2025年广东省广州市中考数学模拟试题1
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）
1．在下列四个数中，最小的是( )
A． B． C．0 D．2
2．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
3．若 ，则下列各式中一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
4．如图，是九（1）班45名同学每周课外阅读时间的频数分布直方图（每组含前一个边界值，不含后一个边界值），由图可知，每周课外阅读时间不小于6小时的人数是（ ）
A．6人 B．8人 C．14人 D．36人
5．跨学科 如图，平面反光镜斜放在地面上，一束光线从地面内上的点射出，是反射光线．已知，，若要使反射光线，则应调节为（ ）
A． B． C． D．
6．有一批画册，若3人合看一本，那么就多余2本，若2人合看一本，就有9人没有书看．设人数为x人，那么可以列出方程（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，，，，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
8．如图，是屋顶的剖面图，屋檐米，横梁米，在横梁上的一点处要支一根木头顶住屋顶处，则这根木头需要长度可能是（ ）
A．2.5米 B．6米 C．4米 D．8米
9．已知二次函数的图象如图所示，则一次函数的图象和反比例函数的图象在同一坐标系中大致为（ ）
A． B． C． D．
10．中国体育代表团在巴黎奥运会上取得了优异的成绩，图1是2024年巴黎奥运会的一枚金牌，金牌正中间镶嵌了一块来自埃菲尔铁塔的正六边形铁块．这个正六边形铁块的示意图如图2所示，已知该正六边形的周长约，则正六边形铁块的边心距约为（ ）
A． B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分.）
11．如图，，交于点E，若，则 ．
12．若关于x的方程的解为，那么a的值为 ．
13．若，则 ．
14．在平行四边形中，对角线，相交于点O，且，，则的周长为 ．
15．若等式恒成立，则 ．
16．如图，把一块含角的直角三角板摆放在平面直角坐标系中，一个顶点与点O重合，点B在x轴上，点A在函数的图象上．把三角板绕点O逆时针旋转到的位置，使得点恰好也在函数的图象上，此时点落在函数上的图象上，则k的值为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．（1）解不等式组，把它的解集在数轴上表示出来；
（2）解方程：．
18．如图，在中，．
(1)用无刻度直尺和圆规在上求作点D，使得；（保留作图痕迹，不写作法）
(2)在（1）的条件下，若，，求的长．
19．如图，数学活动课上，为了测量学校旗杆的高度，小亮在地面平放一面镜子，在镜子上做一个标记点C，小亮看着镜子来回移动，直至看到旗杆顶端点A在镜子中的像与标记点C重合．经测量，小亮的眼睛离地面高度为，小亮与标记点C的距离为，标记点C与旗杆底部点B的距离为．
(1)在图中建立适当的平面直角坐标系，并直接写出点C，D的坐标．
(2)在（1）的条件下，求直线的表达式及旗杆的高度．
20．如图，在中，，分别为边，的中点，是对角线．
(1)求证：；
(2)若，，求四边形的面积．
21．校园安全受到全社会的广泛关注，某中学对部分学生就校园安全知识的了解程度，采用随机抽样调查的方式，绘制了如图两幅尚不完整的统计图，请你根据统计图中所提供的信息解答下列问题．
(1)接受问卷调查的学生共有 _____人；
(2)若该中学共有学生600人，请根据上述调查结果，估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为 ______人；
(3)若从对校园安全知识达到“了解”程度的3个女生A，B，C和2个男生M，N中分别随机抽取1人参加校园安全知识竞赛，用树状图或列表法求出恰好抽到女生A的概率．
22．已知等腰三角形，，．
(1)若a，b是关于的一元二次方程的两根，当时，求的值．
(2)若等腰三角形的底边长为3，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求等腰三角形的周长．
(3)若等腰三角形的一边长为6，另两边的长是关于的一元二次方程的两根，求抛物线的顶点坐标．
23．我们把对角线互相垂直的四边形叫做垂美四边形．
【概念理解】
（1）我们已经学行四边形，菱形，矩形和正方形，在这四种图形中一定是垂美四边形的是_____；
