备战2025年中考数学专题训练：一元二次方程
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列方程中，不属于一元二次方程的是（ ）
A． B．
C． D．
2．以下一元二次方程有两个相等实数根的是（ ）
A． B．
C． D．
3．关于x的一元二次方程的一个解是，则代数式的值为（ ）
A． B． C．2022 D．2023
4．某药品原价每盒元，连续两次降价后售价为元，则该药品每次平均降价率为（ ）
A． B． C． D．
5．若关于的一元二次方程有两个不相等的实数根，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C．且 D．且
6．用长的铝合金材料做一个形状如图的长方形窗框．若窗框的面积为．设窗框的长．则根据题意列出的方程为（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
7．使得方程有实数根的最大的整数 ．
8．已知方程的一个根是，则方程的另一个根为 ．
9．如图，在中，于点，若，的周长为12，的面积为16，则的长为 ．
10．新定义：如果关于的一元二次方程有两个实数根，且其中一个根为另一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”．若是“倍根方程”，则 ．
11．我国三国时期的数学家赵爽巧妙地利用面积关系（后人称“赵爽弦图”）证明了勾股定理，是我国古代数学的骄傲．如图，该“赵爽弦图”是由四个全等的直角三角形和一个小正方形拼成的一个大正方形．已知小正方形的边长为3，大正方形的边长为7．设每个直角三角形的周长介于和之间，则整数的值为 ．
12．已知是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，若记为，则与的关系是 ．
13．设直线与抛物线相交于，两点，且，与直线相交于点．
（1）当时， ；
（2）若，则的取值范围是 ．
14．如图，将矩形沿图中虚线（其中）剪成①②③④四块图形，用这四块图形恰能拼一个正方形．若，则x的值等于 ．
三、解答题
15．解下列一元二次方程：
(1)；
(2)．
16．如图，利用一面墙（墙长为18米），用35米长的围栏，围成一个长方形场地，设长方形的一边长为米，长方形场地的总面积为平方米．
(1)直接写出与的关系式（即用含的式子表示）：_______________；直接写出的取值范围是_______________；
(2)当长方形场地的面积为150平方米时，求长多少米．
17．法国数学家韦达在研究一元二次方程时发现：若关于的一元二次方程的两个实数根为、，则，，这就是一元二次方程根与系数的关系，也被称作“韦达定理”．例如：的两个实数根分别是、，则，．请根据上述材料，结合所学的知识，完成下列问题：
(1)【材料理解】一元二次方程的两个实数根分别为、，则___，_____；
(2)【类比探究】已知：关于的一元二次方程的两个实数根分别为、，求的值；
(3)【思维拓展】在（2）的条件下，若方程的两根、满足，求的值．
18．某公司销售甲、乙两种型号的空气净化器，其中甲型空气净化器进货价格为每台650元，乙型空气净化器进货价格为每台800元．该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元；销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元．
(1)该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是多少元？
(2)为满足大众需求，该公司准备加购甲、乙两种型号的空气净化器共30台，且资金不超过21000元，如何购买才能使得这30台空气净化器全部售出后总利润最大？
19．阅读材料：
阅读材料：材料：若一元二次方程的两个根为，则，
(1)材料理解：一元二次方程的两个根为，则 ， ．
(2)类比探究：已知实数m，n满足，． ．
(3)思维拓展：已知实数s、t分别满足，，且，求的值．
20．如图，在矩形中，，动点以的速度从点出发，沿向点移动，同时动点以的速度从点出发，沿向点移动，设、两点移动的时间为秒．
(1)为多少时，以为顶点的三角形与相似？
(2)探究：在、两点移动过程中，四边形与的面积能否相等？若能，求出此时t的值，若不能，请说明理由．
《备战2025年中考数学专题训练：一元二次方程》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6
答案 D D B C C D
1．D
【分析】根据判断一个方程是否是一元二次方程应注意：“一个未知数”；“未知数的最高次数是2”；“二次项的系数不等于0”；“整式方程”进行分析即可．此题主要考查了一元二次方程的定义，关键是掌握只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的整式方程叫一元二次方程．
【详解】解：A、整理为，符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
