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2025届高中毕业班（下）学期春季模拟检测
数 学
考生注意：
1．本试卷分选择题和非选择题两部分。答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上。
2．回答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题纸上对应题目的答案标号涂黑。如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。写在本试卷上无效。回答非选择题时，将答案写在答题纸上。写在本试卷上无效。
3. 考试结束后，将本试卷与答题卡一并由监考人员收回。
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求.
1．已知集合，则（ ）
A． B． C． D．
2．复数在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．已知，且与不共线，则“向量与垂直”是“”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充要条件 D．既不充分也不必要条件
4．已知正项数列满足，则（ ）
A． B． C． D．
5．马德堡半球实验是17世纪50年代由马德堡市长进行的一项实验，其主要目的是证明大气压的存在.实验使用两个直径为14英寸的半球壳，将两个半球内的空气抽掉，球不容易被分开，以证明大气压的存在.若把直径为14英寸的一个实心球分割为两个半球，则这两个半球的表面积之和为（ ）
A．平方英寸 B．平方英寸
C．平方英寸 D．平方英寸
6．在2024年巴黎奥运会中，甲、乙、丙、丁、戊5人参与接待、引导和协助三类志愿者服务工作，每类工作必须有志愿者参加，每个志愿者只能参加一类工作，若甲只能参加接待工作，那么不同的志愿者分配方案的种数是（ ）
A．38 B．42 C．50 D．56
7．已知为双曲线的左焦点，为双曲线左支上一点，，则双曲线的离心率为（ ）
A．3 B．2 C． D．
8．若，且，则（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分.
9．已知为随机事件，，则下列说法正确的有（ ）
A．若相互独立，则
B．若相互独立，则
C．若两两独立，则
D．若互斥，则
10．已知棱长为2的正方体中，动点在棱上，记平面截正方体所得的截面图形为，则（ ）
A．平面平面
B．不存在点，使得直线平面
C．的最小值为
D．的周长随着线段长度的增大而增大
11．已知首项为1的正项数列的前项和为，且，设数列的前项和为，则（ ）
A．为等比数列 B．
C． D．
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.
12．的展开式中的系数为 .
13．已知函数，则不等式的解集为 ．
14．已知双曲线的左、右焦点分别为，双曲线上的点在轴上方，若的平分线交于点，且点在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，则直线的斜率为 ．
四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
15．（13分）已知函数.
（1）求曲线在点处的切线方程；
（2）若函数在处取得极小值，求的值，并说明理由.
（3）若存在正实数，使得对任意的，都有，求的取值范围.
16．（15分）如图，在三棱锥中，，，点在棱上，且．
（1）证明：平面平面；
（2）求平面与平面的夹角的余弦值．
17．（15分） 某机构为了了解某地区中学生的性别和喜爱游泳是否有关，随机抽取了100名中学生进行了问卷调查，得到如下列联表：
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25
女生 35
合计
已知在这100人中随机抽取1人，抽到喜欢游泳的学生的概率为.
（1）请将上述列联表补充完整；
（2）依据小概率值的独立性检验，能否认为喜欢游泳与性别有关联；
（3）将样本频率视为总体概率，在该地区的所有中学生中随机抽取3人，计抽取的3人中喜欢游泳的人数为，求随机变量的分布列和期望．
0.100 0.050 0.010 0.001
2.706 3.841 6.635 10.828
附：.
18.（17分）已知抛物线与双曲线相交于两点是的右焦点，直线分别交于（不同于点），直线分别交轴于两点.
（1）设，求证：是定值；
（2）求的取值范围.
19.（17分）基本不等式可以推广到一般的情形：对于个正数，它们的算术平均不小于它们的几何平均，即，当且仅当时，等号成立．若无穷正项数列同时满足下列两个性质：①；②为单调数列，则称数列具有性质．
（1）若，求数列的最小项；
（2）若，记，判断数列是否具有性质，并说明理由；
（3）若，求证：数列具有性质
2025届高中毕业班（下）学期春季模拟检测数学答案
1．A
【分析】利用不等式的解法化简集合B，再根据交集的定义求解即可.
