ′(1) = ______． →0
6.一质点的运动方程为 = 2 2 + 3( 的单位： ， 的单位： )，则该质点在 = 3 时的瞬时速度为______．
7.已知复数 = + ，( , ∈ )，且| + 4 3 | = 2，则 ， 满足的轨迹方程是______．
8.在等差数列中， 11 = 22，则 6 = ______．
9.已知函数 ( ) = 2 + 在点(1, (1))处的切线方程为______．
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10.甲、乙、丙、丁共 4 名同学参加某知识竞赛，已决出了第 1 名到第 4 名(没有并列名次).甲、乙、丙三人
向老师询问成绩，老师对甲和乙说：“你俩名次相邻”，对丙说：“很遗憾，你没有得到第 1 名”.从这个
回答分析，4 人的名次排列情况种数为______．
11 1.已知函数 ( ) = 2
2 + + 在区间(3, + ∞)上单调递增，则实数 的取值范围是______．
12.已知函数 ( )的导函数为 ′( )，若 ( ) = 2 + 3 ′(0) ，则 ′(2) = ______．
13.已知集合 ∪ ∪ = { 1, 2, 3, 4, 5}，且 ∩ = { 1, 2}，则集合 、 、 所有可能的情况有______
种.
14.设函数 ( ) = 3 + + 3，则满足 ( ) + (2 3 ) < 6 的 取值范围是______．
15.已知 1( ) = + + ， +1( )是 ( )的导函数，即 2( ) = ′1( )， 3( ) = ′2( )，…，
+1( ) = ′ ( ), ∈ ，则 25(0) = ______．
16.用 ( , )表示点 与曲线 上任意一点距离的最大值.已知函数 1( ) = 3 + (1 ) ， ∈ [0,1]， 2( ) =
3 + (1 ) ， ∈ [1,2].设 1是曲线 = 1( )上的动点，当 ∈ [ 2 , 1]时， ( , 2( ))的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 74 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
(1)已知 2 2 +2 = 26, ∈ ，求 的值；
(2)已知圆 1：( )2 + 2 = 1，圆 2 22： + ( ) = 9, ∈ {0,1,2,3}， ∈ { 4, 2,0,1,3}，若两个圆有
公共点，则以 为横坐标， 为纵坐标点 ( , )有几个？
18.(本小题 15 分)
已知在正四棱柱 1 1 1 1中， = 3， 1 = 4，点 是 1的中点．
(1)求异面直线 1与 所成角的余弦值；
(2)求三棱锥 1 的体积．
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19.(本小题 15 分)
某公司生产的某批产品的销售量 万件(生产量与销售量相等)， > 0，已知生产该批产品共需投入成本 3 +
12 2 + 36 200万元，产品的销售价格定为(180 + )元/件．
(1)将该产品的利润 万元表示为销售量 万元的函数；
(2)当销售量 投入多少元时，该公司的利润最大，最大值多少？
20.(本小题 15 分)
2
已知双曲线 2 ： 3 = 1，设其左、右顶点分别为 ， ，中心为 ．
(1)求双曲线 的焦点；
(2) 15斜率为 5 的直线 交双曲线 于 ， 两点，且 ⊥ ，求弦长| |；
(3)设双曲线 右支上两点 ， 满足直线 与 在 轴上的截距之比为 1：3，判断直线 是否过定点，
并说明理由．
21.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)求函数 ( )的极值；
(2)求证：当 0 < ≤ 1 时，2 ( ) ≥ 2 1；
(3)若 ( ) = 2 2 |1 + ( ) |，其中 0 < < 1，讨论函数 ( )的零点个数．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.4
6.12 /
7.( + 4)2 + ( 3)2 = 4
8.2
9. = 3 1
10.8
11.[ 103 , + ∞)
12.2 3 2
13.500
14.(1, + ∞)
15.25
16. 17
17.解：(1)由 2 2 +2 = 26，可得( + 2)( + 1) ( 1) = 26，整理得 4 = 24，所以 = 6．
(2)根据题意，可得圆 1的圆心为( , 0)，半径 1 = 1，圆 2的圆心为(0, )，半径 2 = 3．
因为| 2 21 2| = + ，且两圆有公共点，所以 3 1 ≤ | 1 2| ≤ 3 + 1 2 ≤ | 1 2| ≤ 4，可得 4 ≤ 2 +
2 ≤ 16．
当 = 0 时， = 4，3， 2；当 = 1 时， = 3， 2；
当 = 2 时， = 0，1， 2，3；当 = 3 时， = 0，1， 2．
综上所述，满足条件的 ( , )共有 12 个．
18.解：(1)如图，连接 ，设 ∩ = ，则 为 的中点，
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又 为 1的中点，所以 // 1，
所以异面直线 1与 所成角为∠ 或其补角，
又 = 3 2 1 52 , = 2 1 = 2 , =
5
2，
25
4 +
25 9
cos∠ = 4 2 = 16所以
2×5 5 25
，
2×2
所以异面直线 1与
16
所成角的余弦值为25；
(2)
因为 ⊥ ， = 32 + 32 = 3 2，
所以 = 1 1 3 22 = 2 = 2 ，
又 1 ⊥平面 ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ，又 1 ∩ = ，
所以 ⊥平面 1 ，又 是 1的中点，
所以三棱锥 1 的体积为 1 = =
1 = 1 × 1 1 1 1 2 1 2 3 △ 1 = 6 × 2 × 3 2 × 4 ×
3 2
2 = 3．
