广东省广州市白云区八校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·白云期中）二次根式有意义时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024八下·白云期中）以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
3．（2024八下·白云期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
4．（2024八下·白云期中）在 ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
5．（2024八下·白云期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
6．（2024八下·白云期中）下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
7．（2024八下·白云期中）如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
8．（2024八下·白云期中）如图，在 ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则 ABCD的面积为（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
9．（2024八下·白云期中）如图，点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
10．（2024八下·白云期中）在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ．当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'在BC边上可移动的最大距离为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
11．（2024八下·白云期中）计算：( )2= 。
12．（2024八下·白云期中）如图，在中，为的中点，，则的长是 ．
13．（2024八下·白云期中）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于 ．
14．（2024八下·白云期中）若是整数，则正整数n的最小值为 ．
15．（2024八下·白云期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
16．（2024八下·白云期中）如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 (填正确的序号)．
17．（2024八下·白云期中）计算 = ．
18．（2024八下·白云期中）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
19．（2024八下·白云期中）如图，在中，，，，，，求四边形的面积．
20．（2024八下·白云期中）已知，，求下列各式的值．
（1）．
（2）．
21．（2024八下·白云期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
22．（2024八下·白云期中）如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点恰好在线段BE上． 若AD=3，DE=1．
（1）求证：AB=BE；
（2）求AB的长．
23．（2024八下·白云期中）如图，在平行四边形ABCD中：
（1）尺规作图：作BC的垂直平分线EF，交BC于点E，交AD与点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE并延长交AB的延长线于点G，求证：AG＝2BG．
24．（2024八下·白云期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
25．（2024八下·白云期中）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
（1）当时，则点坐标为______；
（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
答案解析部分
1．【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案。
2．【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠42，不能组成直角三角形；
B、∵32+42=52，能组成直角三角形；
C、∵42+52=41≠62，不能组成直角三角形；
D、∵52+62=61≠72，不能组成直角三角形，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理计算即可求解．
3．【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、已是最简形式，B不符合题意；
C、已是最简形式，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可求解.
4．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝80°.
故选B
【分析】本题考查平行四边形的性质.根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，据此可∠C＝∠A＝80°，进而可选出答案.
5．【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A：矩形的对角相等，菱形对角也相等，不符合题意；
B：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意；
C：矩形对边相等，菱形对边相等，不符合题意；
D：矩形对角线互相平分，菱形对角线互相平分，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质及菱形的性质即可求出答案.
6．【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
C、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、由对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴（cm）；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
8．【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于，
在中，，
四边形是菱形，
，
又对角线，
，
在中，，
，
菱形的面积为．
故答案为：B．
【分析】连接交于，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，再根据勾股定理可得AO，则，再根据菱形面积即可求出答案.
9．【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可求得OB的长为，由同圆半径相等可得，再根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，结合点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
10．【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当P与B重合时，BA'=BA=6，
CA'=BC﹣BA'=10﹣6=4cm，
②当Q与D重合时，由勾股定理，得
CA'==8cm，
CA'最远是8，CA'最近是4，点A'在BC边上可移动的最大距离为8﹣4=4cm，
故选：C．
【分析】本题考查翻折变换，翻折的性质，勾股定理.分两种情况：当P与B重合时；当Q与D重合时；利用翻折的性质可得BA'=BA=6，利用线段的运算可求出CA'；利用勾股定理可求出CA'，进而可求出点A'在BC边上可移动的最大距离.
11．【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=5.
【分析】根据二次根式的平方的运算法则计算即可。
12．【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，D是中点，，
∴
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
13．【答案】20
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴ ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
【分析】根据平行四边形性质可得AE∥BC，AD=BC，则∠AEB=∠EBC，根据角平分线定义可得∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，即AB=AE，再根据边之间的关系可得AB=CD=4，再根据平行四边形周长即可求出答案.
14．【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴，
即正整数n的最小值为7．
故答案为：7
【分析】根据题意可得是整数，即7n是完全平方数，再求出n的最小值即可。
15．【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】根据两点间距离可得AB=5，根据勾股定理可得DO=4，再根据菱形性质即可求出答案.
