广东省汕头市潮阳区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·潮阳期中）若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·潮阳期中）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024八下·潮阳期中）化简的结果是（ ）
A．100 B．60 C．40 D．20
4．（2024八下·潮阳期中）如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得 ABCD是菱形．
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
5．（2024八下·潮阳期中）如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
6．（2024八下·潮阳期中）若，则代数式的值为（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
7．（2024八下·潮阳期中）如图，在中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
8．（2024八下·潮阳期中）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
9．（2024八下·潮阳期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
10．（2024八下·潮阳期中）如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
11．（2024八下·潮阳期中）当时，二次根式的值是 ．
12．（2024八下·潮阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
13．（2024八下·潮阳期中）在中，∠C=，AC=12，BC=5，则AB边上的中线CD= ．
14．（2024八下·潮阳期中），为实数，且，化简：
15．（2024八下·潮阳期中）如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为 ．
16．（2024八下·潮阳期中）计算：．
17．（2024八下·潮阳期中）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．
18．（2024八下·潮阳期中）先化简，再求值：，其中．
19．（2024八下·潮阳期中）若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根．
20．（2024八下·潮阳期中）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）中，若，，求的长．
21．（2024八下·潮阳期中）如图，中，，作，，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
22．（2024八下·潮阳期中）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面．
（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
23．（2024八下·潮阳期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是______．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
24．（2024八下·潮阳期中）如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点F，连接，若，求的长．
25．（2024八下·潮阳期中）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即
，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴
∴有意义，
故答案为：A.
【分析】将x的值分别代入各个二次根式的被开方数进行计算，然后根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即可判断求解.
2．【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴可设，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，
但是此时不能确定其他两个内角的度数，不能判断是直角三角形，不符合题意；
D、由，可得，则不是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的判定定理：勾股定理逆定理，三角形内角和逐项进行判断即可求出答案.
3．【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：原式=
=
=40，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的计算法则计算即可.
4．【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：B．
【分析】由菱形的判定定理逐一判断即可．
5．【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
．
，，
，
，
是的中位线，
．
．
．
．
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，再根据等腰三角形性质可得，则，再根据三角形中位线定理可得，则，即可求出答案.
6．【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意得到，等号两边各自平方，化简即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设，则，
，
，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为，
故答案为：B．
【分析】设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形DEFC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DC＝EF＝8，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
9．【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：D．
【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，，建立方程，解方程可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
10．【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：C．
【分析】连接，根据菱形性质可得，，再根据勾股定理可得AB=5，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，结合三角面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．【答案】
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：．
【分析】将a=-1代入二次根式，化简计算即可求出答案.
12．【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
13．【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：AB=，
所以AB上的中线长：13÷2=6.5
故答案为6.5
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求解即可。
14．【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵式子要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x=2，求出y的范围，再代入代数式，化简计算即可求出答案.
15．【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
如图所示，延长交于点H，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得，，，即可得，延长交于点H，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，即可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可得，即可求出答案.
16．【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【分析】先计算零指数幂，二次根式除法，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案．
17．【答案】证明：四边形是平行四边形
．
，
，
，
在与中，
，
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得．，由直线平行性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．【答案】解：原式，
当时，原式
19．【答案】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，，
∴．
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；代入消元法解二元一次方程组；求算术平方根
【解析】【分析】根据同类二次根式的定义建立方程组，解方程组即可求出答案.
20．【答案】（1）如图所示，为所求．
（2）解：在平行四边形中，，
，
由（1）知，，
，
，
在平行四边形中，，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可；
（2）根据矩形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，则，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．【答案】（1）证：，
，
中，
，
，
，
，
．
（2）解：设长为，则，
，
中有，
，
解得，
．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理及角之间的关系即可求出答案.
（2）设长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵小丽到点Q，且小丽距离地面，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据勾股定理可得QD，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．【答案】（1）3
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
；
（3）解：，其中是一个正整数，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）
的整数部分为3
【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意得出，，然后代入求解即可；
（3）根据题意得出，，然后代入计算即可．
24．【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F为的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得，，结合题意可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得BE，根据菱形性质可得，由相似三角形判定定理可得，则，即点F为的中点，即可求出答案.
25．【答案】（1）证明：，
，，，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，，
，，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积是86．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，再根据边之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，，则，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得MH=9，ME=10，再根据三角形面积可得，，由正方形面积可得，则，即可求出答案.
