备战2025年高考数学专题训练：指对幂函数
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．在区间为增函数的是（ ）
A． B． C． D．
2．已知，，，，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知函数是幂函数，且为奇函数，则实数（ ）
A．或 B．
C． D．
4．已知函数，则不等式的解集为（ ）
A． B． C． D．
5．若函数，且，则（ ）
A． B． C． D．
6．定义双曲余弦函数表达式为，定义双曲正弦函数的表达式为.设函数，若实数满足不等式，则的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
7．设则下列选项不正确的是（ ）
A．
B．时，在上单调递减
C．时，在上单调递减
D．的值域为
8．函数的图象大致为（ ）
A． B．
C． D．
二、多选题
9．已知，且，则（ ）
A． B．
C． D．
10．已知函数，则（ ）
A．有4个不同零点的充要条件是
B．是没有零点的充分不必要条件
C．有2个不同零点的充要条件是
D．存在，使得有3个不同零点
11．已知函数满足：对任意，都有，且当时，．设，则下列结论正确的是（ ）
A．
B．
C．
D．
三、填空题
12．已知实数，满足，则 .
13．已知函数，若，则实数的取值范围是 ．
14．定义在上的函数单调递增，，若对任意存在，使得成立，则称是在上的“追逐函数”已知，下列四个函数：①；②；③；④．其中是在上的“追逐函数”的个数是 个．
四、解答题
15．已知幂函数在定义域上不单调．
(1)求函数的解析式；
(2)函数是否具有奇偶性？请说明理由；
(3)若，求实数的取值范围．
16．已知函数，其中，a，b为实常数且．
(1)若为偶函数，且其最小值为4，求实数a与b的值；
(2)若，，对任意实数x均满足，求实数b的取值范围．
17．已知函数.
(1)当时，讨论的单调性；
(2)若的值域为，求a的取值范围；
(3)是否存在实数使得函数在区间上单调递减？若存在，写出一个符合题意的值；若不存在，说明理由.
18．把物体放在空气中冷却，如果物体原来的温度为，空气的温度为，那么后物体的温度（单位：℃）可由公式求得，其中是一个随着物体与空气的接触状况而定的正常数.已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要.
(1)求；
(2)热水一般不适合冲泡奶粉，假若现在杯中的水温为，等待水温降温到，至少需要等待多少？
(3)某电热水壶会自动检测壶中水温，如果水的温度高于，电热水壶不加热，水的温度冷却到，电热水壶开始加热，直至水的温度达到才停止加热，且水的温度从加热到需要.现该电热水壶中水的温度为，经过后，此时壶中水的温度是多少？
19．若函数满足：对任意正数都有，则称函数为“函 数”．
(1)试判断函数与是否为“函数”，并说明理由；
(2)若函数是“函数”，求实数的取值范围；
(3)若函数为“函数”，，对任意正数、，都有，是否对任意都有，若成立，请加以证明，若不成立，请说明理由．
《备战2025年高考数学专题训练：指对幂函数》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 C D B A C B C C ABD AC
题号 11
答案 ABC
1．C
【分析】根据常见函数的单调性，直接得出答案.
【详解】在区间为减函数；
在区间为减函数；
在区间为增函数；
在区间为减函数.
故选：C.
2．D
【分析】根据函数解析式判断出其单调性，即可得出结论.
【详解】易知函数和在上单调递增，
所以在上单调递增，
又，
故，即．
故选：D
3．B
【分析】利用幂函数的定义及奇函数的概念即可求解.
【详解】由题意得，所以，所以，
解得或，
当时，，为偶函数，故不符合题意，
当时，，为奇函数，故符合题意.
综上所述：.
故选：B.
4．A
【分析】先求得函数的定义域，判断奇偶性，再单调性的定义判断函数的单调性，进而求解不等式.
【详解】由，解得，即函数的定义域为，
由，则，
所以函数为偶函数，图象关于轴对称，
当时，函数，
由于函数在上单调递增，
且，则，
对于任意的、，且，即，
所以，，所以，，即,
所以函数在上单调递增，则函数在上单调递减，
由，则，
解得，即不等式的解集为.
故选：A.