【详解】因为，，
所以．
故选：A．
2．D
【分析】利用复数的四则运算化简复数，由几何意义得复平面内对应的点所在象限．
【详解】，
则在复平面内对应的点为，位于第四象限．
故选：D．
3．B
【分析】由已知结合向量垂直列出方程求得，即可判断出答案．
【详解】若向量与垂直，
则，解得，
所以“向量与垂直”是“”必要不充分条件，
故选：B．
4．B
【分析】根据给定的递推公式，利用构造法探讨数列的特性即可得解．
【详解】依题意，，则数列是以为公比的等比数列，因此，
所以．
故选：B
5．B
【分析】两个半球的表面积之和为球的表面积和两个以球半径为半径的圆面积．
【详解】由题意可知球的半径，则两个半球的表面积之和为平方英寸．
故选：B．
6．C
【分析】根据参加接待工作的人数分类讨论，先分组再分配，结合排列组合即可求解．
【详解】（1）如果参加接待工作只有一人，则只能为甲，再把其余4人分组有两类情况：和．
把4人按分组，有种分组方法，按分组，有种分组方法，
因此不同分组方法数为，
再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，
所以不同分配方法种数是．
（2）如果参加接待工作有2人，则除了甲之外，还需要再安排一人有种情况，
再把其余3人分组成，有种分组方法，
再把两组人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，
所以不同分配方法种数是．
（3）如果参加接待工作有3人，则除了甲之外，还需要再安排两人有种情况，
再把其余2人安排到其余两类志愿者服务工作，有种方法，
所以不同分配方法种数是．
综上，不同的志愿者分配方案的种数是．
故选：C．
7．D
【分析】根据双曲线的性质及余弦定理计算可得．
【详解】设为双曲线的右焦点，由余弦定理可得
，所以，
由双曲线的定义可得，即，故双曲线的离心率．
故选：D．
8．D
【分析】观察可知，因此运用角的变换及两角和的正弦，余弦公式即可化简题目所给条件，变形后再平方，两式相加即可得到，再根据同角三角函数的基本关系求解即可，要注意角的范围．
【详解】因为
所以①，
，
即②，
①－②得，
所以，
同理③，
，
即④，
③＋④得
所以，
所以，
两式平方相加得，
所以，
因为，
且在上单调递增，
所以，
所以．
故选：D．
9．AD
【分析】由独立事件的乘法公式即可判断A；由事件的和运算即可判断B；由三个事件两两独立，不能判断三个事件是否独立，即可判断C；由互斥事件及条件概率公式即可判断D．
【详解】对于A，若相互独立，则，故A正确；
对于B，若相互独立，则，故B错误；
对于C，若两两独立，由独立事件的乘法公式得，，，
，无法确定，故C错误；
对于D，若互斥，则，
两边同时除以得，，即，
故D正确；
故选：AD．
10．ACD
【分析】根据几何体特征判断A选项，根据线面平行的判定定理判断B选项，结合距离和最小判断C选项，根据导数结合函数单调性判断D选项．
【详解】由于正方体的对角面相互垂直，故A正确；
当点与重合时，直线平面，故错误；
将四边形翻折至与四边形共面，则，故C正确；
当时，为，且的周长为．
当时，为四边形，且四边形的周长为．
当时，如图，过点作，易得，所以为四边形，
设，四边形的周长为，则，
所以，令，解得，
所以在上单调递增，所以的周长随着线段长度的增大而增大，故D正确．故选：ACD．
11．ACD
【分析】利用等差等比数列的性质，即可求得答案．
【详解】由题意可得，即，得或，
若，则，则，这与矛盾，所以不成立；
若，则，所以数列是首项为1，公比为9的等比数列，即，故A正确；
由，可得，两式相减得，，且时，，即，得，
那么，故故B错误；
当时，，
当时，
当时，符合上式，故，即，故C正确；易得时，，故D正确．
故选：ACD．
12．21
【分析】根据二项式的展开式的通项，求解问题．
【详解】二项式的展开式的通项，
所以的展开式中项的系数为．
故答案为：21．
13．
【分析】判断出函数的奇偶性，利用导数以及放缩法得出函数的单调性，将不等式化简，计
算出不等式的解集．
【详解】函数的定义域为R，且，则是偶函数，，且是奇函数，又，即是为增函数，当时，，即在上为增函数，则不等式等价于，，平方得，化简得，解得或，
故答案为：
14．或
【分析】利用双曲线的定义，结合三角形角平分线用表示，再由点A在圆
上，利用勾股定理求出，进而求出点的坐标，并求出斜率．
