机密★启用前
2025 年 广 东 省 广 州 市 中 考 模 拟 卷
数 学
说明：1 ．答题前，请将姓名、准考证号和学校用黑色字迹的钢笔或签字笔填写在答题卡定 的位置上，并将条形码粘贴好。
2 ．全卷共 6 页。
3 ．作答选择题 1－8，选出每题答案后，用 2B 铅笔把答题卡上对应题目答案标号的 信息点框涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。作答非选择题 9 -
20 ，用黑色字迹的钢笔或签字笔将答案(含作辅助线)写在答题卡指定区域内。写在 本试卷或草稿纸上，其答案一律无效。
4 ．考试结束后，请将答题卡交回。
一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．）
1．在有理数，，0，2中，最小的是（ ）
A． B． C．0 D．2
2． 图所示图案是历届冬奥会会徽，其中是中心对称图形的是（ ）
A． B． C． D．
3．下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．下列等式一定成立的是( )
A． B．
C． D．
5．如图所示是某校举行学生“环保知识”竞赛成绩的频数分布直方图（每一组含前一个边界值，不含后一个边界值），其中成绩在80分以下的学生有（ ）人．
A．140 B．120 C．70 D．60
6． 古书中有一道题，原文是：今有四人共车，三车空；三人共车，九人步，问人与车共几何？译文是：今有若干人乘车，每4人共乘一辆车，剩下三辆车；若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘，问共有多少人，多少辆车？设共有人，可列方程（ ）
A． B． C． D．
7． 如图为6个边长相等的正方形的组合图形，则∠1+∠2+∠3＝（ ）
A．90° B．120° C．135° D．150°
8．对于反比例函数，下列说法正确的是（ ）
A．图象分布在第一、三象限
B．图象经过点
C．过图象上任一点P分别作两坐标轴的垂线，垂线与两坐标轴围成的矩形面积为1
D．若点，都在图象上，且，则
9．如图，中，弦的长为，点在上，，．所在的平面内有一点，若，则点与的位置关系是（ ）
A．点在上 B．点在内 C．点在外 D．无法确定
10．如图 ， 已知点 为圆锥母线 的中点， 为底面圆的直径， ， ， 一只蚂蚁沿着圆锥的侧面从 点爬到 点， 则蚂蚁爬行的最短路程为（ ）
A．5 B． C． D．
二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）
11．如图，，交于点E，若，则 ．
12．若m是方程x2+x﹣1＝0的一个根，则代数式2023﹣m2﹣m的值为 ．
13．如图，平面直角坐标系中，平行四边形的顶点A、B、D在坐标轴上，若点A的坐标为，，，则点C的坐标为 ．
14．若，则的值为 ．
15．一个数的立方根恰好等于这个数的算术平方根的一半，那么这个数是 .
16．如图，在平面直角坐标系中，矩形的顶点，分别在轴，轴的正半轴上，点，是的两个三等分点，过点，作轴的平行线分别交于点，，反比例函数的图象经过点，分别交，于点，，分别过点，，作轴的垂线，垂足分别为，，图中阴影部分的面积分别为，，．
（1）若点的坐标为，则 ．
（2）若，则点的坐标为 ．
三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）
17．解分式方程：．
18．如图所示，在正方形ABCD中，点M是对角线BD上的一点，过点M作ME∥CD交BC于点E，作MF∥BC交CD于点F.求证AM＝EF.
19．
（1）【尝试】如图，把一个等腰直角沿斜边上的中线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形，如示意图1．（以下有画图要求的，工具不限，不必写画法和证明）
①猜一猜：四边形一定是 ；
②试一试：按上述的裁剪方法，请你拼一个与图1不同的四边形，并在图2中画出示意图．
（2）【探究】在等腰直角中，请你沿一条中位线（裁剪线）剪一刀，把分割成的两部分拼成一个四边形．
①想一想：你能拼得四边形分别是 （写出两种即可）；
②画一画：请分别在图3，图4中画出你拼得的这两个四边形的示意图．
20．已知关于x的一元二次方程.
（1）求证：无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）如果方程的两个实数根为，，且，求m的值.
