7.2.2 平行线的判定小节复习题
【题型1 平行线】
1.如图，在的方格纸中，每个小正方形的边长为1，、、均为小正方形的顶点，请仅用无刻度的直尺完成以下操作．
(1)过点作的平行线．
(2)过点作的平行线，与（1）中的平行线交于点．
2.用数学的眼光看世界，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条 直线．
3.在同一平面内有三条不同的直线，若，则a与b的位置关系为（ ）
A．相交但不垂直 B．垂直 C．平行 D．无法确定
4.在平面上有9条直线，无任何3条交于一点，则这9条直线的位置关系如何？才能使它们的交点恰好是26个，画出所有可能的情况（要求用直尺画正确）．
【题型2 平行公理及其推论】
1.按下列要求画图，只能画出一条直线的是（ ）
过点P画与直线l垂直的直线 过点P画与直线l相交的直线 过点P画与l平行的直线
① ② ③
A．①②③ B．②③ C．①② D．①③
2.下列说法正确的是( )
A．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则
B．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则
C．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则
D．在同一平面内，a，b，c是直线，且，则
3.如图，在同一平面内，经过直线m外一点O的四条直线中，与直线m相交的直线最少有（ ）
A．1条 B．2条 C．3条 D．4条
4.如图1，杆秤是中国最古老也是现今人们仍然在使用的衡量工具，它利用杠杆原理来称物体的质量，由木制的带有秤星的秤杆、金属秤砣、提绳等组成．如图2，是杆秤的示意图，，，经测量发现，则的度数是 度．
【题型3 添加条件使两直线平行】
1.如图，已知，下列条件：①；②；③；④．其中能判断的有（ ）个
A．1 B．2 C．3 D．4
2.如图，在四边形中，点是延长线上一点，请添加一个条件，使，那么可以添加的条件是 （写出一个即可）．
3.如图，下列条件中，能判断直线的是（ ）
A． B．
C． D．
4.如图，下列条件．①；②；③；④中，能判断直线 的有 ．（填序号即可）
【题型4 补充过程使两直线平行】
1.把下列的推理过程补充完整，并在括号里填上推理的依据：
如图，，，平分，试说明：．
解：因为平分，
所以 （ ）
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以 （ ），
所以（ ）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以 （ ），
所以（ ）
2.已知：如图，，和互余，于点．求证：
请将下面的推理过程补充完整．
证明：∵（已知），
∴（ ），
∴ ，
又∵和互余（已知），
∴ ，
∴ （ ），
∵（已知），
∴，
∴（ ，两直线平行）．
3.把下面的说理过程补充完整：
已知，如图，直线AB，CD被直线EF所截，点H为CD与EF的交点，GH⊥CD于点H，∠2＝30°，∠1＝60°．试说明：．
解：∵GH⊥CD（ ），
∴∠CHG＝90°（ ）．
又∵∠2＝30°（ ），
∴∠3＝（ ）．
∴∠4＝60°（ ）．
又∵∠1＝60°（ ），
∴∠1＝∠4（ ）．
∴（ ）．
4.如图，，平分，平分，．
求证：．
证明：平分，平分（已知）
__________，__________．（ ）
又，（已知）
____________________．（等量代换）
又，（已知）
____________________．（等量代换）
∴．（__________）
【题型5 直接证明两直线平行】
1.如图，已知，交于点D，平分，，求证：．
2.如图，已知，，，试确定直线与的位置关系，并说明理由．
3.已知：如图，，求证：．
4.如图，点O在直线上，平分，平分，F是上一点，连接．
(1)求证：；
(2)若与互余，求证：．
【题型6 旋转使两直线平行】
