2024-2025 学年北京市怀柔一中高一（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 10 小题，每小题 4 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求
的。
1.与 160°角终边相同的角是( )
A. 160° B. 260° C. 460° D. 560°
2.如图，终边在阴影部分(含边界)的角的集合是( )
A. { | 60° ≤ ≤ 135°}
B. { |135° ≤ ≤ 300°}
C. { | 60° + 360° ≤ ≤ 135° + 360°, ∈ }
D. { |135° + 360° ≤ ≤ 300° + 360°, ∈ }
3.下列说法中正确的个数是( )
①终边相同的角一定相等；
②钝角一定是第二象限角；
③第一象限角可能是负角；
④小于 90°的角都是锐角．
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
4.若角 的顶点为坐标原点，始边在 轴正半轴上， < 0 且 > 0，则 的终边在( )
A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限
5 .已知函数 ( ) = ，则“ = 6”是“ ( ) =
1
2”的( )
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
6.已知 = 23，且 是第三象限角，则 =( )
A. 23 B.
2 5 5
3 C. 3 D. 3
7.把函数 = 3 图象上的所有点( )可得到函数 = sin(3 4 )的图象．
A. 向左平移4个单位 B.向右平移4个单位 C.向左平移12个单位 D.向右平移12个单位
8.已知 cos( ) = 33 5，则 sin( +
6 ) =( )
第 1页，共 9页
A. ± 4 B. 45 5 C.
4 3
5 D. 5
9.设 = ， = 1， = 1，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
10.如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒
针尖位置 ( , ).若初始位置为 0(
3
2 ,
1 )，当秒针从 0 (注此时 = 0)正常2
开始走时，那么点 的纵坐标 与时间 的函数关系为( )
A. = sin( 30 + 6 )
B. = sin( 60
6 )
C. = sin( 30 + 6 )
D. = sin( 30 3 )
二、填空题：本题共 5 小题，每小题 5 分，共 25 分。
11.将 240°化为弧度为______．
12.函数 = 的定义域为______．
13.sin(2 + ) ≥ 16 2的解集为______．
14.直线 = 与函数 = 的图像的相邻两个交点的距离是______．
15.设计一段宽 30 的公路弯道，弯道内沿和外沿分别为共圆心的两个
圆上的一段弧，弯道中心线到圆心的距离为 45 (如图)，中心线到弯道
内沿和外沿的距离相等，公路外沿弧长为 40 ，则这段公路的占地面
积为______. (单位： 2)
三、解答题：本题共 6 小题，共 85 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
16.(本小题 13 分)
已知角 的终边上有一点 的坐标是(3,4)．
(1)求 ， ， 的值；
tan( ) sin( ) sin(
(2)求 2
)
cos( + ) 的值．
17.(本小题 14 分)
(1) 23 23 13 化简：sin( 6 ) + cos 7 2024 cos 3 ；
第 2页，共 9页
(2) 1+2 +1求证： sin2 cos2 = tan 1．
18.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象，如图所示．
(1)求函数 ( )的解析式；
(2) 当 ∈ [0, 3 ]时，求其值域．
19.(本小题 13 分)
某同学用“五点法”画函数 ( ) = ( + )( > 0, | | < 2 )在某一个周期内的图象时，列表并填入了
部分数据，如表：
+ 0 3 2 2 2
3
5
6
( + ) 0 3 0 3 0
(1)求出实数 ， ， 和函数 ( )的解析式；
(2) = ( )在 ∈ [0, ]上有一个零点，求 的取值范围．
20.(本小题 15 分)
已知函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )，且 ( )图象的相邻两条对称轴之间的距离为2，再从
条件①、条件②、条件③中选择两个作为一组已知条件．
条件①： ( )的最小值为 2；
条件②： ( ) 5 图象的一个对称中心为( 12 , 0)；
5
条件③； ( )的图象经过点( 6 , 1)．
(1)确定 ( )的解析式；
第 3页，共 9页
(2) ( ) 2 将 纵坐标不变横坐标变为原来的 倍，再将图象向右平移6个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来
1
的2，就得到了 ( )的图象，令 ( ) =
2( ) + 1，求 ( )的最值及取得最值时 的值．
21.(本小题 15 分)
若函数 = ( ) 3 满足 ( ) = ( + 2 ) (
且 4 + ) = (
4 )( ∈ )，则称函数 = ( )为“ 函数”．
(1) 4试判断 = sin 3 是否为“ 函数”，并说明理由；
(2)函数 ( )为“ 函数”，其在 ∈ [ 3 32 , 4 ]的图象落在一次函数 = 4 8 上(直线)，在函数 ( )图象
上任取一点 ，对于定点 (2024 , 0)，求线段 的最小值．
| + + |
参考公式：点 ( , )到直线 + + = 0( ≠ 0)的距离 = ．
2+ 2
第 4页，共 9页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11. 4 3
12.[ 2 + 2 ,
3
2 + 2 ], ∈
13.{ | ≤ ≤ 3 + , ∈ }
14.
