2024-2025 学年江苏省苏州市姑苏五中高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1 → 0 sin( 0+ ) .已知 0 = 1， ∈ [
0 2 ,
2 ]，则 0 =( )
A. 12 B.
3
2 C. 1 D. 0
2.文娱晚会中，学生的节目有 6 个，已经排好出场顺序，现临时增加 2 个教师的节目，如果教师的节目既
不排在第一个，也不排在最后一个，并且 6 个学生的节目先后出场顺序不变，则晚会的出场顺序的种数为( )
A. 30 B. 42 C. 56 D. 3960
3.已知曲线 ( ) = + 2 + 2 在点 (1, (1))处的切线与直线 + 4 + 8 = 0 垂直，则 的值为( )
A. 32 B. 1 C. 1 D.
3
2
4.已知定义在(0, + ∞)上的函数 ( )， ′( )是 ( )的导函数，满足 ′( ) 2 ( ) < 0，且 (3) = 9，则
不等式 (3 ) 9 < 0 的解集是( )
A. (0,1) B. (0,2) C. ( ∞,1) D. (1, + ∞)
5.函数 ( ) = sin( 3 ) 2 在 上不单调，则 的取值范围是( )
A. [ 1 1 1 12 , 2 ] B. ( 2 , 2 ) C. [
6 ,
6 ] D. ( 6 , 6 )
6.已知函数 ( ) = 2 ，当 ∈ (1, + ∞)时， ( ) < 2恒成立，则实数 的取值范围为( )
A. ( ∞,0) B. ( ∞,0] C. ( ∞, 1) D. ( ∞, 1]
7.设奇函数 ( )在 上存在导数 ′( )，且在(0, + ∞)上 ′( ) < 2，若 (1 ) ( ) ≥ 13 [(1 )
3
3]，则实数 的取值范围为( )
A. [ 1 , 12 2 ] B. [
1
2 , + ∞)
C. ( ∞, 12 ] D. ( ∞,
1 1
2 ] ∪ [ 2 , + ∞)
8.已知函数 ( ) = + 2 ，记 = ( 2), = ( 4 3), = ( 0.2)，则 ， ， 的大小关系
为( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知函数 ( )是 上的可导函数， ( )的导函数 ′( )的图象如图，则下列结论不正确的是( )
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A. ， 分别是极大值点和极小值点
B. ， 分别是极大值点和极小值点
C. ( )在区间( , )上是增函数
D. ( )在区间( , )上是减函数
10.已知函数 ( ) = + 3 ，则下列结论正确的是( )
A. ( )是偶函数 B.若 ( )是增函数，则 ≤ 1
C.当 = 3 时，函数 ( )恰有两个零点 D.当 = 3 时，函数 ( )恰有两个极值点
11.已知函数 ( ) = ( 1)2( 4) + 的导函数为 ′( )( )
A.若 ( )有三个零点，则 0 < < 4 B. ′(4 ) = ′( )
C. = 1 是 ( )的极小值点 D.当 ≥ 0， ( ) ≥ 0 时，则 ≥ 4
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.设 > 0，若函数 ( ) = 2 + 在区间( , + ∞)上单调，则 的取值范围是______．
13.已知 = ( )是定义在 上的偶函数，且当 > 0 时， ( ) + ′( ) > 0，则满足 2 (2 3) >
( 1)的 的取值范围是______．
14.设实数 > 0，若对任意的 ≥ ，不等式 2 ≥ 0 恒成立，则 的最大值是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = 1 22 + 2 在 = 1 处的切线平行于 轴．
(1)求实数 的值；
(2)求函数 ( )的极小值．
16.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = + + ．
(1)当 = 0 时，证明函数 ( )在(0, + ∞)单调递增；
(2) ( ) ( 若函数 在 2 , )有极值，求实数 的取值范围；
(3)若函数 ( )的图象在点(2 , (2 ))处的切线方程为 2 = 0，求函数 ( )的零点个数．
17.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = 3 + 3 22 4 + 2．
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(1)若函数 ( ) = 6 3 + (4 9) + ( )，求 ( )的单调区间；
(2)若 ( )有两个都小于 0 的极值点，求实数 的取值范围．
18.(本小题 17 分)
已知 1 < ≤ 2，函数 ( ) = ，其中 = 2.71828…为自然对数的底数．
(1)证明：函数 = ( )在(0, + ∞)上有唯一零点；
(2)记 0为函数 = ( )在(0, + ∞)上的零点，证明： 1 ≤ 0 ≤ 2( 1)．
19.(本小题 17 分)
已知 ≠ 0 1 ，函数 ( ) = ( + 1)ln( + 1)在 = 处取得极值．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ)证明：对任意的 ， ∈ (0, + ∞)，都有 ( + ) > ( ) + ( )；
(Ⅲ)若存在实数 > 0，使得( 2) 1 > ( )成立，求 的最小整数值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.[1, + ∞)
13.( ∞, 43 ) ∪ (2, + ∞)
14.
