2025年江苏省南京市中考数学模拟测试卷
一、单选题
1．下列各数是的绝对值的是（ ）
A． B． C．2025 D．
2．公元2025年是我国农历乙已年，金蛇献瑞，蛇舞新春！下列年画图案中，是中心对称图形的是（ ）
A． B．
C． D．
3．电影《哪吒之魔童闹海》一经上映便火遍大江南北，乃至在世界范围内都引发广泛关注．截止年月日，电影的全球票房已突破亿，将亿用科学记数法表示应为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B．
C． D．
5．如图，是的弦，连接，点在上（不与点重合），连接，若，则的度数可能是（ ）
A． B． C． D．
6．共同富裕的要求是：在消除两极分化和贫穷基础上实现普遍富裕．下列有关个人收入的统计量中，最能体现共同富裕要求的是（ ）
A．平均数小，方差大 B．平均数小，方差小
C．平均数大，方差小 D．平均数大，方差大
7．用四根长度相等的木条首尾顺次相接制成一个如图1所示的菱形教具，此时测得，改变教具的形状成为如图2所示的正方形，若图2的面积比图1的面积大，则菱形的边长为（ ）
A． B． C． D．
8．我们知道，通过列表，描点，连线可以画出一个函数的图像．在画完函数的图像后，张老师给同学们提出一个问题：“不通过画图，你能解释为什么函数的图像经过第一、三象限吗？”．聪明的小亮经过思考，给出了这样的解答：“当时，，此时描出的点都在第一象限；当时，，此时描出的点都在第三象限．所以函数的图像一定经过第一、三象限”．大家不禁为善于思考的小亮鼓掌．最后张老师又给大家留了一道思考题：下面四个图像中是函数的图像的是（ ）
A． B．
C． D．
二、填空题
9．要使分式有意义，则x的取值范围为 ．
10．因式分解： ．
11．写出一个比1小的无理数： ．（只写出一个即可）
12．若无实数根，则m的取值范围是 ．
13．在网格中，每个小正方形的顶点称为格点．如图，在的网格中，点A、B、C都在格点上，那么的值为 ．
14．如图1，铝合金窗帘轨道可以直接弯曲制作成弧形．若制作一个圆心角为的圆弧形窗帘轨道（如图2，轨道厚度不计），需用此材料厘米，则此圆弧所在圆的半径为 厘米．
15．若函数的图像与函数的图像相交于点，则代数式的值为 ．
16．如图，在以为直径中，弦，，点D是上一动点，以为一边在左侧作，使，，连接，则的最大值为 ．
三、解答题
17．计算：．
18．解方程：
(1)；
(2)．
19．某超市打算购进一批苹果，现从甲、乙两个供应商供应的苹果中各随机抽取10个，测得它们的直径（单位：mm），并制作统计图如下：
根据以上信息，解答下列问题：
(1)
统计量供应商 平均数 中位数 众数
甲 80 80
乙 76
则__________，__________，__________．
(2)苹果直径的方差越小，苹果的大小越整齐，据此判断，__________供应商供应的苹果大小更为整齐．（填“甲”或“乙”）
(3)超市规定直径（含）以上的苹果为大果，超市打算购进甲供应商的苹果2000个，其中，大果约有多少个？
20．在课外活动时间，甲、乙、丙做“互相踢毽子”游戏，毽子从一人传给另一人就记为一次踢毽．
(1)若从甲开始，经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的概率是多少？请说明理由；
(2)若经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的可能性最小，则应从______开始踢．
21．如图，在的边BC上取一点O，以O为圆心，OC为半径画⊙O，⊙O与边AB相切于点D，，连接OA交⊙O于点E，连接CE，并延长交线段AB于点F．
（1）求证：AC是⊙O的切线；
（2）若，，求⊙O的半径．
22．如图，一次函数的图像与轴相交于点，与反比例函数图像相交于点．
(1)求反比例函数的表达式；
(2)点在点的左侧，过点作轴平行线，交反比例函数的图像于点，连接．设点的横坐标为，求当为何值时，的面积最大，这个最大值是多少？
23．某商场销售一批衬衫，平均每天可售出件，每件盈利元．为了扩大销售，增加盈利，商场采取了降价措施．假设在一定范围内，衬衫的单价每降元，商场平均每天可多售出件．如果降价后商场销售这批衬衫每天盈利元，那么衬衫的单价降了多少元？
24．如图1，平面中的线段和直线外一点，对于，，三点确定的圆，如果所对的弧为优弧，我们就称点为线段的“优关联点”．如图2，已知点，．
(1)在点，，中，是线段的“优关联点”的是________；
(2)如果直线上存在线段的“优关联点”，则求出的取值范围．
25．小溢同学在复习圆中的垂径定理时，进行变式、探究与思考：如图1，的直径垂直弦于点，且，．