广东省汕头市潮阳区部分学校2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·潮阳期中）若能使下列二次根式有意义，则这个二次根式可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：∵
∴
∴有意义，
故答案为：A.
【分析】将x的值分别代入各个二次根式的被开方数进行计算，然后根据二次根式有意义的条件为被开方数为非负数，即可判断求解.
2．（2024八下·潮阳期中）在下列条件中，能确定是直角三角形的条件是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理的逆定理；直角三角形的判定
【解析】【解答】解：A、∵，
∴，
∴是直角三角形，符合题意；
B、∵，
∴可设，
∴，
∴不是直角三角形，符合题意；
C、∵，，
∴，
但是此时不能确定其他两个内角的度数，不能判断是直角三角形，不符合题意；
D、由，可得，则不是直角三角形，不符合题意；
故答案为：A．
【分析】根据直角三角形的判定定理：勾股定理逆定理，三角形内角和逐项进行判断即可求出答案.
3．（2024八下·潮阳期中）化简的结果是（ ）
A．100 B．60 C．40 D．20
【答案】C
【知识点】求算术平方根
【解析】【解答】解：原式=
=
=40，
故答案为：C.
【分析】根据二次根式的计算法则计算即可.
4．（2024八下·潮阳期中）如图， ABCD对角线AC，BD交于点O，请添加一个条件（ ），使得 ABCD是菱形．
A．AB＝AC B．AC⊥BD C．AB＝CD D．AC＝BD
【答案】B
【知识点】菱形的判定
【解析】【解答】解：添加一个条件为AC⊥BD，理由如下：
∵四边形ABCD是平行四边形，AC⊥BD，
∴平行四边形ABCD是菱形．
故答案为：B．
【分析】由菱形的判定定理逐一判断即可．
5．（2024八下·潮阳期中）如图，在中，，是边上的高，垂足为，点在边上，连接，为的中点，连接，若，则的长为（ ）
A．3 B．6 C．5 D．4
【答案】D
【知识点】等腰三角形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：，
．
，，
，
，
是的中位线，
．
．
．
．
故答案为：．
【分析】根据边之间的关系可得，再根据等腰三角形性质可得，则，再根据三角形中位线定理可得，则，即可求出答案.
6．（2024八下·潮阳期中）若，则代数式的值为（ ）
A．2005 B．2006 C．2007 D．2008
【答案】C
【知识点】完全平方公式及运用；二次根式的化简求值
【解析】【解答】解：∵，
∴，
∴，
∴，
故答案为：C．
【分析】根据题意得到，等号两边各自平方，化简即可求出答案.
7．（2024八下·潮阳期中）如图，在中，，，则的长为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】勾股定理
【解析】【解答】解：设，则，
，
，
在和中，由勾股定理得：，
即，
解得：，
即的长为，
故答案为：B．
【分析】设，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
8．（2024八下·潮阳期中）如图，在 ABCD中，AB＝8，点E是AB上一点，AE＝3，连接DE，过点C作CF∥DE，交AB的延长线于点F，则BF的长为（ ）
A．5 B．4 C．3 D．2
【答案】C
【知识点】平行四边形的性质；平行四边形的判定
【解析】【解答】解：∵在 ABCD中，AB＝8，
∴CD＝AB＝8，AB∥CD，
∵AE＝3，
∴BE＝AB﹣AE＝5，
∵CF∥DE，
∴四边形DEFC是平行四边形，
∴DC＝EF＝8，
∴BF＝EF﹣BE＝8﹣5＝3．
故答案为：C．
【分析】先证出四边形DEFC是平行四边形，再利用平行四边形的性质可得DC＝EF＝8，最后利用线段的和差求出BF的长即可.
9．（2024八下·潮阳期中）如图，在矩形中，对角线交于点O，过点O作交于点E，交于点F．已知，的面积为5，则的长为（ ）
A．2 B． C． D．3
【答案】D
【知识点】三角形的面积；线段垂直平分线的性质；勾股定理；矩形的性质
【解析】【解答】解：连接，如图所示：
由题意可得，为对角线的垂直平分线，
，，
．
，
，
，
，
在中，由勾股定理得，
故答案为：D．
【分析】连接，根据垂直平分线性质可得，，建立方程，解方程可得CE，再根据勾股定理即可求出答案.