【性质探究】
（2）如图①，已知四边形是垂美四边形，请探究两组对边与之间的数量关系，并说明理由；
问题解决】
（3）如图②，分别以的直角边和斜边为边向外作正方形和正方形，连接，已知，求．
24．如图1，在平面直角坐标系中，抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点．
(1)求抛物线的解析式；
(2)某学习小组发现，将抛物线在直线上方的部分沿翻折，会得到一个漂亮的“心形图”（包含A、B两点），如图2，现小组想探究恰好将心形图框住的最小矩形面积
①组员小聪想到了方案一：如图3所示，矩形的边与抛物线相切于（即只有一个公共点）顶点C______（填坐标），边与心形图右边缘相切于点D，点D与点C关于直线对称；请你帮小聪计算出矩形的面积；
②组员小颖提出了方案二：如图4所示，矩形的边过点A，边与心形图的左边缘相切，边与心形图的右边缘相切，边与心形图的左、右边缘各相切于一点，此时矩形的面积为______；请你判断以上两个方案哪个方案的矩形面积更小．
25．如图，在中，，以点为圆心，作与直线相切，切点为点，连接．
(1)求的半径；
(2)延长交于点，点是射线上一点，若与相似，请求出的长；
(3)点是上一个动点，连接交直线于点．在点运动过程中，是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
参考答案
1．【考点】有理数大小比较
【分析】本题考查了有理数的大小比较，根据正数都大于零，负数都小于零，正数大于负数，两个正数比较大小，绝对值大的数大，两个负数比较大小，绝对值大的数反而小进行判断即可．
解：，
最小的数是：
故选：B
2．【考点】合并同类项、同底数幂相乘、幂的乘方运算、同底数幂的除法运算
【分析】本题考查整式的混合运算，涉及同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、合并同类项运算、幂的乘方运算等知识，根据同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、合并同类项运算、幂的乘方运算逐项验证即可得到答案，熟记同底数幂的乘法运算、同底数幂的除法运算、合并同类项运算、幂的乘方运算法则是解决问题的关键．
解：A、，原式计算错误，不符合题意；
B、，原式计算正确，符合题意；
C、与不是同类项，不能合并，原式计算错误，不符合题意；
D、，原式计算错误，不符合题意；
故选：B．
3．【考点】不等式的性质
【分析】本题考查了不等式的性质，掌握不等式的性质是解题的关键．
不等式的性质：不等式的两边同时加上或减去同一个数或式子，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个正数，不等号的方向不变；不等式的两边同时乘以或除以同一个负数，不等号的方向改变；由此即可求解．
解：若，
，故A选项错误，不符合题意；
，故B选项错误，不符合题意；
，故C选项正确，符合题意；
，故D选项错误，不符合题意；
故选：C ．
4．【考点】频数分布直方图、根据数据描述求频数
【分析】根据频数分布直方图中各组的频数进行计算即可．
解：由题意得，，
故选：C．
【点评】本题考查频数分布直方图，从频数分布直方图中得出各组频数是解决问题的关键．
5．【考点】根据平行线的性质求角的度数、等腰三角形的性质和判定
【分析】本题考查了平行线的性质，等腰三角形的判定和性质，掌握平行线的性质及等腰三角形的判定和性质是解题的关键．
根据平行线的性质可得，则，可得，由此即可求解．
解：∵，
∴，
∵，
∴，则，
在中，，
∴，
故选：B ．
6．【考点】和差倍分问题(一元一次方程的应用)
【分析】本题是一元一次方程方程的应用题，首先根据题意找出题中存在的等量关系：三人一本时的图书的数量两人一本时的图书的数量，根据等量关系列出方程即可．
解：人一本时的图书数量为本，2人一本时的图书数量为，
根据其相等关系可以得到方程为：．
故选：A．
7．【考点】全等三角形的性质
【分析】此题主要考查了全等三角形的性质，正确得出对应角相等是解题关键．
根据全等三角形对应角相等得到，再根据角的和差关系代入数据计算即可．
解：∵，
∴，
∴．
故选：B．
8．【考点】三线合一、用勾股定理解三角形
【分析】本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质，熟练掌握相关考点是解题的关键．
作于点，根据等腰三角形的性质得到米，根据勾股定理求出米，再根据，逐项判断即可得到答案．
解：如图，作于点，
米，米，
米，
米，