21．(本题12分)为了让同学们了解自己的体育水平，初二1班的体育老师对全班45 名学生进行了一次体育模拟测试(得分均为整数)，成绩满分为10分，1班的体育委员根据这次测试成绩，制作了统计图和分析表如下：
平均分 方差 中位数 众数
男生 7.9 1.99 8 7
女生 7.92 1.9936 8 8
初二1班体育模拟测试成绩分析
根据以上信息，解答下列问题：
（1）这个班共有男生 人，共有女生 人.
（2）你认为在这次体育测试中，1班的男生队、女生队哪个表现更突出一些 并说明理由.(至少从两个不同的角度说明推断的合理性)
（3）若1班恰有3名女生和1名男生在体育测试中表现优异，预计从这4名学生中随机选取2名学生参加区运动会，请用列表法或画树状图法求选出的2名学生恰好为一男一女的概率.
22．如图，某学校体育场看台的顶端到地面的垂直距离CD为2m，看台所在斜坡CM的坡比，在点处测得旗杆顶点的仰角为，在点处测得旗杆顶点的仰角为，且B，M，D三点在同一水平线上，求旗杆AB的高度．(结果精确到0.1 ，参考数据：0.1m，参考数据：)
23．某商店购进一种商品，每件商品进价20元，规定该商品的售价不低于进价，且不高于进价的两倍.试销中发现这种商品每天的销售量，（件）与每件销售价x（元）的关系数据如下：
x 300 32 34 36
y 40 36 32 28
（1）已知y与x满足一次函数关系，根据上表，求出了与x之间的关系式；
（2）设该商店每天销售这种商品所获利润为w（元），求出每件商品销售价定为多少元时利润最大，并求出最大利润
24． 如图1，菱形ABCD的边长为12cm，∠B＝60°，M，N分别在边AB，CD．上，AM＝3cm，DN＝4cm，点P从点M出发，沿折线MB﹣BC以1cm/s的速度向点C匀速运动（不与点C重合）；△APC的外接圆⊙O与CD相交于点E，连接PE交AC于点F．设点P的运动时间为ts．
（1）∠APE＝ °；
（2）若⊙O与AD相切，
①判断⊙O与CD的位置关系；
②求的长；
（3）如图3，当点P在BC上运动时，求CF的最大值，并判断此时PE与AC的位置关系；
（4）若点N在⊙O的内部，直接写出t的取值范围．
25．在平面直角坐标系中，抛物线与x轴交于A，B两点（点A在点B的左侧），直线与抛物线交于C，D两点（点D在第一象限）．
（1）如图，当点C与点A重合时，求抛物线的函数表达式；
（2）在（1）的条件下，连接，点E在抛物线上，若，求出点E的坐标；
（3）将抛物线L向上平移1个单位得到抛物线，抛物线的顶点为P，直线与抛物线交于M，N两点，连接，若，求a的值．
答案解析部分
1．B
解：∵，
∴最小的是，
故答案为：B．
根据有理数大小比较的方法：正数负数，负数绝对值大的反而小，进行得到答案．
2．A
解：由题意得是中心对称图形，其余均不是中心对称图形，
故答案为：A
根据中心对称图形的定义（绕某一点旋转180°，旋转后的图形能与原图形重合，那么这个图形是中心对称图形）对选项逐一分析即可求解。
3．D
4．B
解：A、∵，∴A不正确；
B、∵，∴B正确；
C、∵，∴C不正确；
D、∵，∴D不正确；
故答案为：B.
利用分式的基本性质逐项分析判断即可.
5．D
6．B
解：设共有人，由题意得，
故答案为：B
设共有人，根据“每4人共乘一辆车，剩下三辆车；若每3人共乘一辆车，剩下9个人无车可乘”即可列出一元一次方程，进而即可求解。
7．C
解：如图，AC=BE，BC=DE，∠ACB=∠E=90°，∠2=45°，
∴△ACB≌△BED（SAS），
∴∠3=∠ABC，
∴ ∠1+∠3＝∠ABC+ ∠1=90°，
∴ ∠1+∠2+∠3＝90°+45°=135°.
故答案为：C.
证明△ACB≌△BED（SAS），可得∠3=∠ABC，从而求出∠1+∠3＝∠ABC+ ∠1=90°，由图形可知∠2=45°，从而求解.