10．（2024八下·潮阳期中）如图，菱形 的对角线 相交于点 ，点 为 边上一动点（不与点 重合），于点 点 ，若 ，，则 的最小值为（ ）
A．3 B．2 C． D．
【答案】C
【知识点】垂线段最短及其应用；三角形的面积；勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接，
∵四边形是菱形，
∴，，，
在中，，
∵于点E，于点F，
∴四边形是矩形，
∴，
当时，的值最小，即的值最小，
∵，
∴，
∴的最小值为．
故答案为：C．
【分析】连接，根据菱形性质可得，，再根据勾股定理可得AB=5，根据矩形判定定理可得四边形是矩形，则，当时，的值最小，即的值最小，结合三角面积建立方程，解方程即可求出答案.
11．（2024八下·潮阳期中）当时，二次根式的值是 ．
【答案】
【知识点】二次根式的定义；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：当时，，
故答案为：．
【分析】将a=-1代入二次根式，化简计算即可求出答案.
12．（2024八下·潮阳期中）如图，在矩形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，若OA＝2，则BD的长为 ．
【答案】4
【知识点】矩形的性质
【解析】【解答】解：∵ABCD是矩形
∴OC＝OA，BD＝AC
又∵OA＝2，
∴AC＝OA+OC＝2OA＝4
∴BD＝AC＝4
故答案为：4．
【分析】根据矩形性质即可求出答案.
13．（2024八下·潮阳期中）在中，∠C=，AC=12，BC=5，则AB边上的中线CD= ．
【答案】6.5
【知识点】勾股定理；直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：由勾股定理可得：AB=，
所以AB上的中线长：13÷2=6.5
故答案为6.5
【分析】先利用勾股定理求出AB的长，再利用直角三角形斜边上中线的性质求解即可。
14．（2024八下·潮阳期中），为实数，且，化简：
【答案】
【知识点】二次根式有意义的条件；二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵式子要有意义，
∴，
∴，
∴，
∴
，
故答案为：．
【分析】根据二次根式有意义的条件可得x=2，求出y的范围，再代入代数式，化简计算即可求出答案.
15．（2024八下·潮阳期中）如图，的顶点在等边的边上，点在的延长线上，为的中点，连接．若，，则的长为 ．
【答案】
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；等边三角形的判定与性质；平行四边形的性质
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，，，
∴，，，
∴，
如图所示，延长交于点H，
∵，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴，
∵，，
∴是等边三角形，
∴，
∴，
故答案为：．
【分析】根据平行四边形的性质得，，，即可得，延长交于点H，根据直线平行性质可得，再根据全等三角形判定定理可得，则，，即可得，再根据等边三角形判定定理可得是等边三角形，则，即可得，即可求出答案.
16．（2024八下·潮阳期中）计算：．
【答案】解：
．
【知识点】零指数幂；负整数指数幂；二次根式的乘除法
【解析】【分析】先计算零指数幂，二次根式除法，负整数指数幂，最后计算加减法即可得到答案．
17．（2024八下·潮阳期中）已知：如图，在平行四边形中，，是对角线上两点，连接，，求证：．
【答案】证明：四边形是平行四边形
．
，
，
，
在与中，
，
【知识点】平行线的性质；三角形全等及其性质；三角形全等的判定；平行四边形的性质
【解析】【分析】根据平行四边形性质可得．，由直线平行性质可得，，则，再根据全等三角形判定定理可得，则，即可求出答案.
18．（2024八下·潮阳期中）先化简，再求值：，其中．
【答案】解：原式，
当时，原式
19．（2024八下·潮阳期中）若最简二次根式和是同类二次根式，求平方和的算术平方根．
【答案】解：∵最简二次根式和是同类二次根式，
∴，
解得：，，
∴．
【知识点】最简二次根式；同类二次根式；代入消元法解二元一次方程组；求算术平方根
【解析】【分析】根据同类二次根式的定义建立方程组，解方程组即可求出答案.
20．（2024八下·潮阳期中）如图，已知四边形是平行四边形．
（1）尺规作图：作的平分线交于点；（保留作图痕迹，不用写作法）
（2）在（1）中，若，，求的长．
【答案】（1）如图所示，为所求．
（2）解：在平行四边形中，，
，
由（1）知，，
，
，
在平行四边形中，，
，
．
【知识点】平行四边形的性质；尺规作图-作角的平分线
【解析】【分析】（1）以点A为圆心，任意长为半径画弧，交，于两点，分别以这两点为圆心，大于这两点的距离为半径画弧，在内交于一点O，作射线BO，交于点E即可；
（2）根据矩形性质可得，则，再根据角之间的关系可得，则，根据平行四边形性质可得，再根据边之间的关系即可求出答案.
