2024年浙江省温州市龙湾区九年级中考二模数学试题
1．（2024九下·龙湾模拟）如图，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024九下·龙湾模拟）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024九下·龙湾模拟）2024年5月8日，嫦娥六号顺利进入环月轨道．地球到月球的距离约为400000000米，数据400000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
4．（2024九下·龙湾模拟）估计的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
5．（2024九下·龙湾模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
6．（2024九下·龙湾模拟）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
7．（2024九下·龙湾模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
8．（2024九下·龙湾模拟）如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连结．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
9．（2024九下·龙湾模拟）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）．
A． B．的解为，
C． D．点在第三象限
10．（2024九下·龙湾模拟）如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连结，延长交于点，则（ ）
A． B． C． D．
11．（2024九下·龙湾模拟）因式分解：a2+3a= ．
12．（2024九下·龙湾模拟）为比较甲、乙两种小麦秧苗的长势，分别从中抽取10株秧苗，经测量发现两组秧苗的平均高度相同，方差分别是，，则长势比较整齐的是 种秧苗．
13．（2024九下·龙湾模拟）若扇形所对的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ．（保留）
14．（2024九下·龙湾模拟）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗．则需种植的树苗数为 棵．
15．（2024九下·龙湾模拟）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ．
16．（2024九下·龙湾模拟）如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度 （相关数据如图2所示）．
17．（2024九下·龙湾模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
18．（2024九下·龙湾模拟）某校八年级男、女生分别有360名和400名．为了解学生体质健康情况，随机抽取男、女生各40名进行了测试，成绩分为A，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．将测试成绩整理并绘制成如下统计图表．
成绩 性别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
男生 9 10
女生 8.65
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）求，，的值．
（2）根据抽样测试的结果，估计该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数．
19．（2024九下·龙湾模拟）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点．
（2）在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点．
20．（2024九下·龙湾模拟）如图，拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具．图是某排水管道系统的部分实物图，图3是其示意图．已知管道与的长度相同，与地面平行．现将拐尺和水平尺放在上，使，测得厘米，厘米．
（1）求的值；
（2）若米，求到地面的距离的长．
21．（2024九下·龙湾模拟）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究：
【测量数据】
小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表：
杯子的个数（个） 1 2 3 4 5
杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
【建立模型】
根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式．
【应用模型】
请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里．
22．（2024九下·龙湾模拟）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
23．（2024九下·龙湾模拟）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
24．（2024九下·龙湾模拟）如图，内接于，直径交边于点，过点作于点，交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若．
①当是等腰三角形时，求的度数．
②若，求的值．
答案解析部分
1．【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由数轴可知，表示的数为，
∴数轴上点表示的数相加，和为零，
则所求的数是的相反数，即为，
故选：．
【分析】
数轴上表示一对相反数的点分别在原点两侧，且到原点的距离相等．
2．【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据题意，得主视图是：
故选：．
【分析】
光线从物体正面投射得到的投影叫主视图，从物体左面投射得到的投影叫左视图，从物体上面投射得到的投影叫俯视图．
3．【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
绝对值较大数字常用科学记数法表示成的形式，其中，n取原数字整数部分数位个数与1的差．
4．【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ 9＜10＜16，
∴3＜＜4
∴2＜-1＜3，
故答案为：C.
【分析】先估算出的范围，再求出-1的范围即可.