16．【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
故④正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
故答案是①②④．
【分析】
根据正方形的性质可得：， ，进而根据SAS可证得，故④正确，由此得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确．
17．【答案】 。
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 。
【分析】化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解
18．【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
19．【答案】解：在中，，，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解．
20．【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）由题意可得，，根据完全平方公式化简代数式即可求出答案.
（2）根据平方差公式化简代数式即可求出答案.
21．【答案】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得AB=15，由题意可得CD=10，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．【答案】（1）证明：由折叠可知：，
∵四边形ABCD是长方形，
∴DCAB，
∴∠DEA=∠EAB，
∴，
∴AB=BE，
（2）解：∵ 四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°
由折叠可知：， ，
∴，
在中，设AB=，则BE=， ，
由勾股定理得：，
解得．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠可知：∠DEA＝∠EA，根据长方形性质可得可得DCAB，则∠DEA=∠EAB，即，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据长方形性质可得∠D=90°，根据折叠性质可得， ，，设AB=，则BE=，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：由折叠可知：，
∵四边形ABCD是长方形，
∴DCAB，
∴∠DEA=∠EAB，
∴，
∴AB=BE，
（2）解：∵ 四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°
由折叠可知：， ，
∴，
在中，设AB=，则BE=， ，
由勾股定理得：，
解得．
23．【答案】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，ABCD，
∴∠G＝∠CDE，
在BEG和CED中，
，
∴BEG≌CED（AAS），
∴BG＝CD，
∴BG＝AB，
∴AG＝2BG．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
（2）根据垂直平分线性质可得BE＝CE，根据平行四边形性质可得AB＝CD，ABCD，则∠G＝∠CDE，再根据全等三角形判定定理可得BEG≌CED（AAS），则BG＝CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
24．【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）当时，四边形是正方形.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】
解：（3）当时，四边形是正方形
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
；
∴四边形是正方形．
故答案为：当时，四边形是正方形.
【分析】（1）根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据菱形性质可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
25．【答案】（2）结论：的周长不变．
理由：将绕点B逆时针旋转得到．
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
的周长．
（3）由（1）可知，，
，
点的运动轨迹是射线，
过点作于，当点与点重合时，的值最小，
最小值，
的最小值为．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作轴于．
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短.
（1）如图，过点作轴于．利用正方形的性质可得，，利用等腰直角三角形的性质和角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可推出，，利用线段的运算可得：，据此可求出点E的坐标 ．
（2）结论：的周长不变．利用旋转的性质可得：，利用角的运算可得
，再结合，，利用全等三角形的判定定理可证明，利用线段的运算可得，利用三角形的周长计算公式进行计算可求出答案.
（3）由（1）可知，，根据等角对等边可推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小，利用等腰直角三角形的性质可求出最小值．
广东省广州市白云区八校联考2023-2024学年八年级下学期期中数学试题
1．（2024八下·白云期中）二次根式有意义时，的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】二次根式有意义的条件
【解析】【解答】解：由题意可得：
，解得：
故答案为：A
【分析】根据二次根式有意义的条件即可求出答案。
2．（2024八下·白云期中）以下各组数为三角形的三条边长，其中是直角三角形的三条边长的是（ ）
A．2，3，4 B．3，4，5 C．4，5，6 D．5，6，7
【答案】B
【知识点】勾股定理的逆定理
【解析】【解答】解：A、∵22+32=13≠42，不能组成直角三角形；
B、∵32+42=52，能组成直角三角形；
C、∵42+52=41≠62，不能组成直角三角形；
D、∵52+62=61≠72，不能组成直角三角形，
故答案为：B．
【分析】根据勾股定理逆定理计算即可求解．
3．（2024八下·白云期中）下列计算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】二次根式的乘除法；二次根式的加减法
【解析】【解答】解：A、，A不符合题意；
B、已是最简形式，B不符合题意；
C、已是最简形式，C不符合题意；
D、，D符合题意.
故答案为：D.
【分析】根据二次根式的运算法则计算即可求解.