【详解】依题意，，
当点在第一象限时，令，则，由平分，
得，则，
由点A在以坐标原点为圆心，为半径的圆上，得，
即，代入整理得，解得，
当点在第二象限时，令，则，由平分，
同理，又，
则，代入整理得，解得，
因此，设，则，解得或，
所以直线的斜率或．
故答案为：或
【点睛】关键点点睛：求解本题的关键是利用双曲线定义，结合角平分线列式求出，．
15．（1） （2） （3）
【分析】（1）由导数的几何意义即可求解；
（2）由导数与极值的关系即可求解；
（3）根据导函数的初始值，结合导函数的图象的连续性，进行分类讨论研究，即可得到实数的取值范围．
【详解】（1）因为，则，故，所以曲线在点处的切线方程为
（2）由（1）知，
函数在处取得极小值，所以，此时，
所以，
设，则
因在上单调递增，在上单调递增，
所以在上单调递增，
所以在上单调递增，
又
所以当时，，当时，，
即在上单调递减，在上单调递增，
所以在处取得极小值，满足题意，
故，
（3）因为，则，
当，即，由函数图象的连续性可知，
必存在正实数，使得对任意的，
此时单调递增，从而，不符合题意；
当，即，由函数图象的连续性可知，
必存在正实数，使得对任意的，
对应单调递减，从而，符合题意；
当时，，
设在上恒为正，
所以在上单调递增，
所以在上在上单调递增，
从而，不合题意；
综上，的范围是
16．（1）证明见解析 （2）
【分析】（1）取中点，连接，利用条件及几何关系，得到，，进而得到，利用线面垂直的判定定理，得面，再利用线面垂直的判定定理，即可证明结果；
（2）过作交于，过全于，连接，从而有为平面与平面的夹角，再利用几何关系得到，即可求出结果．
【详解】（1）如图，取中点，连接，
因，所以，
又，所以，
又，所以，
又，所以
所以，即，又，面
所以面，又面，所以平面平面．
（2）过作交于，过作于. ，连接，
由（1）知面，所以面，则平面与平面的夹角，因为，，所以，又，易知，所以，得到，
即，解得，所以
在中，．
17．（1）列联表见解析
（2）认为是否喜欢游泳与性别无关
（3）分布列见解析，
【分析】（1）根据题中信息即可统计数据求解．
（2）根据独立性检验计算卡方值即可求解．
（3）根据二项分布求概率即可求解分布列和期望．
【详解】（1）
喜欢游泳 不喜欢游泳 合计
男生 25 25 50
女生 35 15 50
合计 60 40 100
（2）零假设：假设是否喜欢游泳与性别无关，，
依据小概率值的独立性检验，没有充分证据推断不成立，
因此可以认为成立，即认为是否喜欢游泳与性别无关．
（3）的可能取值为．
，
．
的分布列为
0 1 2 3
．
18．（1）证明见解析； （2）．
【分析】（1）根据给定条件，设出直线的方程，与抛物线的方程联立即可计算作答．
（2）由（1）求出直线的方程并求出点的横坐标，直线的方程与双曲线的方程联立，借助直线求出点的横坐标，再列式求出范围作答．
【详解】（1）由是直线与抛物线的两个交点，显然直线不垂直轴，点，
故设直线的方程为，由消去并整理得，
所以为定值．
（2）由（1）知，直线的斜率，方程为，
令，得点的横坐标，设，
由消去得，
，
，
而直线的方程为，依题意，
令，得点的横坐标
，
因此，
所以的取值范围是．
【点睛】方法点睛：圆锥曲线中最值或范围问题的常见解法：
（1）几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征和意义，则考虑利用几何法来解决；
（2）代数法，若题目的条件和结论能体现某种明确的函数关系，则可首先建立目标函数，再求这个函数的最值或范围．
19．（1）最小项为
（2）数列具有性质，理由见解析．
（3）证明见解析
【分析】（1）利用，结合三个数的算术平均不小于它们的几何平均求解；
（2）变形，再利用等比数列求和证明性质①，利用，证明②；
（3）结合二项式定理及元基本不等式求解．
【详解】（1），当且仅当，即时，等号成立，
数列的最小项为．
（2）数列具有性质. ．
，
数列满足条件①．
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
（3）先证数列满足条件①：
．
当时，，
则，
数列满足条件①．
再证数列满足条件②：
（等号取不到）
，
为单调递增数列，数列满足条件②．
综上，数列具有性质．
【点睛】关键点点睛：本题考查等比数列求和及二项式定理，证明性质①均需要放缩为可求和数列．
