2024-2025 学年福建省厦门三中高二（下）月考数学试卷（3 月份）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.质点 的运动方程为 = 2 2 2，则在时间段[2,2 +△ ]内的平均速度为( )
A. 8 + 2 △ B. 4 + 2 +△ C. 7 + 2 +△ D. 8 + 2 +△
2 22.已知双曲线 4
2 = 1 的右焦点到其渐近线的距离等于 3，则该双曲线的离心率等于( )
A. 12 B.
3
2 C. 2 D.
7
2
3.设 是数列{ }的前 项和，已知 1 = 1 且 +1 = 2 + 1，则 5 =( )
A. 101 B. 81 C. 32 D. 16
4.现有 5 人站成一排照相，其中甲、乙相邻，且丙、丁不相邻，这样的排法有( )
A. 12 种 B. 24 种 C. 36 种 D. 48 种
5.已知四棱锥 的底面为正方形， ⊥平面 ， = = 1，点 是 的中点，则点 到直线
的距离是( )
A. 54 B.
5 2 3 2
2 C. 2 D. 4
6 | |.已知 ( 2,0)， (2,0)，动点 满足 2 2| | = 2，则点 的轨迹与圆 + = 8 相交的弦长等于( )
A. 2 7 B. 2 6 C. 4 2 D. 2 5
7.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( ) = 2 ， ( ) = 6 4 ，设两曲线 = ( )与 = ( )在公共点处
的切线相同，则 值等于( )
A. 3 B. 1 C. 3 D. 5
8.已知点 是曲线 2 = 4 上任意一点，过点 向 轴引垂线，垂足为 ，点 是曲线 = 上任意一点，则
| | + | |的最小值为( )
A. 3 + 1 B. 2 + 1 C. 3 1 D. 2 1
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量 = (1,1,0)， = (0,1,1)， = (1,2,1)，则下列结论正确的是( )
A.向量 与向量 的夹角为3
B. ⊥ ( )
C. 1 1向量 在向量 上的投影向量为( 2 , 0, 2 )
D.向量 与向量 ， 共面
第 1页，共 8页
10.高二年级安排甲、乙、丙三位同学到 ， ， ， ， 五个社区进行暑期社会实践活动，每位同学只能选
择一个社区进行活动，且多个同学可以选择同一个社区进行活动，下列说法正确的有( )
A.如果社区 必须有同学选择，则不同的安排方法有 61 种
B.如果同学甲必须选择社区 ，则不同的安排方法有 25 种
C.如果三名同学选择的社区各不相同，则不同的安排方法共有 60 种
D.如果甲、乙两名同学必须在同一个社区，则不同的安排方法共有 20 种
11
2
.已知 1， 2分别为椭圆 ： 22 + = 1 的左、右焦点，不过原点 且斜率为 1 的直线 与椭圆 交于 ，
两点，则下列结论正确的有( )
A. 2椭圆 的离心率为 2
B.椭圆 的长轴长为 2
C.若点 1是线段 的中点，则 的斜率为 2
D. △ 2的面积的最大值为 2
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .函数 ( ) = 的单调递减区间是_________．
13.曲线 = ln(2 1)上的点到直线 2 + 3 = 0 的最短距离是______．
14 .已知曲线 = 存在过坐标原点的切线，则实数 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知二次函数 ( ) = 2 + 3 在 = 1 处取得极值，且在点(0, 3)处的切线与直线 2 + = 0 平行．
(1)求 ( )的解析式；
(2)求函数 ( ) = ( ) + 4 在区间[ 1,2]上的最大值和最小值．
16.(本小题 15 分)
已知等差数列{ }前 项和为 ( ∈ +)，数列{ }是等比数列， 1 = 3， 1 = 1， 2 + 2 = 10， 5 2 2 = 3．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
2 , 为奇数
(2)若 = ，设数列{ }的前 项和为 ，求 2 ．
2 , 为偶数
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 为矩形，侧棱 ⊥底面 ， = = 2 = 2， 是 的中
第 2页，共 8页
点．
(Ⅰ)求证： //平面 ；
(Ⅱ)求平面 与平面 夹角的余弦值；
(Ⅲ) 2 2已知点 在棱 上，且直线 与平面 所成角的正弦值为 3 ，求线段 的长．
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = ．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)若 > 0, ∈ (0, + ∞), ( ) > 1 ，求 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
已知圆 2 21：( + 1) + = 8，点 2(1,0)，点 在圆 1上运动 2的垂直平分线交 1于点 ．
