2024-2025 学年吉林省四平实验中学高二（下）3 月月考
数学试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.在等比数列{ }中， 3 = 3， 7 = 27，则数列{ }的公比是( )
A. 3 B. 3 C. ± 3 D. ±3
2
2.△ → 0 (1+△ ) 1△ 表示( )
A.曲线 = 2切线的斜率 B.曲线 = 2在点(1,1)处切线的斜率
C.曲线 = 2切线的斜率 D.曲线 = 2在(1, 1)处切线的斜率
3.已知数列{ }中， 1 = 2， +1 2 = 0， = log2 ，那么数列{ }的前 10 项和等于( )
A. 130 B. 120 C. 55 D. 50
4.已知数列{ }满足 +1 =
1 1
1 ，且 1 = 3，则 2025 =( )
A. 1 B. 33 2 C. 2 D. 2
5.已知数列{ }是等差数列，数列{ }是等比数列，若 2 + 4 + 6 = 6， 2
3+ 5
5 8 = 3 3，则1+ =( )3 7
A. 1 B. 3 C. 2 D. 3
6.数列{ } 1 中， 19 91 = 3， + = ，若 +1 + +2 + + +10 = 2 (3 3 )，则 =( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
7.已知 为等差数列{ }的前 项，公差为 .若 1 > 0， 18 = 0，则( )
A. > 0 B. 7 = 11 C. 20 > 0 D. 无最大值
8.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘 3 再加上 1；若是偶数，就将该数除以 2.反复进行上述两种运
算，经过有限次步骤后，必进入循环圈 1 → 4 → 2 → 1，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”(又称“角谷
( 为偶数)
猜想”等).已知数列{ }满足： 1 = 20， +1 = 2 ，则 2025 =( )
3 + 1( 为奇数)
A. 5 B. 4 C. 3 D. 2
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.记 为等比数列{ }的前 项和，则( )
A. { 1 }是等比数列
B. { +1}是等比数列
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C. ， 2 ， 3 成等比数列
D. ， 2 ， 3 2 成等比数列
10.已知数列{ }满足 2 = 4， +1 = 2 + 2 ，则( )
A. = 2 B. { 1 2 1 }是等差数列
C. { }
2
一定是等比数列 D.数列{ ( +1) }的前 99
99
项和为
100
11.设等比数列{ }的公比为 ，其前和项和为 ，前 项积为 ，且满足条件 1 > 1， 2022 2023 > 1，( 2022
1)( 2023 1) < 0，则下列选项正确的是( )
A. 0 < < 1 B. 2022 + 1 < 2023
C. 2022是数列{ }中的最大项 D. 4043 > 1
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 5 + .已知正项等比数列{ }的前 项和为 ，若 4 = 4
8 6
2，则 + = ______．5 3
13.已知汽车行驶的路程 和时间 之间的函数图像如图所示，在时间段[ 0, 1]，
[ 1, 2]，[ 2, ]
3 上的平均速度分别为 1， 2， 3，则三者的大小关系为______(用
“<”排列)．
14.已知首项为 1 的等比数列{ 12 }的各项均为正数，且 6 1， 3，4 2成等差数列，若 < 3 + 恒成立，
则 的取值范围是______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
等差数列{ }满足 1 + 2 = 10， 4 3 = 2．
(1)求{ }的通项公式；
(2)设等比数列{ }满足 2 = 3， 3 = 7，求数列{ }的前 项和．
16.(本小题 15 分)
{ } = 1已知数列 的首项为 1 2，且满足 +1 + 4 +1 = 0．
(1) 1证明：数列{ }为等差数列；
(2) { 1求数列 }的前 项和为 ；
(3)求数列{( 1) }的前 项和．
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17.(本小题 15 分)
已知数列{ }的前 项和 满足 = 1 + 1( ≥ 2, ∈ )，且 1 = 1．
(1)求数列的通项公式{ }；
(2) 1 2记 = ， 为{ }的前 项和，求使 ≥ 成立的 的最小值． +1
18.(本小题 17 分)
若数列{ }的前 项和为 ，且 2 = 3 1( ∈ )，等差数列{ }满足 1 = 3 1， 3 = 2 + 4．
(1)求数列{ }，{ }的通项公式；
(2) 设 = 3 ，求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
已知数列{ }：1，1，2，1，2，4，1，2，4，8，1，2，4，8，16， ，其中第一项是20，接下来的两项
是20，21，再接下来的三项是20，21，22，以此类推.记数列{ }的前 项和为 ，规定：若 ∈ ，使得 =
2 + 1( ∈ )，则称 为该数列的“类比数”．
(1)将该数列的“类比数”从小到大排列，直接写出前 3 个“类比数”；
(2)试判断 50 是否为“类比数”，并说明理由；
(3)①求满足 > 1000 的最小的“类比数” ；
②证明：该数列的“类比数”有无数个．
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参考答案
1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.
