2024-2025 学年安徽省合肥六中高一（下）第三次月考
数学试卷
一、单选题：本题共 11 小题，每小题 3 分，共 33 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在锐角三角形 中， = 2 ，则 =( )
A. 7 6 B. 4 C. 3 D. 12
2.已知向量 = ( 1,1), = (2,3)，则 在 上的投影向量的坐标为( )
A. ( 1 12 , 2 ) B. (
1 1 1 1 1 1
2 , 2 ) C. ( 2 , 2 ) D. ( 2 , 2 )
3.在△ 中，“ < ”是“ > ”成立的( )
A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件
C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件
4.如图所示，在△ 中，点 在线段 上， = 3， = = 2. sin∠ = 35，则边 的长为( )
A. 4916
B. 15 716
C. 154
D. 5 74
5 △ = .在 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若 ，sin > sin ，则△ 的形状一定是( )
A.直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D.等腰或直角三角形
6.衡量钻石价值的 4 标准之一是切工．理想切工是一种高雅且杰出的切工，它使钻石几乎反射了所有进入
钻石的光线．现有一理想切工的钻石，其横截面如图所示，其中△ 为等腰直角三角形，四边形
3
为等腰梯形，且 = 2 ， = ，∠ = 4，则 =( )
A. 1 + 2 B. 1 + 3 3 3
C. 1 2 + 2 D.
1 2 + 3
7.△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，已知 + ( ) = 0， = 2， = 2，则 =( )
A. B. 12 6 C.
4 D. 3
8.新疆国际大巴扎丝绸之路观光塔，是乌鲁木齐的地标性建筑.如图，某同学为测量观光塔的高度 ，在观
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光塔的正西方向找到一座高为 40 米的建筑物 ，在地面上点 处( , , 三点共线且在同一水平面上)测得
建筑物 的顶部 的仰角为6，测得观光塔的顶部 的仰角为4，在建筑物 的顶部 处测得观光塔的顶部
的仰角为12，则观光塔的高 为( )
A. 40 2米 B. 80 米 C. 80 2米 D. 40 3米
9 2 .在△ 中， 为边 上一点，∠ = 3， = 4， = 2 ，且△ 的面积为 4 3，则 sin∠ =( )
A. 15 3 B. 15+ 38 8 C.
5 3
4 D.
5+ 3
4
10.设锐角△ 的三个内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 = 1， = 2 ，则△ 周长的取值范围
为( )
A. (0,2 + 2) B. (0,3 + 3)
C. (2 + 2, 3 + 3) D. (2 + 2, 3 + 3]
11.在△ 1中，点 ， 在边 上，且满足： = ( + ) = 2 3 22 ， ，若 = 3， = 2 ， = 3，
则△ 的面积等于( )
A. 1 B. 2 C. 2 D. 32 3 2 2
二、多选题：本题共 4 小题，共 20 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
12.在△ 中，根据下列条件解三角形，下列判断正确的是( )
A. = 60， = 48， = 100°，有一解
B. = 14， = 16， = 45°，有两解
C. = 30， = 25， = 150°，无解
D. = 10， = 45°， = 70°，有一解
13.有下列说法，其中正确的说法为( )
A.若 2 = 2 ，则△ 是等腰三角形
B.若 = = ，则 是三角形 的垂心
C.若sin2 + sin2 + cos2 < 1，则△ 为钝角三角形
D.若 // ，则存在唯一实数 使得 =
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14.在△ 中， = 3， = 1，∠ = 3，点 ， 分别满足
= 3 ， = 2 ， 与 相交于
点 ，则( )