(1)求动点 的轨迹 的方程；
(2)过点 (0, 13 )的动直线 交曲线 于 、 两点，证明：以 为直径的圆恒过 轴上的定点 ，并求出 的坐
标．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.(0,1)，(1, )
13. 5
14.( ∞, 4] ∪ [0, + ∞)
15.解：(1)由 ( ) = 2 + 3，可得 ′( ) = 2 + ，
′(1) = 0 2 + = 0
所以由题意得 ，即 = 2 ，解得 = 1， = 2， ′(0) = 2
所以 ( ) = 2 2 3．
(2)由题意可知 ( ) = ( ) + 4 = 3 2 2 + ，
所以 ′( ) = 3 2 4 + 1 = (3 1)( 1)，
令 ′( ) = 0 1，解得 1 = 3， 2 = 1，
列表有
(
1 1 1 1 (1,
∞,3 ) 3
(3 , 1) + ∞)
′( ) + 0 0 +
( ) 递增 极大值 递减 极小值 递增
第 4页，共 8页
1 1
由上可知 ( )在[ 1, 3 ]上单调递增，在( 3 , 1]上单调递减，在(1,2]上单调递增，
1 4
又 ( 1) = 4, ( 3 ) = 27， (1) = 0， (2) = 2，
所以 ( )最小值为 4，最大值为 2．
16.解：(1)设公差为 的等差数列{ }前 项和为 ( ∈ +)，数列{ }是以公比为 的等比数列， 1 = 3， 1 =
1， 2 + 2 = 10， 5 2 2 = 3，
+ 3 + 3 + = 10 = 2
所以 3 + 4 2 = 3 + 2 ，解得 = 2 ；
故 = 2 + 1， = 2 1．
2 , 2 为奇数 ( +2) , 为奇数(2)由(1)得： = ，整理得 = ；
2 , 为偶数 (2 + 1) 2 , 为偶数
1 1 1 1 1
所以 2 = (1 + 2 43 3 5+ . . . + 2 1 2 +1 ) + (5 2 + 9 2 + . . . + (4 + 1) 2
2 )，
令 = 5 22 + 9 24 + . . . + (4 + 1) 22 ，①；
4 = 5 24 + 9 26 + . . . + (4 + 1) 22 +2，②；
① ②得： 3 = 22 + 4 × (22 + 24 + . . . + 22 ) (4 + 1) 22 +2，
(4 +1) 4 +1 4 4 +2
整理得 = 3 + 9 9 ，
+1 +2
故 2 = 1
1 + (4 +1) 4 + 4 42 +1 3 9 9 ，
= (4 +1) 4
+1 13 4 +2 1
整理得 2 3 + 9 9 2 +1．
17.(Ⅰ)证明：连接 ，交 于 ，连接 ，
∵底面 为矩形，∴ 为 的中点，
又 是 的中点，则 // ，
∵ 平面 ， 平面 ，
∴ //平面 ；
(Ⅱ)解：以 为坐标原点，分别以 、 、 所在直线为 、 、 轴建立空间直角坐标系，
第 5页，共 8页
则 (0,0,0)， (1,2,0)， (0,1,1)，
= (1,2,0)， = (0,1,1)，
设平面 的一个法向量为 = ( , , )，
= + 2 = 0
则 ，取 = 1，得 = (2, 1,1)，
= + = 0
平面 的一个法向量为 = (1,0,0)，
∴ | | 2 6平面 与平面 夹角的余弦值为| || | = 6 = 3 ；
(Ⅲ)解：设 = ， ∈ [0,1]，∵ (0,0,2)， (1,2,0)，
∴ = = (1,2, 2) = ( , 2 , 2 )，
∴ = = + = (0,0,2) + ( , 2 , 2 ) (0,1,1) = ( , 2 1,1 2 )，
设直线 与平面 所成的角为 ，
| > | = | = |2 2 | 2 2∴ = |cos < ， | = || | ，| 6× 2+(2 1)2+(1 2 )2| 3
化简得 33 2 26 + 5 = 0 = 1 5，解得 3或 = 11，
∵ = 3 15，∴ = 1 或11．
18.解：(1)因为 ( )的定义域为 ，
可得 ′( ) = 1．
当 ≤ 0 时， ′( ) < 0， ( )在 上单调递减；
当 > 0 时，
当 < 时， ′( ) < 0， ( )单调递减；
当 > 时， ′( ) > 0， ( )单调递增，
综上，当 ≤ 0 时， ( )在 上单调递减；
当 > 0 时， ( )在( ∞, )上单调递减，在( , + ∞)上单调递增；
(2)若 ( ) > 1 ，
即 >
1
，
1
设 ( ) = ，函数定义域为(0, + ∞)，
此时 ( ) = ，
所以 ( ) > ( )，
第 6页，共 8页
( ) = 1 + 1因为 ′ 2 > 0，
所以 ( )在(0, + ∞)上单调递增，
则 > ，
即 > ．
设 ( ) = ，函数定义域为(0, + ∞)，
( ) = 1 可得 ′ ，
当 0 < < 1 时， ′( ) > 0， ( )单调递增；
当 > 1 时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
( ) = (1) = 1所以 ，
> 1则 ．
故 1的取值范围为( , + ∞)．
19.
第 7页，共 8页
第 8页，共 8页