9. 10. 11.
12.18
13. 1 < 2< 3．
14.( ∞,13)
15.解：(1)设等差数列{ }的公差为 ，
由 1 + 2 = 10， 4 3 = 2，可得 1 + 1 + = 10， = 2，
解得 1 = 4， = 2，
可得 = 4 + 2( 1) = 2 + 2；
(2)设等比数列{ }的公比为 ，
由 2 = 3， 23 = 7，可得 1 = 8， 1 = 16，
解得 1 = 4， = 2，
4(1 2 )
则数列{ }的前 项和为 +2 = 1 2 = 2 4．
16.
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17.解：(1)数列{ }的前 项和 满足 = 1 + 1，
所以： 1 = 1，
所以：数列{ }为等差数列，
且 1 = 1 = 1，
则： = ，
即 = 2 ，
当 ≥ 2 时， = 1 = 2 ( 1)2 = 2 1．
又 1 = 1 也满足上式，
所以： = 2 1；
(2)由(1) 1 1 1 1知， = (2 1)(2 +1) = 2 ( 2 1 2 +1 )，
∴ 1 1 1 1 1 1 1 1 = 2 (1 3 + 3 5+ … + 2 1 2 +1 ) = 2 (1 2 +1 ) = 2 +1，
由 ≥
2
有
2 ≥ 4 + 2，
有( 2)2 ≥ 6，
所以 ≥ 5，
∴ 的最小值为 5．
18.解：(1) ∵ 2 = 3 1( ∈ )①，
∴当 = 1 时，2 1 = 3 1 1，解得 1 = 1，
当 ≥ 2 时，2 1 = 3 1 1②，
由① ②得 2 = 3 3 1，即 3 1 = ，
∴数列{ }是首项为 1，公比为 3 的等比数列，
∴ 1 = 3 ，则 2 = 3，
设等差数列{ }的公差为 ，
∵ 1 = 3 1 = 3 1 = 31 = 3 1， 3 = 2 + 4，则 3 = 1 + 2 = 3 + 2 = 7
，解得 ，
= 2
∴ = 3 + 2( 1) = 2 + 1；
(2)由(1)得 = 3 1 ， = 2 + 1
1
，则 = 3 = (2 + 1) 3 ，
∴ = 3 ×
1
3 + 5 ×
1
32 + 7 ×
1 1
33 + . . . + (2 + 1) 3 ③，
1 1 1
3 = 3 × 32 + 5 × 33 + 7 ×
1
34 + . . . + (2 + 1)
1
3 +1④，
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1
2 (1
1 )
由③ ④得3 = 1 + 2 ×
1
32 + 2 ×
1
33 + . . . + 2
1
3 (2 + 1)
1 9 3 1
3 +1 = 1 + 2 × 1 (2 + 1)
1
1 3 +1
=
3
4 2 +4 1
3 3 3 ，
∴ +2 = 2 3 ．
19.解：(1)因为 1 = 20 = 1，所以 1 不是该数列的“类比数”．
因为 2 = 1 + 1 = 20 + 1， 4 = 1 + 1 + 2 + 1 = 5 = 22 + 1， 13 = 33 = 25 + 1，
所以该数列的前 3 个“类比数”为 2，4，13．
(2)由题意可得数列如下：
第 1 组：1；
第 2 组：1，2；
第 3 组：1，2，4；
…
第 组：1，2，4， ，2 1．
1 + 2 + . . . + = ( +1)所以该数列的前 2 项的和为
= 1 + (1 + 2) + . . . + (1 + 2 + . . . + 2 1) = 2 +1 ( +1) 2，( )
2
( +1)
当 2 ≤ 50 时， ≤ 9，所以 50 = 45 + 1 + 2 + 2
2 + 23 + 24 = 210 11 + 31 = 210 + 20，
由于210 + 1 < 210 + 20 < 211 + 1， ∈ ， 50 ≠ 2 + 1，所以 50 不是“类比数”．
(3)①在( ) ( +1)式中，要使 2 > 1000，有 ≥ 45， ∈
，
所以 出现在第 44 组之后，
又第 组的和为2 1，前 组的和为 +1 ( +1) = 2 2，
2
第 + 1 组前 项 1，2，4， ，2 1的和为2 1， ∈ ．
因为 = 2 + 1 = 2 +1 2+ 2 1，
2 = 2 +1,
所以
1 = 2
∈ ．
3,
所以 = 2 4 ≥ 44，则 ≥ 6，当 = 6 时， = 26 4 = 60，所以对应满足条件的最小“类比数” =
60×61
2 + 6 = 1836．
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②证明：由①知 1 = 2 3， ∈ ．
当 > 2 ( +1)，且取任意整数时，可得“类比数” = 2 + ，所以该数列的“类比数”有无数个．
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