8．C
9．C
10．B
解：如图
设圆锥侧面展开图的扇形的圆心角为n°，
∵AB=4，SB=6，
∴，解得n=120.
则∠ASB=60°，
∵SA=SB，
∴△ABS为等边三角形.
∵C为SB的中点，
∴AC⊥SB，SC=3.
∴AC=SC=3.
故答案为：B.
先求出整个圆锥的侧面展开图的扇形的圆心角，再求得∠ASB=60°，从而可根据含有60度角的等腰三角形是等边三角形，可得△ABS为等边三角形，再利用等腰三角形三线合一，借助含有30度角的直角三角形的性质求出AC.
11．
解：∵，，
，
；
故答案为：.
由两直线平行，同位角相等得∠DEF=∠A=42°，再利用邻补角的性质可得答案.
12．2022
解：m为方程的根，则有m2+m-1=0，即有m2+m=1， 2023﹣m2﹣m = 2023﹣(m2+m )=2023-1=2022
故答案为：2022.
将方程的根代入方程即可得m2+m=1，即可整体代入求值.
13．
14．
15．0或64
解：设这个数为x，
则
，
∴或x-64=0，
即或
故答案为：0或64
设这个数为x，根据题意得到进而根据六次方得到，则再化简得到或x-64=0，从而根据题意开平方和解一元一次方程即可求解。
16．8；
解：（1）∵点Q的坐标为，
∴，解得：；
故答案为：8；
（2）∵，且点，是的两个三等分点，
∴，
∴点Q的纵坐标为6，点P的纵坐标为4，点G的纵坐标为2，
∵点Q，P，G均在反比例函数的图象上，
∴点Q的坐标为，点P的坐标为，点G的坐标为，
∴，
∵，
∴，解得：，
∴点G的坐标为；
故答案为：；
（1）根据待定系数法将点代入解析式，即可求出答案.
（2）根据题意可得，从而得到点Q的坐标为，点P的坐标为，点G的坐标为，进而得到，即可求出答案.
17．
18．证明：过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，
∵四边形ABCD是正方形，
∴四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，
∴AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，
∵在△APM和△FME中，
，
∴△APM≌△FME（SAS），
∴AM=EF．
过M点作MQ⊥AD，垂足为Q，作MP⊥AB，垂足为P，由题意可得四边形MFDQ和四边形PBEM是正方形，四边形APMQ是矩形，则AP=QM=DF=MF，PM=PB=ME，再根据全等三角形判定定理可得△APM≌△FME（SAS），则AM=EF，即可求出答案.
19．（1）解：①平行四边形 ②如图2，将绕顺时针旋转至，则四边形是正方形；
（2）解：①平行四边形，矩形 ②如图3，为的中位线，拼四边形，由题意知，四边形是矩形； 如图4，为的中位线，拼四边形，由题意知，四边形是平行四边形；
解：（1）①由题意得∠DCB=∠A1=45°，∠A1BC=45°+90°=∠A1CD，
∴四边形一定是平行四边形，
故答案为：平行四边形
（1）①根据平行四边形的判定结合题意即可求解；②根据旋转的性质结合正方形的判定即可求解；
（2）根据矩形的判定结合三角形中位线定理即可求解。
20．（1）证明：，
无论m取何值，，恒成立，
无论m取何值，方程都有两个不相等的实数根；
（2）解：，是方程的两个实数根，
，，
∵，
∴
解得：或.
（1）此题就是证明根的判别式△=b2-4ac一定大于零即可；
（2）由一元二次方程根与系数关系可得，，进而将已知等式利用配方法变形为，最后整体代入可得关于字母m的方程，求解可得m的值.