(1)复习回顾：求的长．
(2)探究拓展：如图2，连接，点是上一动点，连接，延长交的延长线于点．
①当点是的中点时，求证：；
②如图3，连接，，当为等腰三角形时，请直接写出的长．
26．如图，抛物线经过点，，与y轴正半轴交于点C，且．抛物线的顶点为D，对称轴交x轴于点E．直线经过B，C两点．
（1）求抛物线及直线的函数表达式；
（2）点F是抛物线对称轴上一点，当的值最小时，求出点F的坐标及的最小值；
（3）连接，若点P是抛物线上对称轴右侧一点，点Q是直线上一点，试探究是否存在以点E为直角顶点的，且满足．若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
《2025年江苏省南京市中考数学模拟测试卷》参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8
答案 C A C B D C D C
1．C
【分析】本题考查了绝对值的定义，根据绝对值的定义进行求解即可．
【详解】解：的绝对值的是2025，
故选：C．
2．A
【分析】本题主要考查了中心对称图形的识别．在同一平面内，如果把一个图形绕某一点旋转180度，旋转后的图形能和原图形完全重合，那么这个图形就叫做中心对称图形．这个旋转点，就叫做中心对称点．
【详解】解：选项B、C、D均不能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以不是中心对称图形，
选项A能找到这样的一个点，使图形绕某一点旋转180度后和原图形完全重合，所以是中心对称图形，
故选：A．
3．C
【分析】此题考查了科学记数法，科学记数法的表示形式为的形式，其中，为整数，熟练掌握科学记数法的定义是解答本题的关键．
根据科学记数法的定义解答即可．
【详解】解：亿，
故选：C．
4．B
【分析】本题考查了合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方，根据合并同类项、同底数幂的乘除、积的乘方的运算法则逐项判断即可．
【详解】解：A、，故原选项计算错误，不符合题意；
B、，故原选项计算正确，符合题意；
C、，故原选项计算错误，不符合题意；
D、，故原选项计算错误，不符合题意；
故选：B．
5．D
【分析】本题考查了圆周角定理，三角形的外角的性质，熟练掌握圆周角定理是解题的关键．根据圆周角定理得出，进而根据三角形的外角的性质即可求解．
【详解】解：∵，，
∴，
∵，
∴的度数可能是
故选：D．
6．C
【分析】根据算术平均数和方差的定义解答即可．
【详解】解：人均收入平均数大，方差小，最能体现共同富裕要求．
故选：C．
【点睛】本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
7．D
【分析】本题考查了菱形的性质，正方形的性质，三角函数，解题的关键是掌握相关知识．在菱形中过点作于点，设，则，然后分别用含的式子表示出菱形和正方形的面积，最后根据题意列方程即可求解．
【详解】解：如图，在菱形中过点作于点，
设，
，
，
菱形的面积为，
正方形的面积为，
正方形的面积比菱形的面积大，
，
解得：，
即菱形的边长为，
故选：D．
8．C
【分析】本题考查了二次根式的性质，函数图象的识别，掌握函数关系中自变量与函数值的关系，二次根式的性质是关键．
根据二次根式的性质得到，随增大而增大，由此即可求解．
【详解】解：函数中，，
∴，
∵，
∴，
∴当时，，
当时，，
当时，，
当时，，
∴随增大而增大，增大速度缓慢，故只有C选项符合，
故选：C ．
9．
【分析】本题考查的是分式有意义的条件：当分母不为0时，分式有意义．根据分式有意义的条件求解即可．
【详解】解：若分式有意义，则，
∴，
故答案为：．
10．
【分析】先提取公因式，再套用公式分解即可．
本题考查了因式分解，熟练掌握先提取公因式，再套用公式分解是解题的关键．
【详解】
．
故答案为：．
11．（答案不唯一）
【分析】本题考查了实数的大小比较，无理数的定义，理解无理数的定义是解题关键．只需要写出一个比1小的无理数即可．
【详解】解：比1小的无理数为，
故答案为：．
12．
【分析】本题考查一元二次方程有无实数根，熟记判别式是解题的关键．
根据一元二次方程无实数根得到，代入即可得出答案．
【详解】方程没有实数根，
，
，
故答案为：．
13．/
【分析】本题主要考查了解直角三角形．根据所给网格，连接，利用勾股定理及逆定理得出与垂直，再结合正切的定义即可解决问题．
【详解】解：连接，如图所示：
设小正方形网格的边长为，
则由勾股定理得：，，
