2024-2025学年重庆市九龙坡区渝西中学高一（下）3月月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.下列各组向量中，可以作为基底的是( )
A. ， B. ，
C. ， D. ，
2.已知，，，则( )
A. A、、三点共线 B. A、、三点共线
C. B、、三点共线 D. A、、三点共线
3.已知，方向相同，且，，则等于( )
A. B. C. D.
4.已知向量，，则在方向上的投影向量的坐标为( )
A. B. C. D.
5.在中，角，，所对的边分别为，，，若，，则( )
A. B. C. D.
6.在中，为边上的中线，，则( )
A. B. C. D.
7.如图，在三角形中，已知，，，边上的两条中线，相交于点，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角，，的对边分别为，，，已知，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，和实数，下列说法正确的是( )
A. 若，则或
B. 若且，则当时，一定有与共线
C. 若
D. 若且，则
10.已知函数部分图象如图所示，则下列说法正确的是( )
A.
B. 的图象关于点对称
C. 在单调递增
D. 将函数的图象向右平移个单位得到函数的图象
11.若的内角，，的对边分别是，，，外接圆的半径为，若，，，则下列说法正确的是( )
A. B.
C. D.
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知向量，若，则 ______．
13.在中，角，，对边分别为，，，若，且，则的形状为______．
14.已知是面积为的等边三角形，且，其中实数，满足，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，，且与的夹角为，求：
；
若向量与平行，求实数的值．
16.本小题分
在中，角，，的对边分别为，，，且．
求；
若，求的面积．
17.本小题分
某海域的东西方向上分别有，两个观测点如图，它们相距海里，现有一艘轮船由于发生故障停在点发出求救信号，经探测得知点位于点北偏东，点北偏西，这时，位于点南偏西且与点相距海里的点有一救援船，其航行速度为海里小时．
求点到点的距离；
若命令处的救援船立即前往点营救，求该救援船到达点需要的时间．
18.本小题分
在平面四边形中，，且．
中，设角、、的对边分别为、、，若．
当时，求的值；
当时，求的最大值．
若，当变化时，求长度的最大值．
19.本小题分
定义函数的“源向量”为，非零向量的“伴随函数”为，其中为坐标原点．
若向量的“伴随函数”为，求在的值域；
若函数的“源向量”为，且以为圆心、为半径的圆内切于正顶点恰好在轴的正半轴上，求证：为定值；
在中，角、、的对边分别为、、，若函数的“源向量”为，且已知，求的取值范围．
参考答案
1.
2.
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4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.等腰三角形
14.
15.
16.解：因为，
由正弦定理可得，
在中，，
可得，
又因为，
可得，
又因为，
所以；
，，
由正弦定理可得，
即，
因为，
所以角为锐角，
所以，
所以，
所以．
17.
18.解：当时，由正弦定理，可得，
故．
当时，因为，故A，均为锐角，
作于，
由图可得，，
由，可得，故，
则，
，
故
，
当且仅当，即时取等号，
故的最大值为；
设，
由余弦定理可得，即，
由正弦定理，可得，
则
，
故当时，取最大值，
即的最大值为．
19.解：由题意可知，函数的“源向量”为，
伴随函数，
，，
则当时，，当时，，
函数的值域为；
证明：
的源向量为，
圆内切于正，，
又，
；
解：函数的“源向量”为，，
则，
则，
又，即，
，
，即，当且仅当时取等号，
又当顶点无限接近顶点时，边无限接近，即无限接近，
，令，则，
从而，其中，
即的取值范围．
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