B、符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
C、符合一元二次方程的定义，故本选项错误；
D、，方程中含有x的分母，属于分式方程不是一元二次方程，故本选项正确；
故选：D．
2．D
【分析】本题考查一元二次方程根的判别式．分别逐一求出判别式的值，找出的式子即可求出．
【详解】解：选项A：，方程有两个不相等的实数根；
选项B：，方程有两个不相等的实数根；
选项C， ，方程有两个不相等的实数根；
选项D， ，方程有两个相等的实数根．
故选：D．
3．B
【分析】本题主要考查一元二次方程的解，熟练掌握一元二次方程的解是解题的关键．根据题意将代入，得到，进而求代数式的结果即可．
【详解】解：将代入，
得到，
，
．
故选B．
4．C
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，找准等量关系，正确列出一元二次方程是解题的关键．
【详解】解：设该药品每次平均降价率为，根据题意得
解得：或（舍去）
故选：C．
5．C
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，根据一元二次方程根的判别式可进行求解．
【详解】解：由题意得，
，
且，
故选：C．
6．D
【分析】本题考查了一元二次方程的应用，解题的关键是设出一边长并表示出另一边的长．设出长为，然后表示出宽，利用面积公式列出方程求解即可．
【详解】解：设长为， 则宽为，
根据题意得：
即，
故选：D．
7．2
【分析】本题考查了一元二次方程根的判别式，不等式的特殊解．由方程有实数根，得，解得，这样就很快得到满足条件的的非负整数值．
【详解】解：关于的一元二次方程有实数根，
，
解得．
所以满足的最大整数值为2．
故答案为：2．
8．
【分析】本题考查了一元二次方程根和系数的关系，解题关键是掌握若方程的两个根是、，则，．根据方程得到两根之和为，即可求出另一个根．
【详解】解：方程，
方程的两根之和为，
方程的一个根为，
方程的另一个根为，
故答案为：．
9．4
【分析】本题主要考查了三角形外角的性质、等腰三角形的判定与性质、一元二次方程等的应用知识点，灵活运用相关知识成为解题的关键．
在上取一点E，使得，连接，根据三角形外角的性质、等要三角形的性质可得、，再根据等腰三角形的性质、三角形的周长以及等量代换可得，设，则，根据三角形的面积公式列方程求得，然后进行验证即可解答．
【详解】解：如图：在上取一点E，使得，连接，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，即，
设，则，
∵的面积为16，
∴，即，解得：或，
当，即时，，
∵，，
∴，
∴不符合题意；
当，即时，，
∵，，
∴，
∴符合题意．
故答案为4．
10．或
【分析】考查一元二次方程的根以及新定义“倍根方程”的意义，熟练掌握“倍根方程”的意义是解决问题的关键；通过解方程得到该方程的根，结合“倍根方程”的定义进行解答即可．
【详解】解：解方程，可得，
∵是“倍根方程”，
∴当是6 的2倍时，即有，
当6是的 2 倍时，即有．
故答案为：或．
11．16
【分析】本题考查了一元二次方程，勾股定理，无理数的估算，根据题意可得，根据题意可得的值，即可估算每个直角三角形的周长，熟练利用二次根式的估算是解题的关键．
【详解】解：小正方形的边长为3，大正方形的边长为7，
，
根据题意可得，
则设，
根据勾股定理可得，
即，
解得（负值舍去），
的周长为，
，
，
，
每个直角三角形的周长介于和之间，
，
故答案为：．
12．
【分析】此题重点考查学生对一元二次方程的根的应用，把握非零实数根与题意是解题的关键．把k代入方程，然后把方程两边同时除以k得出，最后整体代入即可得出与的关系．
【详解】解：∵是关于的一元二次方程（其中为实数）的一个非零实数根，
则，
把方程两边同时除以k，得：，
整理得：，
∴，
故答案为：．
13． 8
【分析】本题考查根与系数的关系，求图象的交点，掌握函数与方程的联系是解题的关键．
（1）联立方程组消去得到关于x的方程，利用根与系数的关系解题即可；
（2）解方程组求出的值，然后借助图象得到的值小于抛物线与直线的交点横坐标解题即可．
【详解】解：（1）当时，方程组消去y可得，
∴，
故答案为：8；
（2）方程组消去y可得，
，且，
又∵，
∴，
解方程组得到或，
当直线过时，
∵，
∴借助图象可得，
解得；
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了解一元二次方程，图形的剪拼，根据四块图形的特点，找出可以重合的边，拼接出正方形并得到正方形的边长是解题的关键．
观察图形可得，两个直角梯形的斜腰重合在一起可以组成一个长为，宽为的矩形，两个直角三角形的斜边重合可以组成一个长为，宽为的矩形，两个矩形放在一起恰好可以组成一个边长为的正方形，然后根据剪拼前后两个图形的面积不变列式求解即可．
【详解】解：如图所示，四块图形拼成一个正方形边长为，
根据剪拼前后图形的面积相等可得，，
由题意得，，
故可得：，
整理得，，
解得：（舍去）．
故答案为：．
15．(1)，；
(2)，．
【分析】（）利用因式分解法求解即可；
（）利用公式法求解即可；