，
∴，
∴是直角三角形，且，
在中，
，
故答案为：．
14．
【分析】本题考查了弧长的公式，熟练掌握弧长公式：是解题的关键，利用弧长公式求解即可．
【详解】解：设圆弧所在圆的半径为，由弧长公式得：
，
解得：，
故答案为：．
15．/0.75
【分析】本题考查反比例函数与一次函数图像的交点问题、分式的化简求值，熟练掌握函数图像上的点的特征是解答的关键．将交点坐标代入两函数的解析式中得到，，代入分式中求解即可．
【详解】解：∵函数的图像与函数的图像相交于点，
∴，，即，
∴
，
故答案为：．
16．6
【分析】如图所示，延长到点F，使，连接，首先勾股定理求出，然后证明出，得到，求出，得到点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动，进而求解即可．
【详解】如图所示，延长到点F，使，连接
∵为直径
∴
∴
∴
∴
∵
∴
∵
∴
∴
∴
∴
∴点E在以点F为圆心，4为半径的圆上运动
∴当点E在的延长线上时，取得最大值
∴此时．
故答案为：6．
【点睛】此题考查了圆外一点到到圆上一点最值问题，相似三角形的性质和判定，勾股定理等知识，解题的关键是正确作出辅助线构造相似三角形．
17．3
【分析】本题考查了特殊角的三角函数值的混合运算、二次根式的混合运算，熟练掌握运算法则是解题关键．先计算特殊角的三角函数值、化简二次根式，再计算二次根式的乘法，最后计算二次根式的加减法即可得．
【详解】解：
18．(1)
(2)
【分析】本题主要考查了解一元二次方程，熟知解一元二次方程的方法是解题的关键．
（1）把方程左边利用十字相乘法分解因式，再解方程即可；
（2）先移项，然后把方程左边利用提公因式法分解因式，再解方程即可．
【详解】（1）解：∵，
∴，
∴或，
解得；
（2）解；∵，
∴，
∴，
∴或，
解得．
19．(1)80，，
(2)甲
(3)600
【分析】本题主要考查了平均数、中位数、众数、方差以及用样本估计总体等知识点，掌握相关统计量的计算方法是解答本题的关键．
（1）分别根据算术平均数，中位数和众数的定义解答即可；
（2）根据方差的意义解答即可；
（3）利用样本估计总体，即用2000乘样本中直径（含）以上所占比例即可．
【详解】（1）解：由题意得：；
把乙的10个苹果的直径从小到大排列，排在中间的两个数分别是79，80，故中位数；
甲10个苹果的直径中，83出现的次数最多，故众数．
故答案为：80，，．
（2）解：甲的方差为：
；
乙的方差为：
，
因为，
所以甲供应商供应的苹果大小更为整齐．
故答案为：甲．
（3）解：（个）．
答：大果约有600个．
20．(1)
(2)乙．
【分析】（1）依据题意先用列表法或画树状图法分析所有等可能的出现结果，然后根据概率公式求出该事件的概率．
（2）分类讨论，根据树状图可得出毽子踢到乙处的概率最小的答案．
【详解】（1）画树状图法如下：
从甲开始，经过三次踢毽后所有可能结果有8种，且是等可能的，
其中毽子踢到乙处的结果有3种．
因此，从甲开始，经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的概率P＝．
（2）由（1）知，若从甲开始踢，则毽子踢到甲处的概率最小为，踢到乙、丙的概率均为，
所以若经过三次踢毽后，毽子踢到乙处的可能性最小，则应从乙开始踢，
故答案为：乙．
【点睛】本题考查概率的概念和求法，用树状图或表格表达事件出现的可能性是求解概率的常用方法．常见错误有：审题不清，对游戏规则理解错误，对踢踺次数判定错误；题（1）：对树状图的画法掌握不好，不能清楚、规范、有条理地画树状图，更难以用列表法说明；对概率计算掌握不够，不能准确计数等可能次数．题（2）：说理不清，不能正确地利用树状图或者概率的大小来说理．
21．（1）见解析；（2）
【分析】（1）连接OD，由切线的性质可知，再根据题意易证，即得出，即证明出AC是⊙O的切线；
（2）由可设，则，在中，根据勾股定理即可求出x的值，即得出BC和AC的长．再由AC=CD，以及即可求出BD的长，最后在中，根据，即可求出OD的长，即圆的半径．
【详解】解：（1）如图，连接OD，
与边AB相切于点D，
，即，
，，，
，
，
又∵OC是半径，
∴AC是⊙O的切线；
（2）在中
，
∴设，则，
，即，
解得，
，
，，
，
，
故⊙O的半径为．
【点睛】本题考查切线的判定和性质，全等三角形的判定和性质，勾股定理以及解直角三角形．连接常用的辅助线是解答本题的关键．
22．(1)
(2)当时，最大值
【分析】本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题以及二次函数的性质．
