2024-2025 学年四川省成都市第十二中学高一下学期第一次月考考试
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.与 465 角终边相同的角的集合是( )
A. ∣ = 465 + 360 , ∈ B. ∣ = 105 + 360 , ∈
C. ∣ = 255 + 360 , ∈ D. ∣ = 75 + 360 , ∈
2.计算 sin20 cos70 cos160 sin70 的值等于( )
A. 1 B. 1 C. sin50 D. sin50
3.已知 3是第二象限角且 sin = 5，2sin cos = 0，则 tan 的值为( )
A. 1 B. 1 C. 2 D. 211
4 3 10.已知点 ( , 1)在角 的终边上，若 cos = 10 ，则( )
A. = 3 B. C. sin = 10为第二象限的角 10 D. tan =
1
3
5.在斜三角形 中，“ < ”是“tan < tan ”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.分别以等边三角形的三个顶点为圆心，边长为半径，在另外两个顶点之间画一段劣弧，由这样的三段圆
弧组成的曲边三角形被称为勒洛三角形，如图所示.已知某勒洛三角形的周长是 6 ，则该勒洛三角形的面积
是( )
A. 18 18 3 B. 18 + 18 3 C. 18 18 D. 18 + 18
7.如图所示，两动点 , 在以坐标原点 为圆心，半径为 1 的圆上从点 1,0 处同时出发做匀速圆周运动．已
知点 按逆时针方向每秒钟转 弧度，点 按顺时针方向每秒钟转 弧度(0 < < < )，且 , 两点在第 2
1 3
秒末第一次相遇于点 2 , 2 处，则它们从出发后到第 2 次相遇时，点 走过的总路程为( )
A. B. 2 3 3
C. 4 3 D.
8
3
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8 .已知函数 = sin 2 3 ，若方程 = ( > 0)在 0, 的解为 1, 2 1 < 2 ，且 sin 1 2 =
2 2
3 ，则 =( )
A. 2 2 B. 3 C. 1 13 2 2 D. 3
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9 1.下列各式中，值为2的是( )
A. sin 13 B. 2sin 2 36 12 cos 12 C. 2 12 1 D. 2 tan
7
6
10.已知函数 = cos + > 0, > 0, < 2 的部分图象如图所示，则( )
A. 5 在 4 , 上单调递增
B.关于 的方程 = ∈ 3, 2 在 0, 2 上有 2 个相异实根
C. 13 的图象关于点 12 , 0 对称
D.将 的图象向左平移3个单位长度，所得图象对应的函数为偶函数
11.如图，角 ， (0 < < < )的始边与 轴的非负半轴重合，终边分别与单位圆交于 ， 两点， 为线
段 的中点． 为 的中点，则下列说法中正确的是( )
A. 点的坐标为 cos 2 , sin 2
B. = cos 2
C. 12 cos + cos = cos
+
2 cos
2
D.若 + 的终边与单位圆交于点 ，分别过 ， ， 作 轴的垂线，垂足为 ， ， ，则 < +
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三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.已知 cos 6 =
1
2，则 sin
4
3 + = ．
13 .已知 , ∈ [0, 4 ]，且 sin + cos = 1，cos + sin = 2则 sin( + ) = ．
14.正割( )及余割( )这两个概念是由伊朗数学家、天文学家阿布尔·威发首先引入．sec, csc 这
两个符号是荷兰数学家基拉德在《三角学》中首先使用，后经欧拉采用得以通行．在三角中，定义正割
sec = 1 1 cos ，余割 csc = sin .已知 为正实数，且
2 + 2 ≥ 9 对任意的实数 ≠ 2 , ∈ 均成
立，则 的最小值为 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
在平面直角坐标系 中，角 ∈ 0, 2 和角 ∈ 2 , 的顶点均与坐标原点 重合，始边均为 轴的
非负半轴，终边分别与单位圆交于 , 两点，且 , 两点关于 轴对称．
sin sin
(1) 5若点 的纵坐标为 213，求 sin +cos + 的值；
(2) ∈ 若 6 , 3 ，求 cos
6 的最小值．
16.(本小题 15 分)
海水受日月的引力，在一定的时候发生涨落的现象叫潮汐，一般早潮叫潮，晚潮叫汐，潮汐具有周期现象.
