2024-2025 学年山东省聊城第一中学高一下学期 3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.sin40 sin50 cos40 cos50 等于( )
A. 1 B. 1 C. 0 D. cos10
2 .下列函数中，最小正周期为 ，且图象关于直线 = 6对称的是( )
A. = sin 2 + 6 B. = sin
2+
6 C. = sin 2
D. = sin 2 6 3
3.函数 = 1 2 2 3 4 是( )
A.最小正周期为 的奇函数 B.最小正周期为 的偶函数
C. 最小正周期为2的奇函数 D.最小正周期为2的偶函数
4 1.cos 12 = 3，则 sin
2
3 2 =( )
A. 2 2 7 79 B. 9 C. 9 D. 9
5 .将函数 = sin 2 + 的图象沿轴向左平移8个单位后，得到一个偶函数的图象，则 的一个可能取值为
( )
A. 3 B. 4 4 C. 0 D.
4
6.若 sin( + ) + cos( + ) = 2 2cos + 4 sin ，则( )
A. tan = 1 B. tan + = 1 C. tan = 1 D. tan + = 1
7 .函数 ( ) = |3 2 + 4 2 2 4
2
4 2|(0 < < )的大致图象是( )
A. B. C. D.
8.正割 sec 及余割 cos 1这两个概念是由伊朗数学家阿布尔 威发首先引入的．定义正割 sec = cos ，
余割 csc = 1 2sin .已知 为正实数，且 +
2 ≥ 15 对任意的实数 ≠ 2 , ∈ 均成立，则
的最小值为( )
A. 1 B. 4 C. 8 D. 9
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.函数 ( ) = 3sin + 3 ( > 0)相邻两个最高点之间的距离为 ，则以下正确的是( )
A. ( ) 2 的最小正周期为 B. 3 是奇函数
C. ( ) 的图象关于直线 = 6对称 D. ( )
5 , 在 12 12 上单调递增
10.一半径为 3.6 米的水轮如图所示，水轮圆心 距离水面 1.8 米.已知水轮按逆时针做匀速转动，每 60 秒转
动一圈，如果当水轮上点 从水面浮现时(图中点 0位置)开始计时，则下列判断正确的有( )
A.点 第一次到达最高点需要 20 秒
B.在水轮转动的一圈内，有 40 秒的时间，点 在水面的上方
C.当水轮转动 95 秒时，点 在水面上方，点 距离水面 1.8 米
D.当水轮转动 50 秒时，点 在水面下方，点 距离水面 0.9 米
11.已知函数 = 1 22sin +1 ∈ ，下列说法正确的是( )．
A. 1 1函数 是奇函数 B.函数 的值域为 3 , 3
C.函数 3 是周期为 的周期函数 D.函数 在 2 , 2 上单调递减
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 3 1.sin20 sin70 = ．
13 3 .已知函数 = 2sin > 0 在区间 4 , 4 上单调递增，且直线 = 2 与函数 的图象在 2 , 0
上有且仅有一个交点，则实数 的取值范围是 ．
14.已知 ( ) = 2sin(2 + 3 )，若
3
互不相等的 1, 2, 3 ∈ 0, 2 ，使得 ( 1) = ( 2) = ( 3)，若 1 + 2 + 3
的最大值为 ，最小值为 ，则 + = ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
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tan = 1已知 2 , tan =
1
3 .求：
(1)tan2 的值；
(2) , ∈ (0, 若 2 )，求角 + ．
16.(本小题 15 分)
3 17 7
已知 cos 4 + = 5， 12 < < 4．
(1)求 tan 的值；
(2) sin2 +2
2
求 1 tan 的值．
17.(本小题 15 分)
某市某日气温 ( )是时间 (0 ≤ ≤ 24，单位：小时)的函数，下面是该天不同时间的气温预报数据：
(时) 0 3 6 9 12 15 18 21 24
( ) 15.7 14.0 15.7 20.0 24.2 26.0 24.2 20.0 15.7
根据上述数据描出的曲线如图所示，经拟合，该曲线可近似地看成函数 = sin( + ) + ( > 0, >
0, < )的图象．
(1)根据以上数据，试求函数 = sin( + ) + ( > 0, > 0, < )的表达式
(2)大数据统计显示，某种特殊商品在室外销售可获得 3 倍于室内销售的利润，但对室外温度的要求是气温
不能低于 23 ，根据(1)中所得模型，一个 24 小时营业的商家想获得最大利润，应在什么时间段(用区间表
示)将该种商品放在室外销售？(忽略商品搬运时间及其他非主要因素)
18.(本小题 17 分)
已知函数 ( ) = 2 2( 4 + ) 3cos2 ．
(1)求 ( )的最小正周期和单调递增区间；
(2)若关于 的方程 ( ) = 2 ∈ [ , 在 4 2 ]上有解，求实数 的取值范围．
19.(本小题 17 分)
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某高校专家楼前现有一块矩形草坪 ，已知草坪长 = 100 米，宽 = 50 3米，为了便于专家平时
工作、起居，该高校计划在这块草坪内铺设三条小路 ， 和 ，并要求 是 的中点，点 在边 上，
点 在边 上，且∠ 为直角，如图所示．
(1)设∠ = (弧度)，试将三条路的全长(即 的周长) 表示成 的函数，并求出此函数的定义域；
(2)这三条路，每米铺设预算费用均为 400 元，试问如何设计才能使铺路的总费用最低？并求出最低总费用
(结果保留整数)(可能用到的参考值： 3取 1.732， 2取 1.414).