1.如图，三根木棒钉在一起，交点分别为．现将木棒分别绕点顺时针旋转，同时开始，速度分别为和，当两根木棒都转满了一周时，它们同时停止转动．转动 s时，木棒平行．
2.如图，木棒AB、CD与EF分别在G、H处用可旋转的螺丝铆住，，，将木棒AB绕点G逆时针旋转到与木棒CD平行的位置，则至少要旋转（ ）．
A．10° B．20° C．30° D．40°
3.如图，直线，a与c交于点P．若，则 ．将直线a能点P逆时针旋转 °（旋转角度小于）后可使直线．
4.两块不同的三角板按如图1所示摆放，边与边重合，，接着如图2保持三角板不动，将三角板绕着点（点不动）按顺时针（如图标示方向）旋转，在旋转的过程中，逐渐增大，当第一次等于时，停止旋转，在此旋转过程中， 时，三角板有一条边与三角板的一条边恰好平行．
【题型7 平行线的判定的应用】
1.光线从空气中射入水中会产生折射现象，同时光线从水中射入空气中也会产生折射现象，如图，光线a从空气中射入水中，再从水中射入空气中，形成光线b，根据光学知识有，，请判断光线a与光线b是否平行，并说明理由．
2.在铺设铁轨时，两条直轨必须是互相平行的．如图，已经知道是直角，那么再度量图中已标出的哪个角，就可以判断两条直轨是否平行？为什么？
3.如图，为判断一段纸带的两边a，b是否平行，小亮在纸带两边a，b上分别取点A，B，并连接．下列条件中能判断的是（ ）
A． B． C． D．
4.除夕日,农民在自家院子地面上绘“麦囤”图案，以期风调雨顺，四时平安，五谷丰登．如图1是“麦囤”示意图，乐乐为了验证“麦囤”图案中一组线段是否平行，测量了其中一些角的度数，如图2，其中能说明的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【题型8 作辅助线证平行】
1.如图、已知，，且线段的延长线平分的邻补角．
(1)求证：；
(2)若射线绕点D以每秒的速度逆时针方向旋转得，同时，射线绕点B以每秒的速度逆时针方向旋转得，和交于点G，设旋转时间为t秒．
①当，且时，求t的值；
②当，，则t的值是___________．
2.如图，在四边形中，点在上，平分，，．
(1)求证：；
(2)若平分交的延长线于点，交于点，交于点，，，求的度数．
3.已知：，E、G是上的点，F、H是上的点,
(1)如图1，求证：；
(2)如图2，过F点作交延长线于点M，作的角平分线交于点N，求的度数；
(3)如图3，在（2）的条件下，作的角平分线交于点Q，若，则 ．
4.如图直线与直线分别交于E，F，且与互补，O为线段上一点．
(1)求证：．
(2)如图1，已知平分，平分，求的大小．
(3)将图1中的射线绕O点顺时针转一个角度α（）至与交于，其它图线保持不变，如图2所示，作的平分线与的平分线交于，求的大小（用含α的代数式表示）．
答案
【题型1 平行线】
1.（1）解：过作水平线，如图1，，即为所作；
图1
（2）解：如图2，格点向上2个格点，向左2个格点为，连接，，点即为所作；
图2
2.平行
【分析】根据平行线的定义，进行判断即可．
【详解】解：由平行线的定义可知，常州地图上太湖东路和龙锦路的一段可以抽象成两条平行直线，
故答案为：平行．
3.C
【分析】本题主要考查垂直的定义，熟练掌握垂直的定义是解题关键．根据在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行，即可得出结果．
【详解】在同一平面内，垂直于同一条直线的两条直线平行．
，
故选：C．
4.解∶这9条直线的位置关系为∶两两相交或平行，
有两种情况，分别如下∶
【题型2 平行公理及其推论】
1.D
【分析】本题考查平行公理和垂直，根据“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直”和“在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行”即可解答．
【详解】在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线垂直，故①只能画出一条直线；
在同一平面内，过直线外一点能作无数条直线与已知直线相交，故②能画出无数条直线；