5．【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方计算求解即可。
6．【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得：摸到红球的为，摸到黄球的概率为，
摸到蓝球的概率为，摸到绿球的概率为，
观察统计图可得：该种颜色的球出现的频率约为0.3，
∴该球的颜色最有可能是绿球，
故答案为：．
【分析】根据“频率频数总次数”计算求解得摸到每个颜色球的概率，再根据统计图中估计的的频率，即可得到答案．
7．【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，垂直平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
由尺规作图过程知EF垂直平分线段AB，则由线段垂直平分线的性质知BD等于AD，又由勾股定理的逆定理可得到且为直角，最后再利用勾股定理中求得AB值．
8．【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明问题的常用策略，因此连接OC，则OC垂直EF，此时可由等腰三角形的性质结合平行线的性质得出等于45度，再由两锐角互余结合已知的度数可求得，则可求，最后由圆内接四边形对角互补即可求得的度数 ．
9．【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意；
B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意；
C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意；
D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意．
故选D．
【分析】
观察图象知，抛物线的对称轴为直线，则；若抛物线上任意两点的纵坐标相等，则其横坐标和的一半等于对称轴对应的数字，可知的对称点为；由于抛物线交轴于点，观察图象知，，可利用抛物线与轴的交点坐标确定出的取值范围；由于的取值范围可以确定，则的大体位置也可确定．
10．【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】过作于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，，
由勾股定理得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
由于已知AC等于BC的2倍，M又是AC的中点，若设BC＝a，则CG、DG、CM都等于a，则利用勾股定理可分别求出DM和DF的长，但题目求的是PF与DM的比值，因此还得计算出PD的长度，但PD所在的三角形不是直角三角形，因此可过点P作DN的垂线段PH，则三角形PHD显然是等腰直角三角形，且可证，从而利用相似的性质可求出PH的长，进而求出PD的长即可．
11．【答案】a（a+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+3a=a（a+3）．
故答案为：a（a+3）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴长势比较整齐的是甲．
故答案为：甲．
【分析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．
13．【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形所对的圆心角为120°，半径为10，
∴扇形的面积为：.
故答案是：.
【分析】
直接利用扇形面积公式S=计算即可，其中为扇形所对的圆心角度数.
14．【答案】35
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设则需种植的树苗数为x棵，
由题意可得：，
解得：
所以需种植的树苗数为35棵．
故答案为：35．
【分析】
根据等量关系“ 每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗 ”列一元一次方程求解即可．
15．【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为，
由题意可得：，
解得：（舍弃负值）
所以，
当时，．
故答案为：．
【分析】设当为时的功率为P，则当为时的功率为，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
16．【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
17．【答案】解：（1）
．
（2）
．
【知识点】分式的加减法；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算先乘方，再乘除，最后再加减，特殊要注意一些特殊的乘方运算如0次幂、负整数指数幂的运算法则，另外要熟记一些常见平方数的算术平方根，同时这[牢记含绝对值的算式的结果都是非负数；
（2）同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减，注意分数线具有括号的作用，另外要利用乘法公式或提公因式法对分子分母分别分解因式，最后再约分．
18．【答案】（1）解：八年级男生的平均数为（分）；
根据中位数的定义可知，：八年级女生的中位数；
由扇形统计图可知，占比例最大的是A等级，则10分出现的次数最多，即众数．
故答案为：9，，10．
（2）解：人．
答：该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数为284人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）求中位数时，先按从小到大的顺序对数据排序，最后最中间的数据或最中间两个数据的平均值；平均数是所有数据的和与样本容量的商，如果所有数据可分类统计出结果，也可利用加权平均数公式计算；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可以是一个，也可以是多个；
（2）分别用男、女生人数乘以A等级在各样本容量中所占的比例即可解答．
19．【答案】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）由于平移前后对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上，因此可把点M看作AC中点平移后的对应点，即可分别作出A、B、C三点平移后的对称点，再依次连接即可；
（2）由于中心对称图形的各对应点的连线交于同一点，这一点即为对称中心，因此可把点M看作点C的对应点，则可分别作出A、B两点的对应点，再依次连接即可．
