2024-2025 学年福建省福州市闽侯一中高一（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数(3 + ) (1 + 2 )在复平面内对应的点在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
2.已知 = (0,1), | | = 1, | + | = 3，则 与 的夹角为( )
A. B. 2 3 3 C.
D. 5 6 6
3 3.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 = 2, = 4 , = 3 ，则 =( )
A. 2 33 B. 2 C. 3 D. 2 3
4.若在三角形 中， = 2 , = 3 ，则 =( )
A. 4 + 5 B. 4 5 C. 4 5 3 6 3 6 3 6
D. 4 5 3 + 6
5.已知平面上四个点 ( 1,2)， (1,1)， (2,1)， (3,4)，则向量 在向量 上的投影向量为( )
A. ( 110 ,
3 1 3
10 ) B. ( 10 , 10 )
C. ( 1010 ,
3 10 2 1
10 ) D. ( 5 , 5 )
6.如图，某同学为测量南京大报恩寺琉璃塔的高度 ，在琉璃塔的正东方向找到一座建筑物 ，高约为
39 ，在地面上点 处( , , 三点共线)测得建筑物顶部 和琉璃塔顶部 的仰角分别为 30°和 45°，在 处测
得塔顶部 的仰角为 15°，则琉璃塔的高度约为( )
A. 78 B. 74 C. 64 D. 52
7 .在△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，已知 = 6， = ， = 3，若满足条件的角 有两个
不同的值，则 的取值范围为( )
A. (0,3 3) B. (3 3, + ∞) C. (3 3, 6) D. (0,6)
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8.在锐角△ 中，角 ， ， 的对边分别为 、 、 ， 为△ 的面积， = 4，且 2 = 2 ( )2，
则△ 的周长的取值范围是( )
A. (8,4 5 + 4] B. (12,2 5 + 2] C. (8,2 5 + 2] D. (12,4 5 + 4]
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = ( 1,3), = ( , 2)，且( 2 ) ⊥ ，则下列选项正确的是( )
A. , 能作为平面内所有向量的一组基底
B. < 3 是 = ( 1,3)与 = ( ,1)夹角是锐角的充要条件
C.向量 与向量 的夹角是 45°
D.向量 在向量 上的投影向量坐标是( 1,3)
10.在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，则( )
A.若| + | = | |，则△ 为直角三角形
B.若 = 4, = 6符合条件的△ 有一个，则 2 < < 4
C.若 > ，则 >
D.若 2 = 2 ，则△ 为等腰三角形
11.如图，正方形 的边长为 2， 是 中点，如图，点 是以 为直径的半圆上任意点； = + ，
则下列结论正确的有( )
A. 最大值为 1
B. 最大值为 1
C. 最大值是 2
D. 最大值是 5 + 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 = (2,1)， = (3, 3)，则 = ______．
13.在 中，∠ = 60°， = 2， = 3，则△ 外接圆面积为______．
14.已知梯形中 ， // ，∠ = 3， = = 2， = 4，点 ， 在线段 上移动，且 = 1，
则 的最小值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 60 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 12 分)
已知| | = 1，| | = 2， 与 的夹角为 60°．
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(1)求|2 |；
(2)若向量 + 与 相互垂直，求实数 的值．
16.(本小题 12 分)
已知复数 = 1 + ( ∈ , 为虚数单位)．
(1)若(1 2 ) 为纯虚数，求实数 的值；
(2)若 = 1+ ，且复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，求 的取值范围．
17.(本小题 12 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 = 2 ， 2 + 2 2 = 2 ．
(1)求 ；
(2)若△ 的面积为 3 + 3，求 ．
18.(本小题 12 分)
如图，我国南海某处的一个圆形海域上有四个小岛，小岛 与小岛 、小岛 相距都为 5 ，与小岛 相
距为 3 5 . ∠ 为钝角，且 = 35．
(1)求小岛 与小岛 之间的距离和四个小岛所形成的四边形的面积；
(2)记∠ 为 ，∠ 为 ，求 sin(2 + )的值．
19.(本小题 12 分)
3 2
已知△ 的内角 ， ， 的对边为 ， ， ，且 = 3( + )．
(1)求 ；