19.解：(1)因为生产的某批产品的销售量 万件(生产量与销售量相等)， > 0，
200
又生产该批产品共需投入成本 3 + 12 2 + 36 万元，产品的销售价格定为(180 + )元/件，
所以该产品的利润为：
= (180 + 200 3 2 ) ( + 12 + 36 ) = 180 + 200
3 12 2 36 ，
即 = 3 12 2 + 144 + 200( > 0)；
(2) ′ = 3 2 24 + 144 = 3( 2 + 8 48) = 3( + 12)( 4)，
当 ∈ (0,4)时， ′ > 0，函数 = 3 12 2 + 144 + 200( > 0)单调递增；
当 ∈ (4, + ∞)时， ′ < 0，函数 = 3 12 2 + 144 + 200( > 0)单调递减，
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则当 = 4 时，利润最大，最大为 520 万元．
2
20. 解：(1)根据 ： 2 3 = 1，易知 = 1, = 3，那么 =
2 + 2 = 2，
因此 的焦点为(2,0)，( 2,0)．
(2) 15根据题意设直线 为 = 5 ( )，且 ( 2, 2)， ( 1, 1)，
= 155 ( )联立得 2 2
2
，化简得 4 + 2 ( + 5) = 0，
2 3 = 1
2
因此 = (2 )2 + 16( 2 + 5) > 0，根据韦达定理可得 1 + 2 =
2 ,
+5
1 2 = 4 ，
3 3
那么 1 2 = 5 ( 1 )( 2 ) = 5 [ 1 2 (
2
1 + 2) + ]，
由于 ⊥ ，那么 ⊥ ，所以 = 0，
所以 1 2 + 1 2 = 0，那么 8 1 2 3 ( 1 + 2) + 3 2 = 0，
所以 2( 2 + 5) + 32
2 + 3 2 = 0，所以 =± 2，
因此| | = ( 1 22) + ( 1 2)2 = 1 + (
15 2
5 ) | 1 2|
2
= 1 + ( 15 )2 ( + )25 1 2 4 1
8 2
2 = 5 × 4 + + 5 = 4．
(3)根据题意得 (1,0)， ( 1,0)，
那么设直线 为 = ( + 1)，那么直线 为 = 3 ( 1)，
= ( + 1)
联立得 22 ，化简得(3
2) 2 2 2 2 3 = 0，
3 = 1
2 3 2+3
所以 = 3 2 ，则 = 3 2，
= 3 ( 1)
联立直线 与双曲线的方程得 22 ，整理得(3 9
2) 2 + 18 2 9 2 3 = 0，
3 = 1
2
= 9 3 = 9
2 3
所以 3 9 2 ，那么 3 9 2 ，
2
( +3 , 6
2
因此 3 2 3 2 ), (
9 3 18
3 9 2 , 3 9 2 )．
如果直线 过定点，根据对称性得定点在 轴上，设定点为 ( , 0)，
6 18
2 2
那么 = ，所以 3 = 3 9 2 ，得(6 12)( 2 + 1) = 0， +3 9 2 3
3 2 3 9 2
因此 6 12 = 0，所以 = 2，
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因此直线 过定点(2,0)．
21.解：(1) ′( ) = + 1( > 0)，令 ′( ) = 0，得 = 1，
当 0 < < 1时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
当 > 1时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( ) 1 1极小值 = ( ) = ，无极大值．
(2)证明：原不等式等价于：0 < ≤ 1，2 ≥ 2 1，
即 0 < ≤ 1，2 2 + 1 ≥ 0，
令 ( ) = 2 2 + 1，(0 < ≤ 1)，下证： ( ) ≥ 0，
则 ′( ) = 2 + 2 2 ( ) = 2 2 = 2(1 )， ″ ≥ 0，等号当且仅当 = 1 时成立，
所以 ′( )在 0 < ≤ 1 上单调递增， ′( ) ≤ ′(1) = 0，等号当且仅当 = 1 时成立，
所以 ( )在 0 < ≤ 1 上单调递减， ( ) ≥ (1) = 0，即原不等式成立．
(3)等价于 ( ) = 2 2 |1 + |(0 < < 1)的零点个数问题：
①当 0 < < 1时， ( ) = 2 + 2 (1 + )，显然 ( )在(0, 1)上单调递增，
又 (0) → ∞， ( 1) = 2 > 0，所以 ( )在(0, 1)上总有唯一的零点；
②当 > 1时， ( ) = 2 2 (1 + )，
则 ′( ) = 2 2 (1 + ) = 2 2 2( + )( ) = ，
(Ⅰ)若 0 < ≤ 2，则 ′( ) > 0 在( 1, + ∞)上恒成立， ( )在( 1, + ∞)上单调递增，
( ) > ( 1) = 2 > 0， ( )在( 1, + ∞)上无零点；
(Ⅱ)若 2 < < 1，当 1 < < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
( ) = ( ) = (1 + )，令 ( ) = ( ) = 0，得 = 1．
( )若 2 < < 1，则 ( ) = ( ) > 0, ( )在( 1, + ∞)上无零点；
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( )若 = 1，则 ( ) 1 = ( ) = 0, ( )在( , + ∞)上有唯一零点；
( )若 1 < < 1，则 ( ) = ( ) < 0，又 ( 1) = 2 > 0，
又由(2)知 ≤ 1， ≤ 2 得，得 (2 ) = 4 2 2 2 2 ≥ 0，
由零点存在性定理可知， ( )在( 1, )，( , 2 ]上各有一个零点．
综上所述：当 0 < < 1时， ( )有一个零点：当 = 1时， ( )有两个零点；当 1 < < 1 时， ( )有
三个零点．
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