某海滨浴场内水位 (单位： )是时间 (0 ≤ ≤ 24，单位： )的函数，记作 = ，下面是某天水深的数
据：
0 3 6 9 12 15 18 21 24
2 1.5 1 1.5 2 1.5 1 1.5 2
经长期观察， = 的曲线可近似的满足函数 = sin + + ( > 0, > 0)．
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(1)根据表中数据，作出函数简图，并求出函数 = 一个近似表达式；
(2)一般情况下，水深超过 1.25 米该海滨浴场方可开放，另外，当水深超过 1.75 米时，由于安全原因，会
被关闭，那么该海滨浴场在一天内的上午 7：00 到晚上 19：00，有多长时间可以开放？
17.(本小题 15 分)
已知函数 = 3sin cos + 2 + 12 > 0 最小正周期为 2 ．
(1)求 的值和函数 = 图象的对称中心；
(2)将函数 = 3 的图象上的各点向左平移 2个单位，再保持纵坐标不变，横坐标缩小为原来的一半；得
到函数 = 的图象，当 ∈ 6 , 4 时，方程 = 有两个解，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
近年来，某市认真践行“绿水青山就是金山银山”生态文明理念，围绕良好的生态禀赋和市场需求，深挖
冷水鱼产业发展优势潜力，现已摸索出以虹鳟、鲟鱼等养殖为主方向.为扩大养殖规模，某鲟鱼养殖场计划
在如图所示的扇形区域 内修建矩形水池 ，矩形一边 在 上，点 在圆弧 上，点 在边
上，且∠ = 3， = 30 米，设∠ = ．
(1)求扇形 的面积；
(2) = 若 4，求矩形 的面积 ；
(3)若矩形 的面积为 ( )，当 为何值时， ( )取得最大值，并求出这个最大值．
19.(本小题 17 分)
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已知函数 ( ) = sin cos ．
(1)求方程 ( ) = cos2 在[0,2 ]上的解集；
(2)设函数 ( ) = ( ) + 2ln , ∈ , 4 2 ．
①求 = ( ) 在区间( 4 , 2 )上的零点个数；
1 1 1
②记函数 = ( )的零点为 0，证明： 2 < ln 0 + 4 sin2 0 < 4．
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参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.12/0.5
13.12/0.5
14.4
15.(1)因为点 5的纵坐标为13，
所以 sin = 513 .又 ∈ 0,
2 , cos = 1
2 = 1213．
因为 sin 2 = cos , sin = sin , cos + = cos ，
sin 2 sin
12 5
cos +sin + 17
所以 13 13sin +cos + = sin cos = 5 12 = 7
13 13
(2) 2 5 因为 ∈ 6 , 3 ，所以 ∈ 3 , 6 .所以
2
6 ∈ 2 , 3 ．
1
所以 2 ≤ cos 6 ≤ 0．
5 1
所以当 = 6时，cos 6 取最小值为 2．
16.(1)函数简图如下：
= 12, ∴ = 2 =
2 = 2 112 6 , = 2 = 0.5, =
2+1
2 = 1.5，
∵ = 0.5sin 6 + + 1.5 过点 0,2 , ∴ 0 = 0.5sin
6 × 0 + + 1.5 = 2，
则 sin = 1, ∴ = 2 + 2 , ∈ ，
∴ = 的一个解析式可以为 = 0.5sin 6 +
2 + 1.5 = 0.5cos
6 + 1.5
(2) 由题意得：1.25 < < 1.75 即 1.25 < 0.5cos 6 + 1.5 < 1.75，
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0.5 < cos 6 < 0.5
∴ 2 2 < 2 3 6 < 2 3 , ∈ 或 2 + 3 < 6 < 2 + 3 , ∈
解得 4 + 12 < < 2+ 12 或 2 + 12 < < 4 + 12 , ∈
又 0 ≤ ≤ 24，解得 ∈ 2,4 ∪ 8,10 ∪ 14,16 ∪ 20,22
又∵ ∈ 7,19 ∴ ∈ 8,10 ∪ 14,16
故开放时间共 4 ．
17.(1) = 32 sin2 +
1
2 1 + cos2 +
1
2 = sin 2 +
6 + 1，