20．【答案】（1）解：∵，厘米，厘米，，
∵，
∴，
∴；
答：；
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
设，，则，
∵米，
∴，解得，
∴米．
答：米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质知，等于，则解直角三角形PNM即可；
（2）由于平行线间距离处处相等，可分别过点B、C作AD的垂线段BE和CD，可得矩形BCDE，由于BC等于AB，可设CD的长，则BE的长可表示，再解直角三角形ABE即可得到AB的表达式，再利用AD的长即可得到关于CD长的一元一次方程，最后解方程即可．
21．【答案】解：【建立模型】根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中画出函数图象如下：
这些点在一条直线上，即该函数为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为．
将点、代入可得：
，解得
∴y与x之间的函数关系式为．
【应用模型】
当时，有，解得：，所以最多可以将23个杯子放入橱柜里．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
通过描点、连线，可得到函数图象是一条直线，则可判定出一次函数，再用待定系数法求得函数解析式，由于一次函数的比例系数为正，则表明杯子总高度随杯子个数增大而增大，因此当取最大值40cm时对应的也有最大值．
22．【答案】（1）证明：∵矩形，∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵矩形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵的中点，
∴；同理可得：，
∴四边形的面积为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】
（1）由矩形的性质结合垂线的概念可证全等于，再利用全等的性质结合平行线的判定即可；
（2）由于平行四边形的面积被其一条对角线等分，而三角形面积又被中线等分，因此四边形MFNE的面积等于的面积；此时可利用直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半分别求出AD、AC，又由（1）知CE等于AF，再利用勾股定理求出DF即可．
23．【答案】（1）解：（1）①将代入可得，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，解得：，
∴，
∴．
（2）解：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；配方法的应用
【解析】【分析】
（1）①利用待定系数法将代入二次函数解析式即可；
②由于B、C两点的纵坐标相同，则B、C两点关于抛物线的对称轴对称，此时可利用抛物线解析式得到对称轴的表达式从而求出的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征代入点坐标即可求得n；
（2）由于 与和是定值，则可用含的代数式表示，则可分别用含的代数式表示出与的和，最后再使用配方法即可．
24．【答案】（1）解：是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：设，则，∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴a.当时，，
∴，解得：，
∴；
b：当时，，
∴，
∴，解得：，
∴；
c. 当时，，
∴，解得：，即三点共线，不符合题意；
综上，的度数为和．
②如图：连接并延长交于G，连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
设圆的直径为d，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；圆与函数的综合
【解析】【分析】
（1）由圆周角定理可知等于、是直角，再由等角的余角相等即可得证；
（2）由于，所以EB不可能等于EC，因此当是等腰三角形时只有两种可能，即CE＝CB或BE＝BC，分类讨论并计算即可；
由于锐角三角函数离不开直角三角形，因此可连接OD构造直角三角形，利用圆周角定理把转化到直角三角形ABD中，由AB＝AC，则由垂径定理知半径AO必然垂直平分BC，因此可连接AO并延长交BC于点G，则BG＝CG，且等于等于，此时再设出AD的长，则利用解直角三角形可分别求出AB、BC的长，再利用同角的余角相等可得也等于，解直角三角形可得BH、CH、CF的长，再利用平行线的性质证，从而利用相似比可求出结果．
2024年浙江省温州市龙湾区九年级中考二模数学试题
1．（2024九下·龙湾模拟）如图，与数轴上点表示的数相加，和为零的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】有理数在数轴上的表示；相反数的意义与性质；有理数的加法法则
【解析】【解答】解：由数轴可知，表示的数为，
∴数轴上点表示的数相加，和为零，
则所求的数是的相反数，即为，
故选：．
【分析】
数轴上表示一对相反数的点分别在原点两侧，且到原点的距离相等．
2．（2024九下·龙湾模拟）某物体如图所示，它的主视图是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【知识点】简单几何体的三视图
【解析】【解答】根据题意，得主视图是：
故选：．
【分析】
光线从物体正面投射得到的投影叫主视图，从物体左面投射得到的投影叫左视图，从物体上面投射得到的投影叫俯视图．
3．（2024九下·龙湾模拟）2024年5月8日，嫦娥六号顺利进入环月轨道．地球到月球的距离约为400000000米，数据400000000用科学记数法表示为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】科学记数法表示大于10的数
【解析】【解答】解：，
故选：B．
【分析】
绝对值较大数字常用科学记数法表示成的形式，其中，n取原数字整数部分数位个数与1的差．
4．（2024九下·龙湾模拟）估计的值在（ ）
A．0和1之间 B．1和2之间 C．2和3之间 D．3和4之间
【答案】C
【知识点】无理数的估值
【解析】【解答】解：∵ 9＜10＜16，
∴3＜＜4
∴2＜-1＜3，
故答案为：C.
【分析】先估算出的范围，再求出-1的范围即可.
5．（2024九下·龙湾模拟）化简的结果是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】同底数幂的乘法；幂的乘方运算
【解析】【解答】解： ，
故答案为：D.