5．C
【分析】先利用导数得出函数的单调性，再判断出函数的对称性，进而可得出的大小关系，再逐一判断各个选项即可.
【详解】由，得，
所以是增函数，
又，，
所以，
则，即点是图象的对称中心，
所以，
所以，即，
则，即，，且，
对于A，若，，则，故A错误；
对于B，若，且，则，故B错误；
对于C，因为函数在上是增函数，所以，故C正确；
对于D，若，，则有，故D错误.
故选：C.
6．B
【分析】根据条件分析函数的单调性和奇偶性，不等式等价变形可得，解不等式可得结果.
【详解】由题意得，的定义域为，
∵，∴为奇函数，
∵，且在上为减函数，
∴在上为增函数.
∵，∴，
∴，解得，即的取值范围为.
故选：B.
7．C
【分析】对于A，将代入解析式计算即可；对于B、C，分离常数法将函数解析式变形，分步讨论函数的单调性即可；对于D，分离常数法将函数解析式变形，直接求值域即可.
【详解】对于A，，故A正确；
对于B、C，因为，
所以当时，函数单调递减，则函数单调递增，所以在上单调递减；
当时，函数单调递增，则函数单调递减，所以在上单调递增.
故B正确，C错误；
对于D， ，因为，所以，
所以.故D正确.
故选：C.
8．C
【分析】根据奇偶性的定义判断为奇函数，再结合的符合及排除法，即可得.
【详解】由，且定义域为R，
所以为奇函数，排除A、B；
，排除D.
故选：C
9．ABD
【分析】根据基本不等式以及指数函数、对数函数的性质.结合已知条件，对于每个选项，进行变形和分析，从而判断其正确性.
【详解】对于A选项，已知，所以.
将代入可得：.
展开化简：
当且仅当，也就是时，取等号，此时，所以，A选项正确.
对于B选项，由可得，那么.
进行化简：.
已知，对于函数，它是一个一次函数且单调递增.
当时，；当时，，所以.
对于指数函数，它是单调递增函数.
当时，；当时，，所以，B选项正确.
对于C选项，根据基本不等式，已知，则，两边平方可得.
因为对数函数在上单调递增.
当时，，所以，C选项不正确.
对于D选项，对进行展开：.
已知，所以.
由基本不等式（当且仅当时取等号），已知，则，所以.
那么.
因为，且，所以成立，D选项正确.
故选：ABD.
10．AC
【分析】先作出函数图象，再结合方程，得，分类讨论计算求解.
【详解】作出函数的大致图象如图所示：
当时，.
当0时，由，得，
设，则，易知为奇函数，且在区间内单调递减，其大致图象如图所示：
当时，方程有两根，，且.
当时，有两解，且；当时，有两解，，且.
当时，方程有两根，且1，
当时，，这时只存在一个解；当时，，这时存在一个解.
当时，方程有两根，且，
当时，，无解；当时，无解.
综上，当时，有4个零点；
当时，有2个零点；
当时，没有零点.
故选:AC.
11．ABC
【分析】利用对数的运算法则可得A，再逐个计算至可判断BCD选项.
【详解】因， 则
，故A正确；
因，，且，
则，，，
同理可得，，，，，，
，
故，故B正确，C正确；
，故D错误；
故选：ABC.
12．4
【分析】通过对两个方程进行变形，构造出相同形式的函数，再利用函数的性质来求解x + y的值.
【详解】对进行变形，可化为，
对进行变形，可化为，
设，随增大而增大，，也是随增大而增大，
则是单调递增函数.则可得.
故答案为：4.
13．
【分析】因为，所以单调递增，再根据，解出的范围.
【详解】定义域，，所以在上单调递增，
又因为，所以，解得，即的取值范围是.
故答案为：.
14．
【分析】根据新定义进行判断，可作出函数图象，数形结合可判断②；利用“追逐函数”的定义可判断①③④.
【详解】在上的值域为.
若对任意，存在，使得成立，
则与在上的值域相同，
又在上单调递增，则，
则对任意，有.
对于① ：在上单调递增且值域为，
且恒成立.