2 1由 的最小正周期为 2 ，得2 = 2 ，故 = 2，所以 = sin +
6 + 1，
+ = = 令 6 ，得 6，故函数 = 的对称中心为
6 , 1 , ∈ ；
3
(2) = sin 2 + 2 + 6 + 1 = sin 2 3 + 1
令 = 2 3 , = sin + 1，由 ∈
2
6 , 4 ，得 ∈ 3 , 6 ，
2 , , 在 3 2 递减，在 2 6 递增，所以 ( )min = 2 = 0，
2 = 1 3 , = 3 3又 3 2 6 2，所以 = 有两个解时， ∈ 0,1 2 ．
18.(1) 由题意，∠ = 3，扇形半径即 = 30 米，
则扇形 1 的面积为2 × 3 × 30
2 = 150 平方米．
(2) 因为 = 4，在 中， = 30sin 4 = 15 2， = 30cos 4 = 15 2，
在 中， = = 15 2，则 = = 33 3 × 15 2 = 5 6，
所以 = = 15 2 5 6．
则矩形 的面积 = = (15 2 5 6) × 15 2 = 450 150 3．
所以当 = 4时，矩形 的面积 = 450 150 3平方米．
(3)在 中， = 30sin ， = 30cos ，
在 中， = = 30sin ，则 = 3 =
3
3 × 30sin ，
所以 = = 30cos 10 3sin ．
则矩形 的面积 ( ) = = 30sin (30cos 10 3sin )
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= 300 3 3sin cos 2
= 150 3( 3sin2 + cos2 1)
3 1 1
= 300 3 2 sin2 + 2 cos2 2
= 300 3sin 2 + 6 150 3，0 < <
3
( ) = 300 3sin 2 + 所以 6 150 3
，其中 0 < < 3．
5
由于6 < 2 + 6 < 6，
则当 2 + 6 = 2时，即 = 6时， ( )max = 150 3．
所以当 = 6时， ( )取得最大值，最大值为 150 3．
19.(1)由 ( ) = cos2 结合题意，sin cos = cos2 = 2 2 ，
即 sin cos sin + cos + 1 = 0，则 sin cos = 0 或 sin + cos = 1．
当 sin cos = 0 时，显然 cos ≠ 0，可得 tan = 1 5 ，因 ∈ [0,2 ]，故 = 4或 4；
当 sin + cos = 1 2 时，sin( + 4 ) = 2 ，由 ∈ [0,2 ]，可得 + 4 ∈ 4 ,
9
4 ，
则 + = 5 7 4 4或 + 4 = 4，解得 = 或 =
3
2．
综上，方程 ( ) = cos2 在[0,2 ] { 5 3 上的解集为 4 , , 4 , 2 }．
(2)①由 ( ) = ( ) + 2ln = sin cos + 2ln = 2sin( 4 ) + 2ln ，
∈ ( , ) ( ) ∈ (0, ) ( ) = 2sin( ) ( , 当 4 2 时， 4 4 ，此时 4 在 4 2 )上单调递增，
= 2ln 在( 4 , 2 )上单调递增，故 ( )在( 4 , 2 )上单调递增，
又 4 = 2ln 4 0, 2 = 1 + 2ln 2 0，故 = ( )在区间( 4 , 2 )上有且只有 1 个零点；
②由题意，sin 0 cos 0 + 2ln 0 = 0
1
，且 0 ∈ ( 4 , 2 )，则 ln 0 = 2 (cos 0 sin 0)，
1
则 ln 0 + 4 sin2 0 =
1
2 (cos 0 sin 0) +
1
2 sin 0cos 0，
设 = cos 0 sin 0 = 2cos( +
0 4 )，因 0 ∈ ( 4 ,
) 3 2 ，则( 0 + 4 ) ∈ ( 2 , 4 )，故 ∈ ( 1,0)，
2
又 2 = (cos 0 sin )20 = 1 2sin 0cos 0，故 sin
1
0cos 0 = 2 ，
2
故 ln 0 +
1
4 sin2 0 =
1
2 +
1
4 =
1
4 ( 1)
2 + 12，
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∈ ( 1,0) = 1 ( 1)2 + 1因 ，此时 4 2是增函数，故可得
1
2 < ln
1 1
0 + 4 sin2 0 < 4．
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