【分析】利用同底数幂的乘法法则，幂的乘方计算求解即可。
6．（2024九下·龙湾模拟）在一个不透明袋子中装有个只有颜色不同的球，其中个红球、个黄球、个蓝球和个绿球，从中任意摸出一个球，某种颜色的球出现的频率如图所示，则该球的颜色最有可能是（ ）
A．红色 B．黄色 C．蓝色 D．绿色
【答案】D
【知识点】利用频率估计概率
【解析】【解答】解：由题意得：摸到红球的为，摸到黄球的概率为，
摸到蓝球的概率为，摸到绿球的概率为，
观察统计图可得：该种颜色的球出现的频率约为0.3，
∴该球的颜色最有可能是绿球，
故答案为：．
【分析】根据“频率频数总次数”计算求解得摸到每个颜色球的概率，再根据统计图中估计的的频率，即可得到答案．
7．（2024九下·龙湾模拟）如图，在中，分别以点，为圆心，大于为半径画弧，两弧交于点，，作直线分别交，于点，，连结．若，，，则的长为（ ）
A． B． C．9 D．10
【答案】B
【知识点】线段垂直平分线的性质；勾股定理；勾股定理的逆定理；尺规作图-垂直平分线
【解析】【解答】解：由作图可得，垂直平分，
∴，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
由尺规作图过程知EF垂直平分线段AB，则由线段垂直平分线的性质知BD等于AD，又由勾股定理的逆定理可得到且为直角，最后再利用勾股定理中求得AB值．
8．（2024九下·龙湾模拟）如图，四边形内接于，过点作的切线，交的延长线于点，连结．若，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的性质；圆内接四边形的性质；切线的性质
【解析】【解答】解：如图：连接，
∵是的切线，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∴，
∴．
故选：C．
【分析】
有切线连半径是解决圆的计算与证明问题的常用策略，因此连接OC，则OC垂直EF，此时可由等腰三角形的性质结合平行线的性质得出等于45度，再由两锐角互余结合已知的度数可求得，则可求，最后由圆内接四边形对角互补即可求得的度数 ．
9．（2024九下·龙湾模拟）已知二次函数的图象如图所示，则下列选项中错误的是（ ）．
A． B．的解为，
C． D．点在第三象限
【答案】D
【知识点】二次函数图象与系数的关系；二次函数图象上点的坐标特征
【解析】【解答】解：A、由图象可得：对称轴，即，即A选项正确，不符合题意；
B、由函数图象可知：的解为，另一个解为：，即B选项正确，不符合题意；
C、由函数图象可知：且，则有；又当时，，即，即，即C选项正确，不符合题意；
D、由意义可知：，则，又，则，可得点在第二象限，故D选项错误，符合题意．
故选D．
【分析】
观察图象知，抛物线的对称轴为直线，则；若抛物线上任意两点的纵坐标相等，则其横坐标和的一半等于对称轴对应的数字，可知的对称点为；由于抛物线交轴于点，观察图象知，，可利用抛物线与轴的交点坐标确定出的取值范围；由于的取值范围可以确定，则的大体位置也可确定．
10．（2024九下·龙湾模拟）如图，点在线段上，，分别以，为边向上作正方形和正方形．取中点，以，为邻边作，点恰好在的延长线上．连结，延长交于点，则（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】等腰三角形的判定与性质；平行四边形的性质；正方形的性质；四边形的综合；相似三角形的判定-AA
【解析】【解答】过作于点，
∵四边形和四边形是正方形，
∴，，，
∵是中点，
∴，
∵，
∴，
∴是等腰直角三角形，
设，则，
∴，，
由勾股定理得，
∵四边形是平行四边形，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∵是等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴是等腰直角三角形，
∴，
设，则，
∵，
∴，
∴，即，
解得：，
∴，
∴，
∴，
故选：．
【分析】