(2)若△ 8的面积为3 2；
(1) 为 的中点，求△ 底边 上中线 长的最小值；
(2)求内角 的角平分线 长的最大值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.3
13.7 3
14.114
15.解：(1)根据题意，| | = 1，| | = 2， 与 的夹角为 60°，
2
∴ |2 | = (2 )2 = 4 2 + 4 = 4 + 4 4 × 1 × 2 × 60° = 2；
(2)根据题意，| | = 1，| | = 2，向量 + 与 互相垂直，
∴ ( + ) ( ) = ( 2 2 2) = 2 + 4 = 0，
解得 =± 2；
故 的值为±2．
16.解：(1)由复数 = 1 + ，得(1 2 ) = (1 2 ) (1 + ) = 1 + 2 + ( 2) 为纯虚数，
∴ 1 + 2 = 0 1 2 ≠ 0 ，解得 = 2．
1
故实数 的值为 2；
(2) = = 1+ = (1+ )(1 ) +1 11+ 1+ (1+ )(1 ) = 2 + 2 ，
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+1 > 0
由复数 在复平面内所对应的点位于第四象限，得 2 1 ，解得 1 < < 1．
2 < 0
∴ 的取值范围为( 1,1)．
2 2 2
17.解：(1)因为 2 + 2 2 = 2 ，所以由余弦定理得 cos = + = 2 2，2 2 = 2
∈ (0, ) = 而 ，因此 4．
又因为 sin = 2cos ，所以 sin
4 = 2cos
1
，即 2
2 = 2cos ，解得 cos = 2，
而 ∈ (0, ) ，因此 = 3．
(2)由(1) 知： = 3， = 4，因此 = =
5
3 4 = 12．
因为△ 1的面积为 3 + 3，所以 12 sin = 3 + 3，即2 ×
2
2 = 3 + 3，解得 = 2 2(3 + 3)．
sin sin 2sin sin
又因为由正弦定理得 = sin ， = sin ，所以 = ，sin2
即 ，
即 2 2(3 + 3) = 3 2 6+ 24 ，解得 = 2 2( = 2 2舍去)．
18. 3解：(1) ∵ = 3 2 45，且 为钝角，∴ = 1 ( 5 ) = ，5
在△ 中，由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
∴ (3 5)2 = 2 + 52 2 5 ( 45 )，即
2 + 8 20 = 0，
解得： = 2 或 = 10(舍去)．
∴小岛 与小岛 之间的距离为 2 ．
∵ 、 、 、 3四点共圆，∴ 与 互补，则 = 5，
= cos(180° ) = = 45．
在△ 中，由余弦定理得： 2 + 2 2 = 2，
∴ 2 + 52 2 5 45 = (3 5)
2，得 2 8 20 = 0，
解得 = 2(舍去)或 = 10．
1 1
∴ 四边形 = △ + △ = 2 + 2
= 1 × 5 × 2 × 3 1 32 5+ 2 × 5 × 10 × 5 = 3 + 15 = 18(平方 )；
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(2)在△ 中，由正弦定理得：sin = ，
5 3 5
即sin = 3 ，解得 =
5．
5 5
∵ 2 + 2 > 2，∴ 为锐角，则 = 2 5，5
又∵ sin( + ) = sin(180° ) = = 35，
cos( + ) = cos(180° ) = = 45，
∴ sin(2 + ) = sin[ + ( + )] = ( + ) + ( + )
= 55 × (
4
5 ) +
2 5 3 2 5．
5 × 5 = 25
19.解：(1) 因为 =
3 2
3( + )，
由正弦定理，得 =
3 2
3( + )，
2
整理可得： 2 + 2 2 = 3 ，
由余弦定理可得： 2 + 2 2 = 2 ，
所以 = 13 > 0
，所以 ∈ (0, 2 )，
1 2 2
所以 = 1 cos2 = 1 9 = 3 ，
所以 = 2 2；
(2)①由(1)知 = 2 23 ，
8 1 8
因为△ 的面积为3 2，所以2 = 3 2，解得 = 8，
由于 = 1 2 ( + )，
所以
2 2 2
= 1 4 ( +
+ 2 ) = 14 (
2 + 2 + 2 ) = 14 (
2 + 2 + 23 ) ≥
1
4 (2 +
2
3 ) =
1
4 ×
8 = 163 3，
当且仅当 = 时，等号取得到，
所以| |2 ≥ 16 | | ≥ 4 33 3 ；
②因为 为角 的角平分线，由于 + = ，
1 1
所以2 | | 2 + 2 | |
1
2 = 2 =
2 cos 2，
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由于 sin 2 ≠ 0，所以| |( + ) = 2
2，
由于 = 2 2 2 1，又 = 8，
所以| |( + ) = 2 2 = 2 × 8 ×
6 16 6
3 = 3 ，
由于 + ≥ 2 = 4 2，当且仅当 = 时，等号取得到，
16 6
故 3 = | |( + ) ≥ 2 | | = 4 2| |，
4 3
所以 ≤ 3 ．
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