21．（2024八下·潮阳期中）如图，中，，作，，，．
（1）求证：；
（2）求的长．
【答案】（1）证：，
，
中，
，
，
，
，
．
（2）解：设长为，则，
，
中有，
，
解得，
．
【知识点】三角形内角和定理；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据三角形内角和定理及角之间的关系即可求出答案.
（2）设长为，则，根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
22．（2024八下·潮阳期中）我国某巨型摩天轮的最低点距离地面，圆盘半径为．摩天轮的圆周上均匀地安装了若干个座舱（本题中将座舱视为圆周上的点），游客在距离地面最近的位置进舱．小明、小丽先后从摩天轮的底部入舱出发开始观光，当小明观光到点P时，小丽到点Q，此时，且小丽距离地面．
（1）与全等吗？为什么？
（2）求此时两人所在座舱距离地面的高度差．
【答案】（1）解：，理由如下：
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
又∵，
∴
（2）解：∵，
∴，
∵小丽到点Q，且小丽距离地面，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴两人所在座舱距离地面的高度差为．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；全等三角形的应用；勾股定理
【解析】【分析】（1）根据角之间的关系可得，再根据全等三角形判定定理即可求出答案.
（2）根据全等三角形性质可得，根据勾股定理可得QD，再根据边之间的关系即可求出答案.
23．（2024八下·潮阳期中）数学张老师在课堂上提出一个问题：“通过探究知道：，它是个无限不循环小数，也叫无理数，它的整数部分是1，那么有谁能说出它的小数部分是多少”，小明举手回答：它的小数部分我们无法全部写出来，但可以用来表示它的小数部分，张老师夸奖小明真聪明，肯定了他的说法．现请你根据小明的说法解答：
（1）的整数部分是______．
（2）为的小数部分，为的整数部分，求的值．
（3）已知，其中是一个正整数，，求的值．
【答案】（1）3
（2）解：为的小数部分，为的整数部分，
，，
；
（3）解：，其中是一个正整数，，
，，
．
【知识点】无理数的估值；二次根式的混合运算；求代数式的值-直接代入求值
【解析】【解答】解：（1）
的整数部分为3
【分析】（1）根据无理数的估算方法求解即可；
（2）根据题意得出，，然后代入求解即可；
（3）根据题意得出，，然后代入计算即可．
24．（2024八下·潮阳期中）如图所示，在菱形中，对角线相交于点O，过点D作，且，连接．
（1）求证：四边形是矩形；
（2）连接，交于点F，连接，若，求的长．
【答案】（1）证明：四边形是菱形，
，，
，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，
平行四边形是矩形；
（2）解：∵四边形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵四边形是菱形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴点F为的中点，
∴．
【知识点】勾股定理；菱形的性质；矩形的判定与性质；相似三角形的判定；相似三角形的性质-对应边
【解析】【分析】（1）根据菱形性质可得，，结合题意可得，，再根据矩形判定定理即可求出答案.
（2）根据矩形性质可得，再根据勾股定理可得BE，根据菱形性质可得，由相似三角形判定定理可得，则，即点F为的中点，即可求出答案.
25．（2024八下·潮阳期中）如图1，是我国古代著名的“赵爽弦图”，它是由4个全等的直角三角形围成，即
，其中四边形是正方形，四边形是正方形，如图2，将图1中的线段和线段分别延长到点和点，使，，连接，，，，得到四边形．
（1）求证：四边形是平行四边形；
（2）若，，求四边形的面积．
【答案】（1）证明：，
，，，
，，
，
，，
，，
在和中，
，
，
；
在和中，
，
，
，
四边形是平行四边形．
（2）解：，，
，，
，，
，，
，，
四边形是正方形，
，
，
四边形的面积是86．
【知识点】三角形全等及其性质；平行四边形的判定；正方形的性质；几何图形的面积计算-割补法；“赵爽弦图”模型
【解析】【分析】（1）根据全等三角形性质可得，，，再根据边之间的关系可得，，再根据全等三角形判定定理可得，，则，，再根据平行四边形判定定理即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得MH=9，ME=10，再根据三角形面积可得，，由正方形面积可得，则，即可求出答案.