由于已知AC等于BC的2倍，M又是AC的中点，若设BC＝a，则CG、DG、CM都等于a，则利用勾股定理可分别求出DM和DF的长，但题目求的是PF与DM的比值，因此还得计算出PD的长度，但PD所在的三角形不是直角三角形，因此可过点P作DN的垂线段PH，则三角形PHD显然是等腰直角三角形，且可证，从而利用相似的性质可求出PH的长，进而求出PD的长即可．
11．（2024九下·龙湾模拟）因式分解：a2+3a= ．
【答案】a（a+3）
【知识点】因式分解﹣提公因式法
【解析】【解答】解：a2+3a=a（a+3）．
故答案为：a（a+3）．
【分析】直接提取公因式a，进而得出答案．
12．（2024九下·龙湾模拟）为比较甲、乙两种小麦秧苗的长势，分别从中抽取10株秧苗，经测量发现两组秧苗的平均高度相同，方差分别是，，则长势比较整齐的是 种秧苗．
【答案】甲
【知识点】方差
【解析】【解答】解：∵，
∴长势比较整齐的是甲．
故答案为：甲．
【分析】
方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，数据越不稳定；反之，方差越小，数据越稳定．
13．（2024九下·龙湾模拟）若扇形所对的圆心角为，半径为，则扇形的面积为 ．（保留）
【答案】
【知识点】扇形面积的计算
【解析】【解答】解：∵扇形所对的圆心角为120°，半径为10，
∴扇形的面积为：.
故答案是：.
【分析】
直接利用扇形面积公式S=计算即可，其中为扇形所对的圆心角度数.
14．（2024九下·龙湾模拟）一组同学一起去种树，如果每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗．则需种植的树苗数为 棵．
【答案】35
【知识点】一元一次方程的其他应用
【解析】【解答】解：设则需种植的树苗数为x棵，
由题意可得：，
解得：
所以需种植的树苗数为35棵．
故答案为：35．
【分析】
根据等量关系“ 每人种4棵，还剩下3棵树苗；如果每人种5棵，那么缺少5棵树苗 ”列一元一次方程求解即可．
15．（2024九下·龙湾模拟）图1是某电路图，滑动变阻器为，电源电压为，电功率为，关于的函数图象如图2所示．小温同学通过两次调节电阻，发现当从增加到时，电功率减少了，则当时，的值为 ．
【答案】
【知识点】反比例函数的实际应用
【解析】【解答】解：设当为时的功率为P，则当为时的功率为，
由题意可得：，
解得：（舍弃负值）
所以，
当时，．
故答案为：．
【分析】设当为时的功率为P，则当为时的功率为，根据题意建立方程组，解方程组即可求出答案.
16．（2024九下·龙湾模拟）如图1是一种壁挂式投影仪．投影时，需将展台绕点旋转至水平状态，投影杆可绕点顺时针旋转合适角度，其侧面示意图如图2所示．在活动课上，小章同学旋转至位置，点竖直上升，投射线；当完全打开至位置时，地面被投射到的区域宽度 （相关数据如图2所示）．
【答案】
【知识点】矩形的判定与性质；解直角三角形
17．（2024九下·龙湾模拟）（1）计算：．
（2）化简：．
【答案】解：（1）
．
（2）
．
【知识点】分式的加减法；零指数幂；实数的混合运算（含开方）；求算术平方根
【解析】【分析】
（1）实数的混合运算先乘方，再乘除，最后再加减，特殊要注意一些特殊的乘方运算如0次幂、负整数指数幂的运算法则，另外要熟记一些常见平方数的算术平方根，同时这[牢记含绝对值的算式的结果都是非负数；
（2）同分母分式相加减，分母不变，只把分子相加减，注意分数线具有括号的作用，另外要利用乘法公式或提公因式法对分子分母分别分解因式，最后再约分．
18．（2024九下·龙湾模拟）某校八年级男、女生分别有360名和400名．为了解学生体质健康情况，随机抽取男、女生各40名进行了测试，成绩分为A，，，四个等级，其中相应等级的得分依次记为10分，9分，8分，7分．将测试成绩整理并绘制成如下统计图表．
成绩 性别 平均数（分） 中位数（分） 众数（分）
男生 9 10
女生 8.65
请根据以上提供的信息解答下列问题：
（1）求，，的值．
（2）根据抽样测试的结果，估计该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数．