A. = 1 2 3 3 B.
= 1 2
C. | | = 13 D. cos∠ = 132 13
15.在圆 的内接四边形 中， = 2， = 6， = = 4，则( )
A. = 2 7 B.四边形 的面积为 8 3
C. = 12 D. = 16
三、填空题：本题共 5 小题，每小题 3 分，共 15 分。
16.在△ 中， ， ， 分别是角 ， ， 所对的边，且 ， 是方程 2 5 + 6 = 0 的两个根， = 60°，
则 = ______．
17.△ 的三内角 ， ， 所对边长分别是 ， ， ，设向量 = ( + , )， = ( 3 + , )，
若 // ，则角 的大小为 ．
18 △ ∠ ∠ = .已知 中角 ，，所对的边分别为 ，，， 为边 上一点，且 为 的角平分线，若 3，
= 3，则 + 最小值为______．
19.如图所示，制作某回旋飞梭的飞行翅膀时，需从一个直角三角形的塑料板上裁去一个以其斜边为一边且
对角为 150°的三角形(图中的阴影部分)再加工而成，为游戏者安全考虑，具体制作尺寸为∠ = 90°，
∠ = 120°， = 2 = 2 3，则 tan(∠ + 60°) = ．
20 .在△ 中，角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，若6 < < 且
2 24 = ，则 +
1
的取值范围
为______．
四、解答题：本题共 2 小题，共 32 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
21.(本小题 16 分)
记△ 的内角 ， ， 的对边分别为 ， ， ，且 2 = ．
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(1)求角 ；
(2) = 7, △ 3 3若 的面积为 2 ，求△ 的周长．
22.(本小题 16 分)
如图，已知扇形 是一个观光区的平面示意图，其中扇形半径为 10 米，∠ = 3，为了便于游客观光
和旅游，提出以下两种设计方案：
(1)如图 1，拟在观光区内规划一条三角形 形状的道路，道路的一个顶点 在弧 上，另一顶点 在半
径 上，且 // ，求△ 周长的最大值；
(2)如图 2，拟在观光区内规划一个三角形区域种植花卉，三角形花圃 的一个顶点 在弧 上，另两个
顶点 、 在半径 、 上，且 / / ， ⊥ ，求花圃△ 面积的最大值．
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参考答案
1.
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3.
4.
5.
6.
7.
8.
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10.
11.
12.
13.
14.
15.
16. 7
17.56
18.4
19.5 3
20.(1, 2 33 )
21.解：(1)因为 2 = ，由正弦定理及倍角公式，
得 2 = ，
≠ 0 1因为 ， ≠ 0，所以 = 2，
又 ∈ (0, ) ，所以 = 3；
(2) 1 1 3 3 3在△ 中，由已知 △ = 2 = 2 2 = 2 ，
∴ = 6，又 = 7，
由余弦定理可得 2 = 2 + 2 2 ，
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即 7 = ( + )2 2 2 ( 12 )，
即 7 = ( + )2 3 ，
又 > 0， > 0，所以 + = 5．
所以△ 的周长周长为 5 + 7．
22. 解：(1) ∵ / / ，∠ = 3，∴ ∠ =
2
3，
又 = 10，设∠ = ， ∈ (0, 3 )，
10 20 3
在△ 中，由正弦定理可知，sin∠ = sin = sin( 3 )
= 3 = 3 ，
2
∴ = 20 20 3 ， = 3 sin( 3 )，
∴△ 20 的周长 ( ) = 3 [ + sin( 3 )] +
10， ∈ (0, 3 ).
化简得 ( ) = 203 sin( +
3 ) + 10．
∴ = 6时，△ 的周长有最大值为
20 3+ 10 米．3
答：△ 周长的最大值为20 3
3 + 10 米；
(2) ∵图 2 中△ 与图 1 中△ 面积相等，
而在△ 中，∵ = = 10， / / ，∠ = 3，
∴ ∠ = 2 3．
由余弦定理知， 2 = 2 + 2 2 cos∠ ，
∴ 100 = 2 + 2 + ≥ 3 ，
∴ ≤ 1003 ，当且仅当 = =
10
3 =
10 3
时取“=”．
3
∴ 1 1 100 3 25 3△ = 2 120° ≤ × × = 平方米．2 3 2 3
答：花圃△ 面积的最大值为25 3平方米，此时
3 = =
10 3米．
3
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