在同一平面内，过直线外一点只能作一条直线与已知直线平行，故③只能画出一条直线；
故选：D．
2.A
【分析】根据每个选项的描述，画出图形，进行判断即可．
【详解】解：根据每个选项的描述，画出图形，图形如下图所示：
根据所画图形可知A选项正确，符合题意，B、C、D选项错误，不符合题意．
故选A．
3.C
【分析】本题考查了平行公理及推论，注意：经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行．
根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行得出即可．
【详解】解：根据经过直线外一点有且只有一条直线和已知直线平行，得出如果有和直线m平行的，只能是一条，
图中共计4条直线，则与直线m相交的直线至少有3条．
故选：C．
4.74
【分析】本题考查邻补角的定义，平行公理的推论，平行线的性质，熟练掌握平行线的性质是解题的关键．先根据邻补角的定义求出，再根据平行公理的推论得出，最后平行线的性质得到，即可求解．
【详解】解：∵，
∴
∵，，
∴
∴
故答案为：74．
【题型3 添加条件使两直线平行】
1.B
【分析】本题考查了平行线的判定及性质，根据平行线的判定方法逐项分析即可．正确识别“三线八角”中的同位角、内错角、同旁内角是正确答题的关键，不能遇到相等或互补关系的角就误认为具有平行关系，只有同位角相等、内错角相等、同旁内角互补，才能推出两被截直线平行．
【详解】解：∵，
∴，
①∵，则，
∴，故符合题意；
②，无法判断，故不符合题意；
③∵，，
∴，
∴，故符合题意；
④，无法判断，故不符合题意；
综上，①③都能判定，
故选：B．
2.（答案不唯一）
【分析】本题主要考查了平行线的判定：内错角相等，两直线平行，根据内错角相等，两直线平行，即可求解．
【详解】解：∵，
∴．
故答案为：（答案不唯一）．
3.B
【分析】此题考查了平行线的判定定理，根据平行线的判定定理依次分析并判断．
【详解】解：∵，∴，故A选项不符合题意；
∵，∴，故B选项符合题意；
由，不能证明哪两条直线平行，故C选项不符合题意；
由不能证明哪两条直线平行，故D选项不符合题意；
故选：B．
4.①③④
【分析】此题考查了平行线的判定，根据平行线的判定进行判断即可．
【详解】①∵，
∴（内错角相等，两直线平行），
②不能判断；
③∵，
∴（同位角相等，两直线平行），
④∵，
∴（同旁内角互补，两直线平行），
故答案为：①③④
【题型4 补充过程使两直线平行】
1.解：因为平分，
所以∠1=∠2（角平分线的定义），
又因为（ 已 知 ） ，
所以（等量代换） ．
所以（内错角相等，两直线平行），
所以（ 两直线平行，同旁内角互补）．
又因为（ 已 知 ） ，
所以（同角的补角相等），
所以（ 同位角相等，两直线平行），
故答案为：，角平分线的定义；；内错角相等，两直线平行；两直线平行，同旁内角互补；；同角的补角相等；同位角相等，两直线平行．
2.证明：∵（已知），
∴（垂直的定义），
∴，
又∵和互余（已知），
∴，
∴（同角的余角相等），
∵（已知），
∴，
∴（内错角相等，两直线平行）．
故答案为：垂直的定义；；；；同角的余角相等；内错角相等．
3.解：∵GH⊥CD（已知），
∴∠CHG＝90°（垂直定义）．
又∵∠2＝30°（已知），
∴∠3＝60°．
∴∠4＝60°（对顶角相等）．
又∵∠1＝60°（已知），
∴∠1＝∠4（等量代换）．
∴（同位角相等，两直线平行）．
4.证明：平分，平分，
，（角平分线的定义），
又∵，
（等量代换），
又，
（等量代换），
∴（同位角相等，两直线平行）．
故答案为： ；；角平分线的定义；；；；；同位角相等，两直线平行．
【题型5 直接证明两直线平行】
1.证明：∵平分，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
2.解：，理由如下：
∵，，
∴，
∵，
∴，
即，
∴．
3.证明：∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴．
4.（1）证明：∵平分，平分，
∴，