【答案】（1）解：八年级男生的平均数为（分）；
根据中位数的定义可知，：八年级女生的中位数；
由扇形统计图可知，占比例最大的是A等级，则10分出现的次数最多，即众数．
故答案为：9，，10．
（2）解：人．
答：该校八年级测试成绩为A等级的学生总人数为284人．
【知识点】平均数及其计算；中位数；分析数据的集中趋势（平均数、中位数、众数）；众数；用样本所占百分比估计总体数量
【解析】【分析】
（1）求中位数时，先按从小到大的顺序对数据排序，最后最中间的数据或最中间两个数据的平均值；平均数是所有数据的和与样本容量的商，如果所有数据可分类统计出结果，也可利用加权平均数公式计算；众数是指一组数据中重复出现次数最多的数据，可以是一个，也可以是多个；
（2）分别用男、女生人数乘以A等级在各样本容量中所占的比例即可解答．
19．（2024九下·龙湾模拟）如图，在的方格纸中，已知格点和格点，请按要求画格点三角形（顶点均在格点上）．
（1）在图1中，画出平移后的图形，使为其中一边的中点．
（2）在图2中，画出与成中心对称的图形，使为其中的一个顶点．
【答案】（1）如图所示：即为所求；
（2）如图所示：即为所求；
【知识点】作图﹣平移；作图﹣中心对称
【解析】【分析】
（1）由于平移前后对应点的连线平行且相等，或在同一条直线上，因此可把点M看作AC中点平移后的对应点，即可分别作出A、B、C三点平移后的对称点，再依次连接即可；
（2）由于中心对称图形的各对应点的连线交于同一点，这一点即为对称中心，因此可把点M看作点C的对应点，则可分别作出A、B两点的对应点，再依次连接即可．
20．（2024九下·龙湾模拟）如图，拐尺与水平尺是生活中重要的测量工具．图是某排水管道系统的部分实物图，图3是其示意图．已知管道与的长度相同，与地面平行．现将拐尺和水平尺放在上，使，测得厘米，厘米．
（1）求的值；
（2）若米，求到地面的距离的长．
【答案】（1）解：∵，厘米，厘米，，
∵，
∴，
∴；
答：；
（2）解：如图所示，过点作，垂足为，
∵，
∴，，
∵，
∴四边形为矩形，
∴，，
∵，
设，，则，
∵米，
∴，解得，
∴米．
答：米．
【知识点】勾股定理；矩形的判定与性质；解直角三角形的其他实际应用
【解析】【分析】（1）由平行线的性质知，等于，则解直角三角形PNM即可；
（2）由于平行线间距离处处相等，可分别过点B、C作AD的垂线段BE和CD，可得矩形BCDE，由于BC等于AB，可设CD的长，则BE的长可表示，再解直角三角形ABE即可得到AB的表达式，再利用AD的长即可得到关于CD长的一元一次方程，最后解方程即可．
21．（2024九下·龙湾模拟）实践活动：最多可以将几个杯子放进橱柜？周末，小洲同学在家整理杯子时，想把一些规格相同的杯子（如图1），尽可能多地叠放在一起（如图2），放入高为的橱柜里，于是他开始了以下探究：
【测量数据】
小洲同学经过探究测量后，将图2方式叠放杯子的总高度与杯子的个数的数据情况记录如下表：
杯子的个数（个） 1 2 3 4 5
杯子的总高度 6.8 8.3 9.8 11.3 12.8
【建立模型】
根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中描出对应点，依据你所学的知识选择合适的函数模型，求出关于的函数表达式．
【应用模型】
请根据你所探究出的规律，帮助小洲算算看，他最多可以将多少个杯子放入橱柜里．
【答案】解：【建立模型】根据表中所记录的数据，在图3平面直角坐标系中画出函数图象如下：
这些点在一条直线上，即该函数为一次函数，
设y与x之间的函数关系式为．
将点、代入可得：
，解得
∴y与x之间的函数关系式为．
【应用模型】
当时，有，解得：，所以最多可以将23个杯子放入橱柜里．
【知识点】一元一次不等式的应用；待定系数法求一次函数解析式；一次函数的其他应用
【解析】【分析】
通过描点、连线，可得到函数图象是一条直线，则可判定出一次函数，再用待定系数法求得函数解析式，由于一次函数的比例系数为正，则表明杯子总高度随杯子个数增大而增大，因此当取最大值40cm时对应的也有最大值．