21．（1）20；25
（2）解：我认为女生队表现更突出，理由如下：
女生队的平均数较高，表示女生队测试成绩较好；
女生队的众数较高，女生队的众数为8，中位数也为8，而男生队众数为7低于中位数8，表示女生队的测试成绩高分较多；
（3）解：根据题意画树状图如下
共有 12种等可能的结果，恰好为一名男生、一名女生的有6种，
∴恰好为一名男生、一名女生的概率是
22．解：过点作于点，
设
已知四边形CDBE是矩形，
在Rt中，
解得：，
过点作于点，先根据正切函数结合题意即可得到MD，设则，再根据含30°角的直角三角形的性质得到，进而根据矩形的性质得到则，从而根据正切函数特殊角的三角函数值即可求出x，再结合已知条件即可求解。
23．（1）解：设该函数的表达式为 根据题意得：
，解得
∴y与x之间的关系式为
（2）解：
根据题意，得
∴当 时， w的值最大， 为450元，
∴当销售单价为35元时，获得利润最大.最大利润为450元.
(1)待定系数法求解一次函数解析式即可；
(2)根据题意得 计算求出满足要求的解即可.
24．（1）60
（2）如图，当点P运动到点时，与AD相切，
①∵四边形ABCD为菱形，
与AD相切，
与CD相切；
②连接OD，
由(1)可知，∠ADC=60°，
分别与相切，
，
，
弧APC的长
（3）由图可知：，
为等边三角形，
则，
要使CF取得最大值
则AF应该取最小值，
当时，AF最小，此时CF取得最大值，
点为外接圆圆心，
，
综上：CF的最大值为3cm，此时
（4）①当点在AB上时，
四边形APCE为圆的内接四边形，
在和中，，
当点与点重合时，，
当时，点在圆内部；
②当点在BC上运动时，
为等边三角形，
在和中，，
当点与点重合时，，
此时，
当点到达点时，，
当时，点在圆内部；
综上：当时或时，点在圆内部
25．（1）解：令，则，
解得，，
∴，，
将代入，解得，
∴，
∴抛物线的函数表达式为；
（2）解：联立，解得， ，
∴，，
设直线的函数表达式为，
将 坐标代入得，，解得，
∴直线的函数表达式为：，
①当直线时，可以得到，
设直线的表达式为，
将，代入得：，解得，
∴直线的表达式为，
联立，解得，，
∴；
②如图1，过点D作轴于点F，则，，
∴，
如图，记，连接，则，
∴，
∴，
∴直线与抛物线的交点即为点E，
设直线的函数关系式为，
将代入得，，解得，
∴直线的函数关系式为，
联立，解得，，
∴；
综上所述，，；
（3）解：由题意得，抛物线，直线，
设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为，，
联立，得：，
∴，，，，P点坐标为，
如图2，过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，
∴，
∵，，，
∴，
∴，
∴，
∴，
不妨设，则；即，
将，，；，，代入整理得，
解得，（不合题意，舍去），
∴．
（1）令抛物线解析式中的y=0，求出x的值，可得点A、B的坐标，然后将点A的坐标代入y=ax+1中求出a的值，据此可得抛物线的解析式；
（2）联立抛物线与一次函数解析式求出x、y的值，可得点A、D的坐标，利用待定系数法求出直线BD的解析式，①当直线AE∥BD时，设直线AE的表达式为y=5x+m，将点A坐标代入求出m的值，得到直线AE的解析式，联立抛物线解析式，求出x、y，可得点E的坐标；②过点D作DF⊥x轴于点F，则DF=AF=5，根据三角函数的概念求出tan∠BDF的值，得到∠ADF=∠DAF=45°，记G（4，1），连接AG，求出tan∠GAF的值，推出∠GAD=∠ADB，则直线AG与抛物线的交点即为点E，求出直线AG的解析式，联立抛物线解析式，求出x、y，据此可得点E的坐标；
（3）由题意得抛物线L1：y=ax2-2ax-3a+1，直线y=ax+1，设抛物线与直线两个交点M，N的坐标分别为M（x1，y1），N（x2，y2），联立并根据根与系数的关系可得x1+x2=3，x1x2=-3，y1+y2=3a+2，y1y2=-3a2+3a+1，P（1，1-4a），过点M，N分别作过点P的水平线的垂线，垂足分别为G，H，利用两角对应相等的两个三角形相似可得△MPG∽△PNH，由相似三角形的性质可得MG·NH=PG·PH，不妨设m=1-4a，则(y1-m)(y2-m)=(1-x1)(x2-1)，即y1y2-m(y1+y2)+m2=-x1x2+(x1+x2)-1，代入求解可得a的值.
