云南省玉溪市澄江市一中2024-2025学年上学期期末考试
高三数学
注意事项:
1.答题前，先将自己的姓名、准考证号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的指定位置。
2.选择题的作答:每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑。写在试卷.草稿纸和答题卡的非答题区域均无效。
一、单项选择题:本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合，则A的子集个数为（ ）
A. 4 B. 7 C. 8 D. 16
2.已知函数，若对于任意实数k，总存在实数，使得成立，则实数a的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
3.设函数若无最大值，则实数的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
4.当时，曲线与交点的个数为（ ）
A. 3 B. 4 C. 5 D. 6
5.复数对应的点在复平面内的（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
6.已知数列满足，且对任意均有.记的前项和为，则（ ）
A. 28 B. 140 C. 256 D. 784
7.已知向量以为基底时的坐标为，则以为基底时的坐标为（ ）
A. B. C. D.
8.如图，是椭圆的左 右顶点，是上不同于的动点，线段与椭圆交于点，若，则椭圆的离心率为（ ）
A. B. C. D.
二、多项选择题:本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分。
9.定义无穷有界级数，且零项级数，则（ ）
A. B. C. D. ，
10.已知函数的定义域均为，其中的图象关于点中心对称，的图象关于直线对称，，则（ ）
A. B. C. D.
11.已知函数，则（ ）
A. 的一个对称中心为
B. 的图象向右平移个单位长度后得到的是奇函数的图象
C. 在区间上单调递增
D. 若在区间上与有且只有6个交点，则
三、填空题:本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.已知是函数的导函数，且对任意的实数x都有，，则不等式的解集是________．
13. 已知向量，若与的夹角为锐角，则的取值范围是__________.
14.已知二面角为60 ，，，A为垂足，，，，则异面直线与所成角的余弦值为______________.
四、解答题:本题共5 小题，其中第 15 题 13 分，第 16、17 题 15 分,第18、19题17分，共77分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。
15. 某动物园观光车载有5位旅客自动物园门口出发，游览途中游客有4个车站可以下车.如到达一个车站没有游客下车就不停车.设每位游客在各个车站下车是等可能的，并设各位游客是否下车相互独立.随机变量，.
（1）求随机变量的概率分布和数学期望；
（2）已知：若随机变量服从两点分布，且，则.记停车的次数为，求的数学期望.
16. 已知数列的首项，且满足，记.
（1）证明：是等比数列；
（2）记，证明：数列的前项和.
17.已知椭圆的右焦点为，过点且不垂直于坐标轴的直线交于两点，在两点处的切线交于点．
（1）求证：点在定直线上，并求出该直线方程；
（2）设点为直线上一点，且，求的最小值．
18.日常生活中，较多产品的包装盒呈正四棱柱状，比如月饼盒.烘焙店在售卖月饼时，为美观起见，通常会用彩绳对月饼盒做一个捆扎，常见的捆扎方式有两种，如图（A）、（B）所示，并配上花结.
图（A）中，正四棱柱的底面是正方形，且，.
（1）若，记点关于平面的对称点为，点关于直线的对称点为.
（ⅰ）求线段的长；
（ⅱ）求直线与平面所成角的正弦值.
（2）据烘焙店的店员说，图（A）这样的捆扎不仅漂亮，而且比图（B）的十字捆扎更节省彩绳.你同意这种说法吗？请给出你的理由.（注意，此时、、、、、、、这8条线段可能长短不一）
19.已知函数是奇函数.（e是自然对数的底）
（1）求实数k的值；
（2）若时，关于x的不等式恒成立，求实数m的取值范围；
（3）设，对任意实数，若以a，b，c为长度的线段可以构成三角形时，均有以，，为长度的线段也能构成三角形，求实数n的最大值.
一、单选题
1.【答案】C
【解析】，解得，又因为,
所以，即集合有三个元素，所以A集合有个子集.所以选择C.
2.【答案】D
【解析】依题知对于任意实数k，总存在实数，使得成立，
所以值域为R，因此必须要求取遍一切正实数，
当时，值域为，符合题意．
当时，需即．
综上所述，实数a的取值范围．
故选：D.
3.【答案】A
【解析】因为函数无最大值，令,解方程可得或，
令，画出函数图象如图所示，
当时，有最大值或，
当时，有，此时无最大值，
故实数取值范围为.所以选择A。
4.【答案】D
【解析】在坐标轴中画出两个函数的图象，如图所示在上一共有6个交点，所以选择D.
5.【答案】B
【解析】，
因此，复数对应的点在复平面内的第二象限.
故选：B.