22．（2024九下·龙湾模拟）如图，在矩形中，，分别过点，作，交于点，，连结，．
（1）求证：四边形为平行四边形．
（2）分别取，的中点，，连结，．若，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：∵矩形，∴，
∴，
∵，，
∴，，
∴，
∴，
∵，
∴四边形为平行四边形．
（2）解：∵矩形，∴，，
∵，
∴，
∴，
∴
∵，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵的中点，
∴；同理可得：，
∴四边形的面积为
【知识点】勾股定理；平行四边形的判定；矩形的性质；四边形的综合
【解析】【分析】
（1）由矩形的性质结合垂线的概念可证全等于，再利用全等的性质结合平行线的判定即可；
（2）由于平行四边形的面积被其一条对角线等分，而三角形面积又被中线等分，因此四边形MFNE的面积等于的面积；此时可利用直角三角形中30度角所对的直角边是斜边的一半分别求出AD、AC，又由（1）知CE等于AF，再利用勾股定理求出DF即可．
23．（2024九下·龙湾模拟）已知二次函数．
（1）若函数图象经过点．
①求该二次函数的表达式．
②若将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，求的值．
（2）设点，是该函数图象上的两点，若，求证：．
【答案】（1）解：（1）①将代入可得，解得：，
∴该二次函数的表达式为；
②∵将平面内一点向左平移个单位，则与图象上的点重合；若将点A向右平移个单位，则与图象上的点重合，
∴，
∵，
∴抛物线的对称轴为：，
∴，解得：，
∴，
∴．
（2）解：∵设点，是该函数图象上的两点，
∴
∴，，
∴
，
∵，
∴，即．
【知识点】待定系数法求二次函数解析式；二次函数图象上点的坐标特征；配方法的应用
【解析】【分析】
（1）①利用待定系数法将代入二次函数解析式即可；
②由于B、C两点的纵坐标相同，则B、C两点关于抛物线的对称轴对称，此时可利用抛物线解析式得到对称轴的表达式从而求出的值，再利用二次函数图象上点的坐标特征代入点坐标即可求得n；
（2）由于 与和是定值，则可用含的代数式表示，则可分别用含的代数式表示出与的和，最后再使用配方法即可．
24．（2024九下·龙湾模拟）如图，内接于，直径交边于点，过点作于点，交于点，连接．
（1）求证：．
（2）若．
①当是等腰三角形时，求的度数．
②若，求的值．
【答案】（1）解：是直径，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴．
（2）解：设，则，∵，
∴，
∵，
∴，
∵是等腰三角形，
∴a.当时，，
∴，解得：，
∴；
b：当时，，
∴，
∴，解得：，
∴；
c. 当时，，
∴，解得：，即三点共线，不符合题意；
综上，的度数为和．
②如图：连接并延长交于G，连接，则，
∵，
∴，
∵是的直径，
∴，
设圆的直径为d，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴
∵，，
∴，解得：，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，即．
【知识点】垂径定理；圆周角定理；解直角三角形—边角关系；圆与函数的综合
【解析】【分析】
（1）由圆周角定理可知等于、是直角，再由等角的余角相等即可得证；
（2）由于，所以EB不可能等于EC，因此当是等腰三角形时只有两种可能，即CE＝CB或BE＝BC，分类讨论并计算即可；
由于锐角三角函数离不开直角三角形，因此可连接OD构造直角三角形，利用圆周角定理把转化到直角三角形ABD中，由AB＝AC，则由垂径定理知半径AO必然垂直平分BC，因此可连接AO并延长交BC于点G，则BG＝CG，且等于等于，此时再设出AD的长，则利用解直角三角形可分别求出AB、BC的长，再利用同角的余角相等可得也等于，解直角三角形可得BH、CH、CF的长，再利用平行线的性质证，从而利用相似比可求出结果．