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.4
13. 14 ,
2
3
14.23 6
1
15. 1 2tan 2×解：(1)因为 tan = 2，所以 tan2 = 1 2 =
2 = 4．
1 1 34
1+1
(2)因为 tan = 1 1 tan +tan 2 32 , tan = 3，所以 tan + = 1 tan tan = 1 1 = 1，1 2×3
又因为 , ∈ (0, 2 )，所以 + ∈ 0, ，
故 + = 4．
16.解：(1) 17 7 5 3解：因为 12 < < 4，所以 3 < + 4 < 2 ，又 cos 4 + = 5，
∴ sin + = 1 2 + = 4 tan 44 4 5， 4 + = 3，
1+tan 4
所以 tan 4 + = 1 tan = 3，解得 tan = 7，
(2) ∵ sin2 +2
2 2sin cos +2 2
解： 1 tan = 1 sin cos
2sin cos (cos + sin )
= cos sin
2sin cos sin( +
= 4
)
cos( + 4 )
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= sin2 tan( + 4 )，
∵ cos( + ) = 3 17 74 5，12 < < 4 ，
∴ 2 2 3 3 2 182 cos 2 sin = 5，即 cos sin = 5 ，将两边平方得 1 2sin cos = 25，
∴ 2sin cos = 725 .即 sin2 =
7
25，
∴ sin2 +2
2 = sin2 tan( + 1 tan 4 ) =
7 4 28
25 × 3 = 75．
∴ sin2 +2
2
1 tan =
28
75．
17. + = 26解：(1)解：由 的图象，可得 + = 14，解得 = 20, = 6，
又由2 = 15 3 = 12，解得 = 24，所以 =
2
= 12，
3
因为 = 3 时，可得 = 14，即 6sin 12 + + 20 = 14，解得 sin( 4 + ) = 1，
即4 + =
3 + 2 , ∈ = 5 2 ，所以 4 + 2 , ∈ ，
3
又因为 < ，解得 = 4，所以 = 6sin(
3
12 4 ) + 20, ∈ 0,24 ．
(2)解：令 ≥ 23，即 6sin( 3 12 4 ) + 20 ≥ 23，可得 sin( 12
3 ) ≥ 14 2，
解得6 + 2 ≤
3 12 4 ≤
5
6 + 2 , ∈ ，解得 11 + 24 ≤ ≤ 19 + 24 , ∈ ，
又因为 ∈ (0,24)，所以当 = 0 时，可得 11 ≤ ≤ 19，
所以一个小时营业的商家想获得最大利润，应在 ∈ 11,19 时间段将该种商品放在室外销售．
18.解：(1)依题意， ( ) = 1 cos( 2 + 2 ) 3cos2 = 1 + sin2 3cos2 = 2sin(2
3 ) + 1，
所以函数 ( )最小正周期 = ；
由 2 2 ≤ 2
3 ≤ 2 +
2 , ∈ ，解得
12 ≤ ≤ +
5
12 , ∈
所以 ( ) 5 的单调递增区间为[ 12 , + 12 ]( ∈ )．
(2) ∈ [ 当 4 ,
2 ]时，2
3 ∈ [
6 ,
2
3 ]，则 sin(2
1
3 ) ∈ [ 2 , 1]，
函数 ( )的值域为[2,3]，方程 ( ) = 2 = ( ) 2， ( ) 2 ∈ [0,1]，
由方程 ( ) = 2 在 ∈ [ 4 ,
2 ]上有解，得 ∈ [0,1]，
所以实数 的取值范围是[0,1]．
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19.解：(1)解：∵在 △ 中， = 50，∠ = 90 ，∠ = ，
∴ = 50cos ，
在 中， = 50，∠ = 90 ，∠ = ，
∴ = 50sin ，
又∠ = 90 ，
∴ = 50sin cos ，
∴三条路的全长(即 ) = 50(sin +cos +1)的周长 sin cos ，
当点 在点 时，这时角 最小，求得此时 = 6；
当点 在点 时，这时角 最大，求得此时 = 3，
故此函数的定义域为[ 6 , 3 ]；
(2)解：由题意知，要求铺路总费用最低，只要求 的周长 的最小值即可，
(1) = 50(sin +cos +1) 由 得 sin cos ， ∈ [ 6 , 3 ]，
2 1
设 sin + cos = ，则 sin cos = 2 ，
∴ = 100 1，
由 = sin + cos = 2sin( + 4 )
， ∈ [ 6 , 3 ]，
3+1
得 2 ≤ ≤ 2，
1
从而 2 + 1 ≤ 1 ≤ 3 + 1，当 = 4，即 = 50 时， min = 100( 2 + 1)，
所以当 = = 50 米时，铺路总费用最低，最低总费用为 96560 元．
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