2024-2025学年湖南省长沙市芙蓉高级中学高一下学期期中考试
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，则( )
A. B. C. D.
2.若是平面内的一个基底，则下列四组向量中可以作为平面向量基底的是( )
A. B.
C. D.
3.已知向量，，则( )
A. B. C. D.
4.已知为虚数单位，若是纯虚数，则实数( )
A. B. C. D.
5.若向量满足，则在上的投影向量是( )
A. B. C. D.
6.在中，，，则的值为( )
A. B. C. D.
7.如图，在中，为中点，在线段上，且，则( )
A. B. C. D.
8.在中，内角的对边分别为，若，则的形状为( )
A. 等腰三角形 B. 直角三角形
C. 等腰直角三角形 D. 直角三角形或等腰三角形
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.多选下列说法正确的是( )
A. 加速度是向量
B. 两个有共同起点，且长度相等的向量，它们的终点相同
C. 零向量的方向是任意的
D. 向量就是有向线段
10.已知复数，以下说法正确的是( )
A. 的实部是 B.
C. D. 在复平面内对应的点在第一象限
11.已知的内角，，的对边分别为，，，则下列说法正确的是 ．
A. 若，则
B. 若，则为锐角三角形
C. 若，则为等腰三角形
D. 若，，这样的三角形有两解，则的取值范围为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.的值为 ．
13.设复数的共轭复数是，若复数，，且是实数，则实数等于 ．
14.高铁是我国国家名片之一，高铁的修建凝聚着中国人的智慧与汗水如图所示，为山的两侧共线的三点，且与山脚处于同一水平线上，在山顶处测得三点的俯角分别为，计划沿直线开通穿山遂道，现已测得三条线段的长度分别为，则隧道的长度为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知，计算：
；
．
16.本小题分
设，，向量，，，且，．
求；
求向量与夹角的余弦值．
17.本小题分
在中，，，线段交于点，且，求的值．
18.本小题分
的内角，，的对边分别为，，，已知．
求；
若，的面积为，求，的值．
19.本小题分
的内角的对边分别为，已知．
求；
若为锐角三角形，，求的取值范围．
参考答案
1.
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14.
15.【详解】；
．
16.【详解】向量，，，且，，
可得且，解得，，
即，，则，
则；
因为，，
所以，，
设向量与夹角为，
则，
即向量与夹角余弦值为．
17.【详解】三点共线，设，，
即，
即，，
又，所以，
三点共线，设，，
即，
即，，
又，所以，
所以，解得
故，．
18.【详解】由正弦定理及．
得，
即，
即，
因为，所以，
所以，所以．
由题意得的面积，所以
又，且，所以
由得．
19.【详解】因为，由正弦定理得，
故，
在中，，，所以，，则，
可得，所以，所以．
由正弦定理可得为外接圆的半径，
所以，，
因为，则，，
所以，
因为为锐角三角形，则，解得，
则，，故．
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