∵，
∴，
即：，
∴；
（2）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴．
【题型6 旋转使两直线平行】
1.解：设经过t秒时木棒a，b平行，根据题意得：
当秒时，，解得：；
当秒时，，解得：；
当秒时，木棒a停止运动，
当时，，解得：，不符合题意；
当时，，解得：；
，解得：，
当时，木棒b停止运动，
综上所述，经过3或21或75或165秒时木棒a，b平行，
故答案为：或或或．
2.B
【分析】由平行线的判定“同位角相等，两直线平行”可知，∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，即∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°即可．
【详解】解：当∠EGB＝∠EHD时，AB∥CD，
∵∠EGB＝100°，∠EHD＝80°，
∴∠EGB需要变小20°，即将木棒AB绕点G逆时针旋转20°．
故选：B．
3. 90
【分析】本题考查了平行线的性质，垂直的定义；根据两直线平行，同位角相等可得的度数，再根据垂直的定义即可解决问题．
【详解】解：∵
∴；
∵
∴直线a能点P逆时针旋转后可使直线
故答案为：，90．
4.或
【分析】分和两种情况求解．
【详解】当时，
∵，
∴，
∵，
；
当时，
∵，
；
故答案为：或．
【题型7 平行线的判定的应用】
1.解：平行，理由如下：
如图，，
，
，
，
．
2.因为是直角，和是同位角，如果度量出，根据“同位角相等，两直线平行”，就可以判断两条直轨平行．类似地，和是内错角，和是同旁内角，如果度量出它们是直角，也可以判断两条直轨平行．
3.C
【分析】本题考查了平行线的判定定理，熟知：同位角相等，两直线平行；内错角相等，两直线平行；同旁内角互补，两直线平行；是解本题的关键．根据平行线的判定定理进行判断即可．
【详解】解：A、，和邻补角，不能证明；
B、，和是同旁内角，同旁内角相等不能证明；
C、，根据同旁内角互补，能证明；
D、，与邻补角，不能证明．
故选：C．
4.B
【分析】本题考查了平行线的判定，根据同位角相等或内错角相等或同旁内角互补等方式，都能判定两直线平行，据此逐项分析，即可作答．
【详解】解：A、∵，且与不是同位角、内错角、同旁内角这类关系，∴不能说明，故该选项是错误的；
B、∵，，∴（同旁内角互补，两直线平行），说明，故该选项是正确的；
C、∵，，且与是内错角，但不相等，∴不能说明，故该选项是错误的；
D、∵，，且与是同旁内角，但不互补，∴不能说明，故该选项是错误的；
故选：B．
【题型8 作辅助线证平行】
1.（1）证明：∵是的邻补角，，
∴，
又∵平分．
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：①∵
∴，
如图所示，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴
又∵，
∴，
∴；
②如图2-1所示，当时，过点G作，
又∵
∴，
∴，，
∴，
∵，
∴，
解得；
如图2-2所示，
由（2）①，
∴，
∵，
∴
解得；
综上所述，t的值为或50．
2.（1）证明：∵，
∴，
∵平分，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴；
（2）解：由（1）知，
∴，
∵平分，
∴，
∵，，
∴，，
如图，过作，
∴，，
∴，
∴的度数为．
3.（1）证明：∵，
∴，
又∵，
∴，
∴；
（2）解：如图2，过点N作，
∴，
∴，
设，
∵分别平分，
∴，
又∵，
∴
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
（3）解：，
∵，即
∴
∴，
∴，
又∵和是角平分线，
∴，
∴，
又∵，
∴．
故答案为：．
4.（1）∵与互补，
∴，
又∵，
∴，
∴．
（2）由（1）得，，
∴，
∵平分，平分，
∴，，
∴，
∴；
（3）如图，过点O作，过点作，
∵，
∴，
∴，，
∴，，
∵平分，平分，
∴，
∴．