（1）根据待定系数法求出反比例函数解析式即可；
（2）根据三角形面积公式列出关于a的代数式，利用二次函数的最值求法求出最大面积即可．
【详解】（1）解：∵点在一次函数的图象上，
∴，
解得，
∴，
∵点在反比例函数图像上，
∴，
∴反比例函数解析式为：；
（2）解：∵点C在一次函数的图像上，且点C的横坐标为a，
∴点C的纵坐标为，
∴，
∴，
∴
，
∵，
∴有最大值，当时，最大值．
23．衬衫的单价降了15元．
【分析】设衬衫的单价降了x元．根据题意等量关系：降价后的销量×每件的利润=1250，根据等量关系列出方程即可．
【详解】设衬衫的单价降了x元．根据题意，得
（20+2x）（40﹣x）=1250，
解得：x1=x2=15，
答：衬衫的单价降了15元．
24．(1)
(2)
【分析】本题考查了圆周角定理，直线和圆的位置关系，等腰三角形的判定和性质，解直角三角形，掌握以上知识点是解题的关键．
（1）根据所对的弧为优弧可得，进而结合图形可得结果；
（2）以为直径作，求出直线与相切时b的值，进而即可求解．
【详解】（1）解：由题意可得：，
∵，
∵是线段的“优关联点”，
故答案为：；
（2）解：如图，以为直径作，
当直线与相切于点A或点B时，设其分别交y轴于点D，交x轴于E，
则直线，
∵当时，；当时，，
∴直线与x轴所成的锐角是，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴
∴，
∴，
∴，
同理可得，，
∴，
∴此时直线与y轴交于，
∴．
25．(1)8
(2)①见解析；②的长为或
【分析】（1）先求得的直径为10，再利用垂径定理求得，在中，利用勾股定理即可求解；
（2）①连接，由点G是的中点，推出，根据等角的余角相等即可证明结论成立；
②分两种情况讨论，当和时，证明，利用相似三角形的性质求解即可．
【详解】（1）解：连接，如图1，
∵的直径垂直弦于点E，且，
∴，
∴，
在中，，
∴；
（2）解：①证明：连接，如图，
∵点G是的中点，
∴，
∴，
∵的直径垂直弦于点E，
∴，
∴，
∴；
②当时，
在中，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，即，
∴；
当时，
在中，，
在中，，
∴，
同理，
∴ ，即 ，
∴ ．
综上，的长为或．
【点睛】本题主要考查了圆周角定理，垂径定理，相似三角形的判定和性质，勾股定理，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件．
26．（1），；（2）F点坐标为（1，3）；的最小值为；（3）P点坐标为或；
【分析】（1）求出C点坐标，再用待定系数法求二次函数和一次函数解析式即可；
（2）根据对称性可知，FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，即点F为BC与对称轴交点，利用解析式和勾股定理可求坐标和最小值；
（3）作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，证△MQE∽△NEP，设点P坐标，利用相似比表示出Q点坐标，代入即可．
【详解】解：（1）∵，
∴，C点坐标为（0,4），
∵抛物线经过点，，可设解析式为，
把（0,4）代入，得，
解得，，
抛物线解析式为，即，
设BC的解析式为，把，（0,4）代入，
得，解得，
∴BC的解析式为；
（2）∵点F是抛物线对称轴上一点，
∴FA=FB，当B、F、C三点共线时，的值最小，最小值为BC长，此时，点F为BC与对称轴交点，
抛物线的对称轴为直线，
把代入，得，
则F点坐标为（1，3）；
，即的最小值为；
（3）由（1）得，，即，
作QM⊥DE于M，PN⊥DE与N，
∵∠QEP=90°，
∴∠QEM+∠MQE=90°，∠QEM+∠PEN=90°，
∴∠MQE=∠PEN，
∴△MQE∽△NEP，
∴，
如图1，设P点坐标为，
则PN=，EN=，EM=，MQ=，
则Q点坐标为，
代入，得，
解得，，（舍去），
把代入，得，，
故P点坐标为；
如图2，设P点坐标为，
则PN=，EN=，EM=，MQ=，
则Q点坐标为，
代入，得，
解得，，（舍去），
把代入，得，，
故P点坐标为；
综上，P点坐标为或；
【点睛】本题考查了二次函数的综合，包括解直角三角形、最短路径和直角三角形存在性问题，解题关键是熟练运用二次函数知识，设出点的坐标，利用相似三角形的判定与性质表示出其他点的坐标，列出方程．
精品试卷·第 2 页 （共 2 页）
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