本题考查了解一元二次方程，解题的关键是熟记常见的解法，直接开平方法、配方法、公式法、因式分解法及正确掌握一元二次方程的解法．
【详解】（1）解：，
，
或，
∴，；
（2）解：∵，
∴方程有两个不相等的实数根，
∴，
∴，．
16．(1)；
(2)10米
【分析】本题考查了一元二次方程的应用、一元一次不等式的应用、列代数式，理解题意正确列出代数式是解题的关键．
（1）利用长方形的面积公式列出与的关系式，根据题意得出，解出的范围即可；
（2）令，得到关于的一元二次方程，解出的值，再结合（1）中的范围即可得出答案．
【详解】（1）解：由题意得，，
，
由题意得，，
解得：．
故答案为：；．
（2）解：当，则，
解得：，，
由（1）得，，
，
长10米．
17．(1)，
(2)
(3)或
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，解一元二次方程，掌握根与系数的关系是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，直接得出结果；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系可得，代入代数式，即可求解；
（3）根据在（2）的条件下，若方程的两根、满足，得出，解方程，即可求解．
【详解】（1）解：一元二次方程的两个实数根分别为、，则，
故答案为：，．
（2）∵、为一元二次方程的两个实数根
∴．
∵．
∴原式．
（3）∵．
又∵，
∴，
解得：，
∴的值为或．
18．(1)该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元．
(2)该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大．
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用、一元一次不等式的应用以及一次函数的应用，审清题意、正确列出二元一次方程组和函数关系式是解题的关键．
（1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，根据“该公司销售4台甲型空气净化器和5台乙型空气净化器，共可获利1250元，销售2台甲型空气净化器和1台乙型空气净化器，共可获利370元”列出关于x，y的二元一次方程组求解即可；
（2）设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台，然后利用总进价、进货单价、进货数量的关系并结合总进价不超过21000元，可列出关于m的一元一次不等式，解之可得出m的取值范围；设加购的这30台自行车全部售出后总利润为w元，进而列出w关于m的函数关系式，最后利用一次函数的性质求最值即可解答．
【详解】（1）解：（1）该公司销售一台甲型、一台乙型空气净化器的利润分别是x、y元，，
根据题意得：，解得：
答：该公司销售一台甲型空气净化器的利润是100元，一台乙型空气净化器的利润是170元．
（2）解：设该公司购买甲型空气净化器m台，则购买乙型空气净化器台，
根据题意得：，解得：．
设购买的这30台自行车全部售出后总利润为w元，则，
即，
∵，
∴w随m的增大而减小，
∴当时，w取得最大值，此时（台）．
答：该公司购买20台甲型空气净化器，10台乙型空气净化器时，才能使得这30台自行车全部售出后总利润最大．
19．(1)；
(2)2或
(3)
【分析】本题主要考查分式的化简求值、根与系数的关系，解题的关键是根据题意建立合适的方程及分式的混合运算顺序和运算法则．
（1）直接根据根与系数的关系可得答案；
（2）分类讨论，当时，，当时，由题意得出、可看作方程的解，据此知，，将其代入计算可得；
（3）把变形为，实数和可看作方程的两根，根据根与系数的关系求出，，代入所求代数式计算即可．
【详解】（1）解：根据根与系数的关系得，；
故答案为：；；
（2）解：当时，符合题意，则，
当时，
，，
、可看作方程的两个根，
，，
，
故答案为：2或；
（3）解：两边同时除以变形为，
则实数和可看作方程的两根，
，，
．
20．(1)为或；
(2)不能相等，理由见解析．
【分析】（1）先求出，由于，那么以为顶点的三角形与相似分两种情况讨论，列出比例式，代入数据求解；
（2）作于点，则，那么，求出，当四边形与的面积相等时，，那么，整理后得到此时方程无实数解，故不存在．
【详解】（1）解：∵四边形是矩形，
∴，
∴在中，
∵，
∴当时，
则，即，解得；
当时，
则，即，解得；
∴当为或时，以P、Q、C为顶点的三角形与相似；
（2）解：四边形与的面积不能相等．理由如下：
作于点，如图，
∴
∵，
∴，
∴，即
∴，
当四边形与的面积相等时，
，即，
∴，
整理得，
∵
∴此时方程无实数解，
∴四边形与的面积不能相等．
【点睛】本题考查了矩形的性质，相似三角形的判定与性质，勾股定理，一元二次方程根的判别式等知识点，熟练掌握知识点是解题的关键．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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