15.900
16.解：(1)根据题意可知，角 的终边上有一点 的坐标是(3,4)，
∴点 到原点的距离 = 32 + 42 = 5，
∴ = 4 3 = 5 , = = 5 , =
4
= 3；
(2) = 原式 cos = =
4 × 4 163 5 = 15．
17. (1)sin( 23 ) + cos 23 解： 6 7 2024 cos
13
3
= sin 6 + 0 cos 3
1 1
= 2 + 0 2
= 0；
(2) = ( + )
2 + +1
证明：左边 (sin +cos )(sin cos ) = sin cos = tan 1 =右边，得证．
18.解：(1)根据函数 ( ) = ( + )( > 0, > 0, | | < 2 )的部分图象，
第 5页，共 9页
= 3 1 2 = 5 = 可得 ，2 6 3 2，
所以 = 2，
再根据五点法作图可得，2 × 3 + = ，
所以 = 3，
故 ( ) = 3sin(2 + 3 )；
(2) ∈ [0, 当 3 ]时，可得 2 +
3 ∈ [
3 , ]，
所以 sin(2 + 3 ) ∈ [0,1]，
可得 ( ) = 3sin(2 + 3 ) ∈ [0, 3]，
所以函数 ( )在的值域为[0, 3].
19. (1) ( ) 1解： 设 的周期为 ，则2 =
5 6 3 =
2
2，故 = = ，解得 = 2，
由“五点法”可得3 × 2 + = 2，解得 = 6，又 = 3，
∴ ( ) = 3 (2 6 )，分别令 2
6 = 0，
7 13
，2 ，解得 = 12，12， 12 ，
7 13
即 = 12， = 12， = 12 ；
(2) ∈ [0, ] 2 6 ∈ [ 6 , 2 6 ]，
∵ = ( ) = 3 (2 6 )在 ∈ [0, ]上有一个零点，
∴ 6 < 2
6 < ，
解得 0 < < 7 12．
7
即 的取值范围为(0, 12 ).
20. 解：(1)由于函数 ( )图象上两相邻对称轴之间的距离为2，
2
所以 ( )的最小正周期 = 2 × 2 = ， = = 2．
此时 ( ) = (2 + )．
选条件①②：
因为 ( )的最小值为 ，所以 = 2．
第 6页，共 9页
( ) ( 5 因为 图象的一个对称中心为 12 , 0 )，
所以 2 × 5 12 + = ( ∈ )，
= 5 所以 6，( ∈ )，
因为| | < 2，所以 = 6，此时 = 1，
所以 ( ) = 2 (2 + 6 ).
选条件①③：
因为 ( )的最小值为 ，所以 = 2．
( ) 5 因为函数 的图象过点( 6 , 1)，
则 ( 5 6 ) = 1
5
，即 2 ( 3 + ) = 1，sin(
5 1
3 + ) = 2．
| | < 7 5 13 因为 2，所以 6 < + 3 < 6 ，
所以 + 5 3 =
11
6 ， = 6，
所以 ( ) = 2 (2 + 6 ).
选条件②③：
因为函数 ( ) ( 5 的一个对称中心为 12 , 0 )，
5
所以 2 × 12 + = ( ∈ )，
所以 = 5 6 ( ∈ )．
| | < 因为 2，所以 = 6，此时 = 1．
所以 ( ) = (2 + 6 ).
因为函数 ( ) 5 的图象过点( 6 , 1 )，
所以 ( 5 6 ) = 1，即 (
5 + 3 6 ) = 1，
11
6 = 1，
所以 = 2，
所以 ( ) = 2 (2 + 6 ).
(2) ( ) 将 纵坐标不变横坐标变为原来的 2 倍，再将图象向右平移6个单位，然后横坐标不变纵坐标变为原来
第 7页，共 9页
1
的2，就得到了 ( ) = 的图象，
可得 ( ) = 2( ) + 1 = sin2 + 1 = 9 ( + 14 2 )
2，
1 2 4 9
可得当 = 2，即 = 2 + 3，或 = 2 + 3， ∈ 时， ( )取得最大值4．
当 = 1，即 = 2 ， ∈ 时， ( )取得最小值 0．
21.解：(1) = sin 4 2 3 3 的周期为 = 4 = 2，
3
满足 ( ) = ( + 3 2 )，
( 又因为 4 + ) = sin[
4 ( 3 4 + )] = sin(
+ 4 3 3 )，
( 4 ) = sin
4
3 ( 4 ) = sin( 3
4
3 )，
( 所以 4 + ) ≠ (
4 )，
所以函数 = sin 43 不是“ 函数”；
(2) 3 若 ( )为“ 函数”，满足 ( ) = ( + 2 )且 ( 4 + ) = ( 4 )( ∈ )，
3
所以函数的周期为 2，且函数关于 = 4对称，
3 3
又因为 ∈ [ 2 , 4 ]，函数 ( )的图象落在直线在一次函数 = 4 8 上(直线)，
利用对称性和周期性，画出函数 ( )的图象，如图所示：
设 ∈ [ 4 , ]
，则2 ∈ [
, 2 4 ]，
所以 ( ) = ( 2 ) =
3 ( ) 3 = 3 4 2 8 4 +
3
4，
1
根据周期可知， ∈ [2023 , 2024 2 ]的图象，如上图所示，
线段 的最小值就是如图点 到直线的距离，
3 3
根据周期转化为( 2 , 0)到直线 = 4 + 4的距离，
3 3
即 = | 2 3 5 | = 10，
第 8页，共 9页
所以 3 的最小值为10．
第 9页，共 9页