，
米米，
故这根木头需要长度可能是米，
故选：C．
9．【考点】y=ax +bx+c的图象与性质、反比例函数、二次函数图象综合判断
【分析】先根据二次函数的图象开口向上和对称轴可知，由抛物线交的正半轴，可知，然后利用排除法即可得出正确答案．本题考查的是二次函数的图象与系数的关系，反比例函数及一次函数的性质，熟知以上知识是解答此题的关键．
解：二次函数的图象开口向上，
，
，
，
，
的图象必在二，四象限，
抛物线与轴相交于正半轴，
，
，
的图象经过一，二，四象限，
故A、B、C错误，D正确；
故选：D．
10．【考点】正多边形和圆的综合、解直角三角形的相关计算
【分析】此题主要考查了正多边形和圆，首先得出正六边形的边长，构建直角三角形，利用直角三角形的边角关系即可求出．正确掌握正六边形的性质是解题关键．
解：如图，点为正六边形外接圆的圆心。接，，作，得到，
，
，
圆内接正六边形的周长为，
，则，
．
正六边形的边心距是．
故选：D．
11．【考点】利用邻补角互补求角度、根据平行线的性质求角的度数
【分析】本题考查的是平行线的性质，邻补角的性质，先求解，再利用邻补角的性质可得答案；
解：∵，，
，
；
故答案为：
12．【考点】解一元一次方程（一）——合并同类项与移项、已知方程的解，求参数
【分析】本题考查了一元一次方程的解和解一元一次方程，正确计算是解题的关键．
将代入，解方程即可．
解：∵关于x的方程的解为，
∴，
解得：，
故答案为：12．
13．【考点】已知式子的值，求代数式的值
【分析】本题考查了代数式求值，整体代入是解题的关键．
根据题意可得，整体代入即可求解．
∵
∴
∴．
故答案为：．
14．【考点】利用平行四边形的性质求解
【分析】本题考查了平行四边形的性质，由平行四边形的性质得，，，即可求解；掌握平行四边形的性质是解题的关键．
解：如图，
四边形是平行四边形，
，
，
，
，
的周长为：
（），
故答案为：．
15．【考点】已知字母的值 ，求代数式的值、（x+p）（x+q）型多项式乘法
【分析】本题主要考查多项式乘以多项式和代数式求值，熟练掌握运算法则是解题的关键．
根据多项式乘多项式求出，然后根据题意得到，，然后代入求解即可．
解：，
∵等式恒成立，
∴，，
即，，
∴．
故答案为：．
16．【考点】反比例函数与几何综合
【分析】本题主要考查反比例函数与几何综合，作于点，设则得，代入，求出过点作直线轴，垂足为点，作于点，证明作轴于点得设，求出，设，求得，得，故可求出k的值．
解：作于点，
∵是等腰直角三角形，
∴，
设则，
∴，
∵点A在上，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
过点作直线轴，垂足为点，作于点，
∵，
∴，
∴，
又，
∴，
∴，
作轴于点，
∵点在上，
∴，
设，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∵且，
∴，
解得，，
∴，
设，
∴，
∴，
∴，
同理可得，
由①②得，
∴，
∴，
故答案为：．
17．【考点】解分式方程、在数轴上表示不等式的解集、求不等式组的解集
【分析】本题考查的是解一元一次不等式组，解分式方程，正确求出每一个不等式解集是基础，熟知“同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．需要注意的是：如果是表示大于或小于号的点要用空心圆圈，如果是表示大于等于或小于等于号的点要用实心圆点．
（1）先求出两个不等式的解集，得出不等式组的解集，然后在数轴上表示出来即可；
（2）先去分母变分式方程为整式方程，然后解整式方程，最后对方程的解进行检验即可．
解：（1），
由①解得：，
由②解得：，
所以，不等式组的解集为，
将解集在数轴上表示出来如下：
（2），
方程两边都乘以得，，
解得：，
检验：当时，，
所以是分式方程的解．
18．【考点】线段垂直平分线的性质、作垂线(尺规作图)、等腰三角形的性质和判定、用勾股定理解三角形
【分析】（1）作的垂直平分线，交于点D，点D即为所作；
（2）作，，垂足分别为和，先求得，利用等腰三角形的性质结合勾股定理求得，利用等积法求得，据此计算即可求解．
（1）解：如图，点D即为所作；
（2）解：作，，垂足分别为和，如图，
∵，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
即，
∴，
∴，
∴．
【点评】本题考查了尺规作图，等腰三角形的判定和性质，勾股定理，三角形的外角性质，正确引出辅助线解决问题是解题的关键．
