2024-2025学年广东省广州实验外语学校高一（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知向量，，若，则实数的值为( )
A. B. C. D.
2.在中，，，，则的值为( )
A. B. C. D.
3.已知，，，若，，三点共线，则( )
A. B. C. D.
4.已知等边三角形的边长是，，分别是，的中点，则( )
A. B. C. D.
5.已知向量，，且在上的投影向量为，则与的夹角为( )
A. B. C. D.
6.互相垂直且有公共原点的两条数轴构成平面直角坐标系，但如果平面坐标系中两条坐标轴不垂直，则这样的坐标系称为“斜坐标系”如图，在斜坐标系中，过点作两坐标轴的平行线，其在轴和轴上的截距，分别作为点的坐标和坐标，记若斜坐标系中，轴正方向和轴正方向的夹角为，则该坐标系中和两点间的距离为( )
A.
B.
C.
D.
7.我国东汉末数学家赵爽在周髀算经中利用一副“弦图”给出了勾股定理的证明，后人称其为“赵爽弦图”，它是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，如图所示在“赵爽弦图”中，若，则( )
A. B.
C. D.
8.如图，已知，分别是边，上的点，且满足，，与交于，连接并延长交于点若，则实数的值为( )
A.
B.
C.
D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知向量，，满足，，，则( )
A. B. 当时，
C. 当时， D. 在上的投影向量的坐标为
10.摩天轮是一种大型转轮状的机械建筑设施，游客坐在摩天轮的座舱里慢慢地往上转，可以从高处俯瞰四周景色某摩天轮最高点距离地面高度为米，转盘直径为米，设置有个座舱，摩天轮开启前，距地面最近的点为号座舱，距地面最远的座舱为号，座舱逆时针排列且均匀分布，游客甲坐号舱位，乙坐号舱位，开启后按逆时针方向匀速旋转，开启后的第分钟这一时刻，游客甲和乙首次距离地面高度相同，游客甲在摩天轮转动过程中距离地面的高度为米，下列说法正确的是( )
A. 关于的函数解析式为
B. 开启后第分钟这一时刻游客甲和乙第二次距离地面高度相同
C. 开启后第分钟游客乙距离地面米
D. 开启后第分钟至第分钟游客甲和乙运动方向相同上升或下降
11.已知函数的部分图像如图所示，下列说法正确的是( )
A. 的图像关于点对称
B. 的图像关于直线对称
C. 将函数的图像向左平移个单位长度得到函数的图像
D. 若方程在上有两个不相等的实数根，则的取值范围是
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是第一象限角，且，则 ______．
13.关于平面向量有下列四个命题：
若，则，；
已知，若，则．
非零向量和，满足，则与的夹角为．
．
其中正确的命题为______写出所有正确命题的序号
14.若平面向量，，满足，，，，则的最小值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
已知向量，．
若，求；
若向量，，求与夹角的余弦值．
16.本小题分
如图，在平行四边形中，，，，，分别为，上的点，且，．
若，求，的值；
求的值；
求．
17.本小题分
已知在中，，，且．
求的值；
求的长度．
18.本小题分
如图，某公园有一块扇形人工湖，其中圆心角，半径为千米，为了增加观赏性，公园在人工湖中划分出一片荷花池，荷花池的形状为矩形四个顶点都落在扇形边界上；再建造一个观景台，形状为，记．
当角取何值时，荷花池的面积最大？并求出最大面积．
若在的位置架起一座观景桥，已知建造观景桥的费用为每千米万元不计桥的宽度；且建造观景台的费用为每平方千米万元，求建造总费用的范围．
19.本小题分
设平面内两个非零向量的夹角为，定义一种运算“”：试求解下列问题：
已知向量满足，求的值；
若，用坐标，，，表示；
在平面直角坐标系中，已知点，，，求的值；
已知向量，求的最小值．
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12.
13.
14.
15.解：由题干得到：，．
故得到：，．
已知，所以可得，即．
解得．
所以．
故．
因为向量，，所以，所以．
则，．
所以，
所以与夹角的余弦值为．
16.解：，
又，
．
，，，，
．
连接，设的夹角为，
，，
且，
，
，
，，
又
，
，
即．
17.解：，，
，
分
，，分
，，即，．
解得、．
，即的长度为分
18.解：由题意可得，
所以，
又因为，
所以为等腰直角三角形，
所以，
所以，
所以
，
因为，
所以，
所以当，即时，
取最大值，为；
所以当时，荷花池的面积最大，最大面积平方千米；
由可知，，
所以，
设建造总费用为万元，
则，
令，
因为，所以，
所以，
则，
所以，
易知函数在上单调递减，
所以，
所以建造总费用的范围为万元．
19.解：由已知，得，
所以，所以，解得，
又因为，所以，
所以；
因为，
所以，
所以，
，
所以，
因为，，，
所以，
由知，；
由得，，
所以
，
当且仅当，即时等号成立，
所以的最小值是．
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