2024-2025 学年上海市同济中学高一下学期 3 月阶段测试
数学试卷
一、单选题：本题共 4 小题，每小题 5 分，共 20 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.若 ∈ ( 2 , 0)，则点(cos , tan )在第( )象限．
A.一 B.二 C.三 D.四
2.既是区间 0, 2 上的减函数，又是以 为周期的偶函数是( )
A. = sin B. = cos C. = |sin | D. = |cos |
3.函数 ( ) = sin( + )(其中 > 0， > 0，| | < 2 )的部分图像如图所示，则 ( )的解析式是( )
A. ( ) = sin( + 3 ) B. ( ) = sin(
3 )
C. ( ) = sin( 12 +
6 ) D. ( ) = sin(
1
2 6 )
4.已知在△ 中， = , = 2, = 45 ，若三角形有两解，则 的取值范围是( )
A. > 2 B. < 2 C. 2 < < 2 2 D. 2 < < 2 3
二、填空题：本题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分。
5.函数 ( ) = sin(4 )的最小正周期为 ．
6.2025 是第 象限角．
7 .已知某扇形的圆心角为3，半径为 2，则该扇形的面积为 ．
8.在 中， = 2, = 3，其面积为 5 3，则边 = ．
cos 2cos
9.若 tan = 3，则 2 = ．
sin + sin 2+
10.已知 cos = 14 , ∈ [0, ]，则 =
11.将 sin 3cos 化成 sin + (其中 > 0， ≤ < 0)的形式为 ．
12.在 中，已知 sin : sin : sin = 2: 3: 4，则该三角形最小角的余弦值为 ．
13.函数 = 2sin 1 0 ≤ ≤ 2 的定义域为 ．
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14.已知顶点在原点的锐角 ，始边在 轴的非负半轴，cos = 3 5，终边绕原点逆时针转过3后交单位圆于 ( , )，
则 的值为 ．
15 .已知函数 ( ) = sin 6 ，其中 > 0，若 ( )在区间 0, 3 上恰有 2 个零点，则 的取值范围是 ．
16.已知函数 = sin , ∈ 0,2 2025 1 , ∈ 2, + ∞
，若满足 = = ( 、 、 互不相等)，则 + +
的取值范围是 ．
三、解答题：本题共 5 小题，共 70 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
17.(本小题 14 分)
已知 cos = 35， ∈ , 2 ．
(1)求 cos2 的值；
(2)若角 的顶点与坐标原点重合，始边与 轴的正半轴重合，且终边经过点 3, 1 ，求 tan 的值．
18.(本小题 14 分)
若 sin ，cos 是关于 的方程 2 + = 0， ∈ 的两根，求：
(1) 的值；
(2)tan + cot 的值．
19.(本小题 14 分)
2
已知函数 = 2sin 2 + 3 ．
(1)求 的单调增区间；
(2) 2 求函数 在 0, 3 的值域．
20.(本小题 14 分)
在 中，
(1)若 tan 与 tan 是方程 2 6 + 7 = 0 的两个实根，求角 的值；
(2) tan =
2
若tan 2，判断 的形状．
21.(本小题 14 分)
如图，某城市有一矩形街心广场 ，如图.其中 = 4 百米， = 3 百米.现将在其内部挖掘一个三角形
水池 种植荷花，其中点 在 边上，点 在 边上，要求∠ = 4．
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(1)若 = = 2 百米，判断 是否符合要求，并说明理由；
(2)设∠ = ，写出 面积的 关于 的表达式，并求 的最小值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5. 2
6.三
7.2 /23 3
8.10
9. 54
10.arccos( 14 )
11.2sin 3
12.78
13.[ 5 6 , 6 ]
14.3 4 310
15. 7 , 132 2
16. 3,2027
17.(1) ∵ cos = 3 45， ∈ ( , 2 )，∴ sin = 1
2 = 5，
∴ cos2 = 2 2 1 = 2( 3 25 ) 1 =
7
25．
(2)由题意，tan = 13，
由(1) sin 4知，tan = cos = 3，
4 1
tan( ) = tan tan 则 3
+3
1+tan tan = 4 1 = 3．1 3×3
18.(1) = 2 4 ≥ 0， ≤ 0 或 ≥ 4．
sin + cos =
由题意 sin cos = ,
又(sin + cos )2 = 2 + 2sin cos + 2 = 1 + 2sin cos ，
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所以 2 = 1 + 2 ，解得 = 1 2或 = 1 + 2(舍去)，
所以 = 1 2．
(2) (1) sin + cos = 1 2由 ,
sin cos = 1 2
tan + cot = sin + cos =
2 + 2 1
cos sin sin cos = 1 2 = 1 2．
19.(1)由 2 + 2 ≤ 2 +
2
3 ≤ 2 + 2 , ∈
7
可得 6 + 2 ≤ 2 ≤
6 + 2 , ∈ ，
7 所以 12 + ≤ ≤
12 + , ∈ ，
7
所以函数 ( )单调递增区间为： 12 + , 12 + , ∈ ；
(2)令 = 2 + 2 3，由 ∈ 0,
2 ∈ 2 3 可得 3 , 2 ,
2 3 3
又因为函数 = sin 在 3 , 2 单调递减，在 2 , 2 单调递增，
所以 = sin = 3 2 在 2时有最小值 1，又 sin 3 =
3
2 ，sin2 = 0，
sin ∈ [ 1, 3所以 2 ]，所以函数 ( )在 0,
2
3 上的值域为 2, 3 ．
20.(1)在 中，tan 与 tan 是方程 2 6 + 7 = 0 的两个实根，
则 tan + tan = 6，tan tan = 7，tan( + ) = tan +tan 1 tan tan = 1，
tan = tan[ ( + )] = tan( + ) = 1，又 ∈ (0, )，
= 所以 4．
2 2
(2) tan = tan = sin cos =
2
在 中，由正弦定理及tan 2，得tan 2 ，即sin cos 2 ，
cos sin
则cos = sin ，即 sin2 = sin2 ，而 0 < < , 0 < < , 0 < + < ，
因此 2 = 2 或 2 = 2 ，即 = 或 + = 2，
所以 为等腰三角形或直角三角形．
21.解：(1)由题意 = 5， = 13， = 2 5，
所以 cos∠ = 13+20 5 7 22×2 5× 13 = 65 ≠ 2
所以∠ ≠ 4， 不符合要求
(2) ∵ ∠ = ，∠ = 4 ，
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所以 = 4 = 3cos ， cos 4
= 12 sin
4 =
3 2
，
cos cos 4
2
∵ cos cos 4 = 2 cos cos + sin
2
= 4 sin2 + cos2 + 1
1 2 1 2
= 2 sin 2 + 4 + 4 ≤ 2+ 4
所以 ≥ 12 2 1 ， 的最小值为 12 2 1 ．
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