15. 2解：(1)由已知可得 ′( ) = + ，
因为 ( )在 = 1 处的切线平行于 轴，
所以 ′(1) = 1 + 2 = 3 = 0，解得 = 3．
(2)由(1) 1可得 ( ) = 22 3 + 2 ( > 0)，
2 ( 1)( 2)′( ) = 3 + = ，
当 0 < < 1 或 > 2 时， ′( ) > 0，当 1 < < 2 时， ′( ) < 0，
故 ( )在(0,1)单调递增，在(1,2)单调递减，在(2, + ∞)单调递增，
故 ( )的极小值为 (2) = 4 + 2 2．
16.解：(1)证明：当 = 0 时， ′( ) = ，
若 > 0，则 > 1，又因为 ≤ 1，所以 ′( ) > 0，
所以函数 = ( )在(0, + ∞)单调递增；
(2) ′( ) = ，
因为函数 = ( ) ( 在 2 , )有极值，所以 ′( ) = 0 在( 2 , )有解，
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又因为 ′( ) = ( 在 2 , )单调递增，所以 ′( 2 ) ′( ) < 0，
所以( 2 1) × < 0 ，所以 2 < 1，所以 > 2，
即 的取值范围是( 2 , + ∞)；
(3)因为函数 = ( )在点(2 , (2 ))处的切线方程为 2 = 0，
所以 ′(2 ) = 2 2 = 1 且 (2 ) = 2 + 2 + = 0，
解得 = 2 ， = 2，
所以 ( ) = 2 + 2， ′( ) = 2 ，
当 > 2 时， ′( ) > 0，所以 = ( )在(2 , + ∞)单调递增，
且 (2 ) = 0 + 2 2 = 0，所以 = ( )在(2 , + ∞)没有零点；
当 = 2 时， (2 ) = 0 + 2 2 = 0，
当 < 2 时， ( ) < 0 + 2 = 1 ≤ 0，
所以 = ( )在( ∞,2 )没有零点．
综上所述，函数 = ( )的零点个数为 1 个．
17.解：(1) ( ) = 6 3 + (4 9) + ( ) = 6 3 + (4 9) + 3 + 3 22 4 + 2 = 6
9 + 3 22 + 2， > 0，
2
( ) = 6 9 + 3 = 6 9 +3 = 3(
2 3 +2) = 3( 2)( 1)′ ，
所以在(0,1)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
在(1,2)上， ′( ) < 0， ( )单调递减，
在(2, + ∞)上， ′( ) > 0， ( )单调递增，
所以 ( )的单调递增区间为(0,1)，(2, + ∞)，单调递减区间为(1,2)．
(2)因为 ( )有 2 个极值点且都小于 0，
所以 ′( ) = 3 2 + 3 4 = 0 有 2 个不相等的负实数根，
= 9 + 48 > 0
所以 1 + 2 = 1 < 0，
1 2 =
4
3 > 0
3
解得 16 < < 0，
所以实数 3的取值范围为( 16 , 0)．
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18.
19.解： ≠ 0，函数 ( ) = ( + 1)ln( + 1) 1 在 = 处取得极值，
(Ⅰ) ′( ) = ( + 1) + ( + 1) +1 = ( + 1) + ，
所以 ′( 1 ) = (
+ 1) + = 0，
1 1
所以 + 1 = ，
解得 = 1．
1
经验证当 = 1 时， ( )在 = 处取得极小值，符合题意，
故 = 1．
(Ⅱ)证明：设 ( ) = ( + ) ( )，则 ′( ) = ′( + ) ′( )，
由(1)知 ′( ) = ln( + 1) + 1 在(0, + ∞)上单调递增，
当 ∈ (0, + ∞)时， ′( + ) > ′( )，即 ′( ) > 0， ( )在(0, + ∞)上单调递增，
因为 > 0，所以 ( ) > (0)，即 ( + ) ( ) > ( ) (0) = ( )，
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故 ( + ) > ( ) + ( )．
(Ⅲ)存在实数 > 0，使得( 2) 1 > ( )成立，即 > ( +1)ln( +1)+2 +1 成立．
令 ( ) = ( +1)ln( +1)+2 +1 1 ln( +1) ， > 0，则 ′( ) = 2 ，
令 ( ) = 1 ln( + 1) ，则 ′( ) = 1+ > 0 在(0, + ∞)上恒成立，
故 ( )在(0, + ∞)上单调递增．
又 (2) = 1 3 < 0， (3) = 2 4 > 0，
故存在唯一的 0 ∈ (2,3)，使得 ( 0) = 0，即 0 1 = ln( 0 + 1)．
当 0 < < 0时， ( ) < 0，即 ′( ) < 0，当 > 0时， ( ) > 0，即 ′( ) > 0，
所以 ( )在(0, 0)上单调递减，在( 0 +∞)上单调递增，
故 ( ) = ( ) = ( 0+1)ln( 0+1)+2 0+1 = ( 0+1)( 0 1)+2 0+1 0 = 0 + 2，0 0
故 > 0 + 2，结合 0 ∈ (2,3)，得 0 + 2 ∈ (4,5)，
故 的最小整数值为 5．
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