19．【考点】写出直角坐标系中点的坐标、求一次函数解析式、其他问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查一次函数的运用，掌握代数系数法求解析式，一次函数求函数值的方法是解题的关键．
（1）方法一：以点C为原点，结合坐标与图形得到点坐标；方法二：以点E为原点，结合坐标与图形得到点坐标；方法三：以点B为原点，结合坐标与图形得到点坐标；
（2）方法一：以点C为原点，作点D关于y轴的对称点F，则点F的坐标为，可得直线的解析式为，当时，，即可求解；方法二：以点E为原点，作点D关于直线的对称点G，则，所以直线的解析式为，当时，，由此即可求解；方法三：以点B为原点，作点D关于直线的对称点M，则，所以直线的解析式为，当时，，由此即可求解．
（1）解：如图1，以点C为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时，．
方法二：
如图2，以点E为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时，．
方法三：
如图3，以点B为原点，所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，
此时，．
（2）解：方法一：作点D关于y轴的对称点F，由对称性可知：点F的坐标为，
由平面镜反射知识可知：，
∴点A，F，C在一条直线上，
设直线的解析式为，
∴，
解得，，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴旗杆高度为．
方法二：作点D关于直线的对称点G，由对称性可知：，
由平面镜反射知识可知：，
∴点A，G，C在一条直线上，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴旗杆高度为．
方法三：作点D关于直线的对称点M，由对称性可知：，
由平面镜反射知识可知：，
∴点A，M，C在一条直线上，
设直线的解析式为，
将点，代入得，
解得，
∴直线的解析式为，
当时，，
∴旗杆高度为．
20．【考点】二次根式的应用、用勾股定理解三角形、利用平行四边形的性质证明、斜边的中线等于斜边的一半
【分析】本题考查了平行四边形的性质、三角形全等的判定与性质、勾股定理、直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半等知识，熟练掌握平行四边形的性质是解题关键．
（1）先根据平行四边形的性质可得，，，从而可得，再根据全等三角形的判定即可得证；
（2）先根据直角三角形的斜边上的中线等于斜边的一半可得，利用勾股定理可得，再利用三角形的面积公式和中线的性质可得，然后根据全等三角形的性质可得，根据三角形的中线可得，最后根据四边形的面积等于即可得．
（1）证明：四边形是平行四边形，
，，．
，分别为边，的中点，
，．
．
在和中，
，
．
（2）解：，为边的中点，，
∴，，
∵，
∴，
∴，
由（1）已证：，
∴，
∵为边的中点，
∴，
∴四边形的面积为．
21．【考点】由样本所占百分比估计总体的数量、条形统计图和扇形统计图信息关联、列表法或树状图法求概率
【分析】此题考查了树状图法与列表法以及条形统计图和扇形统计图．用到的考点为：概率＝所求情况数与总情况数之比．
（1）由“了解很少”的人除以所占百分比即可；
（2）求得调查结果中“了解”的人数，利用样本估计总体的方法，即可求得答案；
（3）画出树状图，共有6种等可能的结果，恰好抽到女生A的结果有2种，再由概率公式即可得出结果．
（1）解：∵“了解很少”的有人，占，
∴接受问卷调查的学生共有：（人），
故答案为：60；
（2）解：调查结果中“了解”的人数为：（人）；
估计该中学学生中对校园安全知识达到“了解”和“基本了解”程度的总人数为（人），
故答案为：200；
（3）解：画树状图如图：
共有6种等可能的结果，恰好抽到女生A的结果有2种，
∴恰好抽到女生A的概率为．
22．【考点】一元二次方程的根与系数的关系、根据一元二次方程根的情况求参数、y=ax +bx+c的图象与性质
【分析】本题考查了一元二次方程根与系数的关系，根的判别式，二次函数的性质，掌握二次函数的性质是解题的关键．
（1）根据一元二次方程根与系数的关系，求出的值；
（2）根据一元二次方程根与系数的关系，求出另两边的长之和，从而求出等腰三角形△的周长；
（3）分两种情况进行讨论即可．
（1）解：，是关于的一元二次方程的两根，
，
，
；
（2）解：另两边的长是关于的一元二次方程的两根，
另两边的长之和，
周长；
（3）解：①当底边为6时，则关于的一元二次方程的两根相等，
，
，
，
顶点坐标为；
