2025届高三沧州市模拟考试
数学
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.复数在复平面内对应的点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
2.若等差数列满足，则下列说法一定正确的是( )
A. B. C. D.
3.在中，“”是“”成立的( )
A. 充分而不必要条件 B. 必要而不充分条件
C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件
4.在中，点在边上，记，，则( )
A. B. C. D.
5.已知圆台上下底面积分别为，，母线长为，则该圆台的体积为( )
A. B. C. D.
6.设一组样本数据的方差为，则数据的方差为( )
A. B. C. D.
7.已知菱形，，将沿对角线折起，使以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大，则异面直线与所成角的余弦值为( )
A. B. C. D.
8.在平面直角坐标系中，已知，，动点满足，且，则下列说法正确的是( )
A. 点的轨迹为圆 B. 点到原点最短距离为
C. 点的轨迹是一个正方形 D. 点的轨迹所围成的图形面积为
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列化简正确的是( )
A. B.
C. D.
10.如图，直线过的重心三条中线的交点，且与边，交于点，且，直线将分成两部分分别为和四边形，其对应的面积依次记为和，则以下结论正确的是( )
A. B.
C. 的最大值为 D. 的最大值为
11.已知抛物线：与圆：交于，两点，且，直线过的焦点，且与交于，两点，则下列说法中正确的是( )
A. 若直线的斜率为，则
B. 的最小值为
C. 若以为直径的圆与轴的公共点为，则点的横坐标为
D. 若点，则周长的最小值为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知幂函数经过点，则的值是 ．
13.九章算术第五卷中涉及一种几何体羡除，它下广六尺，上广一丈，深三尺，末广八尺，无深，袤七尺．该羡除是一个多面体，如图，四边形，均为等腰梯形，，平面平面，梯形和梯形的高分别为，，且，，，则 ．
14.如图所示，已知，为双曲线上关于原点对称的两点，点与点关于轴对称，，直线交双曲线右支于点，若，则 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.分等比数列中，已知，．
求数列的通项公式；
若，分别为等差数列的第项和第项，试求数列的通项公式及前项和．
16.分如图，在三棱柱中，四边形是边长为的正方形，平面平面，，．
Ⅰ求证：平面；
Ⅱ求二面角的余弦值；
17.分在中，C.
求
，且的面积为，求的周长．
18.分如图，长方体的底面是正方形，点在棱上，．
证明：平面；
若，求二面角的正弦值．
19.分已知点，点是圆：上任意一点，线段的垂直平分线与半径的交点为，记点的轨迹是曲线，设经过点的直线与曲线的交点为，．
Ⅰ求曲线的方程；
Ⅱ求的取值范围；
Ⅲ已知点，若直线与直线的斜率分别为，，求的值．
答案
1.2. 3. 4.5. 6.
7.
解：当以，，，四点为顶点的三棱锥体积最大时，平面平面，
作，所以平面，
以为坐标原点，建立空间直角坐标系，设，
则，，，，
所以
设，的夹角为，
．
8.
解：设点坐标为，由已知条件，可得，
又因为，所以点坐标对应轨迹方程为，
，且时，方程为；
，且时，方程为；
，且时，方程为；
，且时，方程为．
点对应的轨迹如图所示：，
所以点的轨迹为菱形，，C错误；
原点到直线的距离为：，所以不正确．
轨迹图形是平行四边形，面积为；D正确．
9.
解：对于选项A：，故A正确；
对于选项B：，故B正确；
对于选项C：，故C错误；
对于选项D：，故D错误．
10.
解：因为是三角形的重心，
所以，
因为，，三点共线，所以，则，故B正确，A错误；
又由题意可知，，
所以，当且仅当，即时取等号，
所以，又因为，所以，
因为，，
所以四边形的面积，
所以，
即四边形的面积与三角形的面积的比值的最大值为，故C正确，D错误．
11.
解：由题意得点在抛物线：上，
所以，解得，所以：，则，
设直线：，与联立得，
设，，所以，，
所以，
当时，，故A错误；
，
则，
当且仅当，时等号成立，故B正确；
如图，
过点作准线的垂线，垂足为，交轴于，
取的中点为，过点作轴的垂线，
垂足为，则，是梯形的中位线，
由抛物线的定义可得，
所以，所以以为直径的圆与轴相切，
所以为圆与轴的切点，所以点的纵坐标为，
又为的中点，所以点的纵坐标为，
又点在抛物线上，所以点的横坐标为，故C正确；
过作垂直于准线，垂足为，
所以的周长为，
当且仅当点的坐标为时取等号，故D错误．
12.
解：幂函数的图象经过点，
，，
，
．
13.
解：过分别作，的高，垂足分别为，，
平面平面，，由可得：
又平面平面，面，
故平面，
又面，故可得
，，又，
故，，两两垂直，
以为坐标原点，，，的方向分别为，，轴的正方向，
建立空间直角坐标系，
则由题意可知，，，，
，，
．
14. 解：设，则，
由得，
从而有，
又，，所以，
又由，联立解得，
从而得到，
所以，
所以．
15.解：设的公比为，由已知得，解得，
；
由得，，则，．
设的公差为，则，解得
从而，
所以数列的前项和．
16.解：Ⅰ证明：因为四边形为正方形，所以，
因为平面平面，平面，且垂直于这两个平面的交线，
所以平面；
Ⅱ解：由Ⅰ知，，，
又，，，
所以，
如图，以为原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
则，，，，
设平面的法向量为，
则，即，
令，则，，
所以．
同理可得，平面的法向量为．
所以．
由图可知，二面角为锐角，
所以二面角的余弦值为．
17.解：，
，
，
．
，
，
，
由余弦定理得
，
所以的周长为．
18.证明：长方体中，平面，平面，
，
，，平面
平面
解：以为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系，
设，则，
平面，平面，
，又，
，
则，，，，，
平面，平面，
，
，且，平面，
平面，
故取平面的法向量为，
设平面 的法向量，
由，得
取，得，，，
，
二面角的正弦值为．
19.解：Ⅰ连接，此时，设，
因为圆的圆心，半径为，
所以，，
因为，
所以点轨迹是以，为焦点的椭圆，长轴长，焦距，
解得：，，则，
故曲线的方程为．
Ⅱ当直线的斜率不存在时，
因为，设，，
此时．
当直线斜率存在时，
设直线的方程为，，，
联立，消去并整理得：，
此时，
由韦达定理得：，，
所以
，
因为，所以，
则，
综上所述，的取值范围为．
Ⅲ若直线与轴垂直时，此时直线与直线关于轴对称，
所以；
若直线不与轴垂直，
由知，设直线的方程为，，，
此时
．
综上所述：．