6.【答案】B
【解析】由数列满足，且，
令，可得，即，
再令，可得，即数列是公差为的等差数列，
又由，可得，即，
又由
即，所以及，
令，可得，代入可得，
解得，所以，
即数列的通项公式为，
所以.
故选：B.
7.【答案】B
【解析】为向量以为基底时的坐标为，
所以，
设，
由空间向量基本定理得，解得，
所以以为基底时的坐标为.
故选：B.
8.【答案】D
【解析】由题意得Q在椭圆C：上，则设 ，
所以，，
两式相乘得,①
因为AB是的直径，则 ,即，
故 ,②
由①②得，又，故，
故选：D.
二、多选题
9.【答案】BCD
【解析】由，
可得，
所以，
同理，
所以，
，
其中第项为，
，
即可得，
因为，令，得，
令，得，
令，得，
同理可得，
即可得选项BC正确，A错误，由上述前9项的值可知，
当为奇数时，除之外，其余均为0，即，故D正确.
故选：BCD.
10.【答案】BD
【解析】由已知，
所以，即，故A错误；
又因为，因为关于点中心对称，
所以，即，
又因为，所以，
所以函数的周期为4，所以，所以B正确；
由，所以C错误；
因为，
所以，所以，所以D正确.
故选：BD.
11.【答案】BD
【解析】对于选项 A：，令（），解得.当时，，选项 A 错误.
对于选项 B：图象向右平移个单位长度，得，是奇函数，选项 B 正确.
对于选项 C： 令（），解得（）.当时，，不在此区间，选项 C 错误.
对于选项D： 由，得，则（）.要使在上与有且只有 6 个交点，则，解得.又，，所以，选项 D 正确.
综上，答案是 BD.
三、填空题
12.【答案】
【解析】令，，
则，又，∴，
∴，
所以，即，
求得：或，
所以不等式的解集为.
13.【答案】
【解析】因为的夹角为锐角，所以，即，解得
但同向共线时也有，故,解得，综上且，
故答案为：.
14.【答案】
【解析】如图所示:
过作于,于,再过作的平行线与过作的垂线交于,连接,则为二面角的平面角,易知四边形为矩形.
由知,所以为与所成的角,
设,因为,则,
又由条件知,且,
所以在△中,,
所以在△中,.
四、解答题
15.【答案】解：（1）由已知可得任一游客在第3站不下车的概率为，
因此5位游客都不在第3站下车的概率为，
则在第3站有人下车的概率为，
所以的概率分布列为
所以；
（2）由已知可得任一游客在第站不下车的概率为，
因此5位游客都不在第站下车的概率为，
则在第站有人下车的概率为，
所以，，所以，.
因，
所以.
16.【答案】证明：（1）因为，
所以，，所以，
因为，，所以，
因为，
因为，
又因为当时，所以，所以，
所以是以5为首项，2为公比的等比数列.
（2）由（1）可得，
因为，
所以.
17.【答案】（1）证明：因为椭圆的右焦点为，
所以，所以，
所以椭圆方程为，
直线不垂直于坐标轴，所以设方程为，
联立
可得，，
所以，
过点的切线为，过点的切线为，
因为点在两切线上，所以，
所以直线的方程为，
又直线过点，所以，解得．
（2）解：将代入得，，
所以直线的方程为，
设直线和交于点，
联立，解得，
又，所以为线段的中点，
根据弦长公式可得：，
所以，
又因，
所以，
当且仅当时，等号成立，
故的最小值为12．
18.【答案】解：（1）（ⅰ）以为坐标原点，建立如图所示直角坐标系，
由题意得，，，
，，
设平面的法向量为
则有，
取得
点H到平面的距离
线段的长为
（ⅱ）取的中点，所以且
，
由（ⅰ）知，
又为平面ABCD的法向量，
直线与平面ABCD所成角的正弦值为.
（2）对于图(A)，在正方体展开图中找出彩绳的轨迹，连接J,Q，JQ即为所求的最小值。
（三角形两边之和大于第三边）；
对于图(B)，彩绳的最小值为，且；
所以店员的说法正确。
19.【答案】解：（1）因为是奇函数，且定义域为R，所以，
即，解得.经检验，此时是奇函数
所以.
（2）由（1）知，
由时，恒成立，得，
因为，所以，
设，
因为，当且仅当时，等号成立，又，所以，
故，
所以.
（3）由题意得：，
不妨设，
以a，b，c为长度的线段可以构成三角形，即，且，
以，，为长度的线段也能构成三角形，则恒成立，得恒成立，
因为，仅当a=b时前一个等号成立，
所以，即，于是n的最大值为.