②当腰长为6时，则关于的一元二次方程的一根为6，
当时，可得，
，
，
顶点坐标为；
综上所述：顶点坐标为或．
23．【考点】用勾股定理解三角形、利用勾股定理证明线段平方关系、根据正方形的性质证明
【分析】本题考查正方形的性质、勾股定理、垂美四边形的定义等知识．
（1）根据垂美四边形的定义即可判断；
（2）结论：．利用勾股定理即可证明；
（3）连接，，只要证明四边形是垂美四边形，利用（2）中结论即可解决问题．
解：（1）∵菱形、正方形的对角线垂直，
∴菱形、正方形都是垂美四边形，
故答案为：菱形，正方形；
（2）猜想：．理由如下：
∵四边形是垂美四边形，
∴，
∴，
由勾股定理，得，
，
∴；
（3）连接，，如图：
∵，
∴，即，
在和中，，，，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴四边形是垂美四边形，
由（2）可知，
∵，，
∴由勾股定理，得，，，
∴．
24．【考点】一次函数图象平移问题、待定系数法求二次函数解析式、矩形性质理解、面积问题(二次函数综合)
【分析】（1）将点和代入抛物线，利用待定系数法求解即可；
（2）①将抛物线化为顶点式，可得到顶点坐标；连接抛物线和直线，得到，分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，根据轴对称的性质，得到，从而的得到，即可求出矩形的面积；
②作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，求出，再根据平行设直线的解析式为，根据边与心形图的左、右边缘各相切于一点，利用，求出，进而得出，求出，从而得到，同理可求，，即可求出矩形的面积，再比较大小即可．
（1）解：将点和代入抛物线，
则，解得：，
抛物线的解析式为；
（2）解：①，
顶点C的坐标为；
抛物线经过点，且与一次函数的图象交于点A和点，
联立，解得：或（舍），
，
分别过点、作轴、轴的平行线相交于点，
当时，，则，
，
，
点D与点C关于直线对称，
，
，
，，
矩形的面积；
②如图，作直线分别交、于点、，令直线与的交点为，则，
由①可知，
，
由题意可知，，
则，
直线的解析式为，
直线的解析式为，
边与心形图的左、右边缘各相切于一点，
即直线与抛物线只有一个交点，
联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
联立，解得：，
，
，
，
，，
，
设直线的解析式为，
边与心形图的左边缘相切，即直线与抛物线只有一个交点，联立，
整理得：，
，
解得：，
直线的解析式为，
同理可求，
，
矩形的面积为，
，
方案二的矩形面积更小．
【点评】本题考查了二次函数的图象和性质，轴对称的性质，一次函数的图象和性质以及一次函数的平移，二次函数与一元二次方程的关系，勾股定理，矩形的性质等知识，掌握二次函数的性质是解题关键．
25．【考点】含30度角的直角三角形、利用平行四边形的判定与性质求解、切线的性质定理、相似三角形的判定与性质综合
【分析】（1）由平行四边形的性质得，由平行线的性质得，由切线的定义得，再根据含30度角的直角三角形的性质可解；
（2）分和两种情况，画出图形，根据对应边成比例列方程，即可求解；
（3）过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，先证，推出，再证四边形是平行四边形，得出，由含30度角的直角三角形的性质得出，代入得出，由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值．
（1）解： 四边形是平行四边形，
，
，
与直线相切于点，
，即，
在中，，
的半径为1；
（2）解：由题意知，为的直径，
，
在中，，
由勾股定理，
①当时，如图，
，即，
；
②当时，如图，
，即，
，
综上，的长为或．
（3）解：存在，理由如下
过点作，交的延长线于点，交的延长线于点，过点作，交于点，如图，
，
，
，
，
，
，
，
又，
四边形是平行四边形，
，
在中，
，
，
，
由点运动轨迹可知，当为直径时，最大，取得最大值，
此时，点与点重合，是的切线，
故．
【点评】本题考查切线的性质，平行四边形的判定和性质，勾股定理，相似三角形的判定和性质，含30度角的直角三角形的性质等，解第二问的关键是注意分情况讨论，解第三问的关键是得出取得最大值时点Q的位置．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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