即在上恒成立，符合题意；
对于②，当时，，即函数在上的值域为，
作出函数、的图象如下图所示：
由图可知，当时，的增长速度显然快于函数的增长速度，
则对任意的，，符合题意；
对于③，函数在上递增，且值域为，
且，不符合题意；
对于④，对于函数，该函数在上为增函数，
且当时，，则，不符合题意.
所以，①②是“追逐函数”.
故答案为：.
15．(1)；
(2)奇函数，理由见解析；
(3).
【分析】（1）由幂函数的定义可得或，结合函数的单调性验证得解.
（2）结合奇函数和偶函数的定义，判断函数的奇偶性；
（3）利用奇函数的性质化简不等式，再结合函数的单调性通过讨论化简不等式求其解.
【详解】（1）由幂函数，得，解得或，
若，则在定义域内单调递增，不合题意；
若，则在定义域内单调递减，
但在定义域内不单调，符合题意；
所以函数的解析式为.
（2）函数为奇函数，理由如下：
函数的定义域关于原点对称，
且，所以函数为奇函数.
（3）由及为奇函数，
得，
即，
而在上递减且恒负，在上递减且恒正，
所以或或，解得或，
所以实数的取值范围.
16．(1)；
(2).
【分析】（1）应用偶函数的性质得到恒成立，即，根据已知及基本不等式求得，即可得参数值；
（2）问题化为在R上恒成立，应用导数求右侧的最大值，即可得参数范围.
【详解】（1）由题设，
所以恒成立，则，又，
所以的最小值为4，显然，
又，当且仅当时取等号，则，即，
所以，经检验满足题设，故；
（2）由题设，即在R上恒成立，
令，则，
当时，在上单调递增，
当时，在上单调递减，
所以，故.
17．(1)单调增区间是，单调减区间时；
(2)
(3)不存在，理由见解析；
【分析】（1）由得到或，再结合二次函数及对数函数的单调性即可求解；
（2）由，两类情况讨论即可；
（3）由在上单调递减， 在恒成立，分别求解的范围，即可判断.
【详解】（1）当时，，
由，可得：或，
易知，在单调递增，在单调递减，
又单调递增，
所以的单调增区间是，单调减区间时；
（2）当时，，显然满足值域为，
当时，要使得的值域为，需满足：，
解得：，
综上可知：若的值域为，a的取值范围是；
（3）不存在，理由如下：
若函数在区间上单调递减，
需满足：在上单调递减，且在恒成立，
若在上单调递减，
满足，
当时，需满足，即，
当时，需满足，恒成立，
综上可得：在上单调递减a的取值范围是，
若在恒成立，
即，
令，易知在对称轴处取到最大值，
所以，
显然在上单调递减与在恒成立，不能同时成立，
所以不存在实数使得函数在区间上单调递减.
18．(1)
(2)
(3).
【分析】（1）将条件代入已知式，利用分数指数幂的运算法则计算即得；
（2）将条件和（1）求得的结论代入已知式计算即得；
（3）先计算出水温由冷却到所需要的时间为，然后自动加热后水温达到，由可知，随后水开始降温，代入公式计算即得水温.
【详解】（1）已知空气的温度为，把水放在空气中冷却，水的温度从冷却到需要30min，
则，即，所以.
（2）由题意可知：，，，，
可得，
解得，
所以至少需要等待.
（3）设水的温度由冷却到，需要，
则，解得，
此时电热水壶开始加热，需要加热至，且，
若水的温度由冷却到，可知需要，
显然，则，
所以经过后，此时壶中水的温度是.
19．(1)是“函数”，不是“函数”，理由见解析；
(2)；
(3)证明见解析.
【分析】（1）根据“函数”的定义并结合举反例的方法进行判断即可；
（2）根据函数是“函数”列出不等式，转化为求最值问题即可；
（3）由题意令，得到，进而得到和即可得证.
【详解】（1）对于任意，，，
所以，即成立，
所以是“函数”；
对于，取，则，，
而，所以不是“函数”.
（2）由函数是“函数”，
得对于任意的，有恒成立，
即恒成立，则恒成立，
又，故，因此，则，即，
所以实数a的取值范围为
（3）由函数为“函数”，知对于任意正数，有，且，
令，得，即，
则对于自然数k与正数s，都有，
对任意，，又，
因此，
同理，
所以.
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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