2024-2025 学年广东省佛山市南海区桂华中学高二（下）第一次段考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列{ }中，若 3 5 = 16， 2 + 4 = 5，则 2 =( )
A. 1 B. 9 C. 1 或 9 D. 1 或 9
2 ( ) ( .已知函数 ( )在 = 处可导，且 → 0 0 0)0 = 2025，则 ′( 0) =( )
A. 2025 B. 0 C. 1 D. 2025
3.如图是函数 = ( )的导函数 ′( )的图象，则下面判断正确的是( )
A. ( )在( 3,1)上是增函数 B. ( )在(1,2)上是减函数
C.当 = 2 时， ( )取得极小值 D.当 = 4 时， ( )取得极小值
4.已知一个等差数列的项数为奇数，其中所有奇数项的和为 290，所有偶数项的和为 261.则此数列的项数
为( )
A. 15 B. 17 C. 19 D. 21
5 = 2 = 3 = 4.已知 22， 32， 42，则( )
A. < < B. < < C. < < D. < <
6.若数列{ }满足 +1 = 3 1，则称{ }
1
为“对奇数列”.已知{ + 2 }为“对奇数列”，且 1 = 2，则
2025 =( )
A. 3 × 22024 B. 22025 C. 2 × 32024 D. 2 × 32023
7.有两个等差数列 2，6，10，…，190 及 2，8，14，…，200，将这两个等差数列的公共项按从小到大的
顺序排列，组成一个新数列，则这个新数列的各项之和为( )
A. 1472 B. 1470 C. 882 D. 412
8.若函数 ( ) = 2 2 在其定义域内的一个子区间( 1, + 1)上不是单调函数，则实数 的取值范围是
( )
A. ( 1 3 3 1 3 32 , 2 ) B. (1, 2 ) C. ( 2 , 2 ] D. [1, 2 )
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二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列运算中正确的是( )
A. (1 2) 3′ = 1 2 B. ( 3)′ = 2
C. [ln(2 )] = 1′ D. (cos
) = 16 ′ 2
10.已知正项等比数列{ }的前 项积为 ，若 8 < 1 < 9，则( )
A. 3 6 > 1 B.
9
> 1 C. ≥ 4 D. ≤ 58
11.定义在(0, + ∞)上的函数 ( )满足 ′( ) 1 > 0，则下列结论正确的是( )
A. (2) 2 > (1) B. (4) (2) > ln 2
C. (2) + 2 > ( ) + 1 D. ( 2) ( ) > 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在数列{ } 1 中， 1 = 1, +1 = + ( +1)，则 8 = ______．
13 3.函数 ( ) = 2
2 的极值点为______．
14 1.数列{ }中， 19 91 = 3， + = ，若 +1 + +2 + … + +10 = 2 (3 3 )，则 = ______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知函数 ( ) = + + 1 的图象在点(1, (1))处的切线方程为 3 + 2 = 0．
(1)求 ， 的值；
(2)求 ( )的极值．
16.(本小题 15 分)
数列{ }满足 2 = 5， +1 = 2 1．
(1)证明：数列{ 1}是等比数列；
(2)求{ }的通项公式；
(3)若 1 = ，证明：数列{
1
}的前 项和 < ．
+1 3
17.(本小题 15 分)
如图，在四棱锥 中，底面 是正方形， ⊥平面 ， = = 2. ， 分别为 ，
的中点．
(1)求证： //平面 ；
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(2)平面 与平面 夹角的余弦值；
(3)在棱 上是否存在一点 ，使得直线 与平面 所成角为6 .若存在，确定点 的位置，若不存在，说
明理由．
18.(本小题 17 分)
设数列{ 1 }是首项为 1 的等比数列，已知 1， 2 + 2，4 3成等差数列；数列{ }满足 =
2 ．
(1)求数列{ }和{ }的通项公式；
(2)记 和 分别为数列{ }和{ }的前 项和，证明： < ．
19.(本小题 17 分)
1
已知函数 ( ) = ( + )．
(1)讨论 ( )的单调性；
(2)当 < 0 时， ( ) ≥ ( 1)ln( )，求实数 的值．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.158
13. 33
14.8
15.
16.解：(1)证明：数列{ }满足 2 = 5， +1 = 2 1，
可得 2 1 1 = 5，解得 1 = 3，
对 +1 = 2 1 的两边同时减去 1，可得 +1 1 = 2( 1)，
故{ 1}是首项和公比均为 2 的等比数列．
(2)由等比数列的通项公式可得 1 = 2 ，故 = 2 + 1；
(3) 1 2 1 1证明： = = +1 (2 +1)(2 +1+1)
= 2 +1 2 +1+1，
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= 1 1 + 1 1 1 1故 21+1 22+1 22+1 23+1 + . . . + 2 +1 2 +1+1
= 1 1 < 13 2 +1+1 3，即得证．
17.(1)证明：在四棱锥 中，取 的中点 ，连接 ， ，由 ， 分别为
， 的中点，
// ， = 12 ，又四边形 是菱形，则 // // ， =
1
2 = ，
于是四边形 是平行四边形， // ，而 平面 ， 平面 ，
所以 / /平面 ．
(2)解：以 为原点，直线 ， ， 分别为 ， ， 轴建立空间直角坐标系，
则 (0,0,0)， (2,1,0)， (0,1,1)，平面 的一个法向量为 = (0,1,0)，
设平面 的法向量 = ( , , )， = (2,1,0)， = (0,1,1)，
= 2 + = 0
所以 ，令
= 1 则 = 2， = 2，所以 = (1, 2,2)，
= + = 0
所以平面 与平面 夹角的余弦值为|cos < ， > | = | | 2| =|| | 3．
(3)解： (2,0,0)， (0,0,2)， (0,2,0)， (2,2,0)，
假定在棱 上存在一点 ，满足条件，令 = = ( 2,0,2) = ( 2 , 0,2 )，0 ≤ ≤ 1，
= + = (2 2 , 0,2 )， = (2,0,0), = (0, 2,2)，
设平面 的一个法向量 = ( , , ) = 2 = 0，则 ，取 = 1，得 = (0,1,1)， = 2 + 2 = 0
| | 2 1
则直线 与平面 所成角正弦值为|cos , | = | = =|| | ，(2 2 )2+4 2 2 2
= 1
解得 2，所以在棱 上存在一点 ，使得直线 与平面 所成角为6，点 为 中点．
18. 1解：(1)由于数列{ }是等比数列，且首项为 1，且 1 = 2， 2 + 2，4 3成等差数列，
令数列{ }的公比为 ( ≠ 0)，
1 1
根据 2( 2 + 2 ) = 1 + 4 3，可得 2( + 2 ) = 1 + 4
2，解得： = 0(舍去)或 = 12．
1
所以 = 2 = 2 ， = ( 2 )
1．
1×(1 1 )
(2) 1证明：根据第一问可得 2 = = 2(1 )．1 1 2 2
{ } 1 2 1 的前 项和 = 2 + 22 + + 2 1 + 2 ，①
1 = 1 2 1 那么2 22 + 23 + + 2 + 2 +1 .②
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1 = 1 + 1 + + 1 根据① ②得2 2 22 2 2 +1
1(1 1 )
= 2 2
1 1 2 +12
= (1 1 ) = 1 +22 2 +1 2 +1，
所以 2+ = 2 2 ．
= 2 2+ 2(1 1 ) = 2 2+ 根据 2 2 2 2 =
2 < 0，
所以 < ，得证．
19.
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