4．（2024八下·白云期中）在 ABCD中，∠A=80°，∠B=100°，则∠C等于（ ）
A．60° B．80° C．100° D．120°
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质
【解析】【解答】解：因为平行四边形的对角相等，所以∠C＝∠A＝80°.
故选B
【分析】本题考查平行四边形的性质.根据平行四边形的性质：平行四边形的对角相等，据此可∠C＝∠A＝80°，进而可选出答案.
5．（2024八下·白云期中）矩形具有而菱形不一定具有的性质是（ ）
A．对角相等 B．对角线相等
C．对边相等 D．对角线互相平分
【答案】B
【知识点】菱形的性质；矩形的性质
【解析】【解答】解：A：矩形的对角相等，菱形对角也相等，不符合题意；
B：矩形对角线相等，菱形对角线不一定相等，符合题意；
C：矩形对边相等，菱形对边相等，不符合题意；
D：矩形对角线互相平分，菱形对角线互相平分，不符合题意；
故答案为：B.
【分析】根据矩形的性质及菱形的性质即可求出答案.
6．（2024八下·白云期中）下列条件中，能判断四边形是平行四边形的是（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】D
【知识点】平行四边形的判定
【解析】【解答】解：A、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
B、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
C、不能判断四边形是平行四边形，本选项不符合题意；
D、由对边平行且相等，能判断四边形是平行四边形，本选项符合题意；
故答案为：D
【分析】根据平行四边形判定定理逐项进行判断即可求出答案.
7．（2024八下·白云期中）如图，平行四边形中，对角线、交于点O，点为的中点，且，则的长为（ ）
A．3cm B．6cm C．9cm D．12cm
【答案】B
【知识点】平行四边形的性质；三角形的中位线定理
【解析】【解答】解：∵四边形是平行四边形，
∴；
又∵点E是的中点，
∴是的中位线，
∴（cm）；
故答案为：B．
【分析】根据平行四边形性质可得，再根据三角形中位线定理即可求出答案.
8．（2024八下·白云期中）如图，在 ABCD中，AB＝BC＝5．对角线BD＝8，则 ABCD的面积为（ ）
A．20 B．24 C．40 D．48
【答案】B
【知识点】勾股定理；菱形的判定与性质
【解析】【解答】解：如图所示，连接交于，
在中，，
四边形是菱形，
，
又对角线，
，
在中，，
，
菱形的面积为．
故答案为：B．
【分析】连接交于，根据菱形判定定理可得四边形是菱形，则，，再根据勾股定理可得AO，则，再根据菱形面积即可求出答案.
9．（2024八下·白云期中）如图，点A表示的实数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【知识点】无理数在数轴上表示
【解析】【解答】解：如图，
∵，，
∴，
∵点A在原点的左侧，
∴点A在数轴上表示的实数是．
故答案为：C．
【分析】根据勾股定理可求得OB的长为，由同圆半径相等可得，再根据数轴上的点所表示的数的特点：原点表示数字0，原点左边的点表示负数，原点右边的点表示正数，结合点A在原点的左侧，从而得出点A所表示的数．
10．（2024八下·白云期中）在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10．如图所示，折叠纸片，使点A落在BC边上的A'处，折痕为PQ．当点A'在BC边上移动时，折痕的端点P、Q也随之移动．若限定点P、Q分别在AB、AD边上移动，则点A'在BC边上可移动的最大距离为（ ）
A．8cm B．6cm C．4cm D．2cm
【答案】C
【知识点】勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【解答】解：①当P与B重合时，BA'=BA=6，
CA'=BC﹣BA'=10﹣6=4cm，
②当Q与D重合时，由勾股定理，得
CA'==8cm，
CA'最远是8，CA'最近是4，点A'在BC边上可移动的最大距离为8﹣4=4cm，
故选：C．
【分析】本题考查翻折变换，翻折的性质，勾股定理.分两种情况：当P与B重合时；当Q与D重合时；利用翻折的性质可得BA'=BA=6，利用线段的运算可求出CA'；利用勾股定理可求出CA'，进而可求出点A'在BC边上可移动的最大距离.
11．（2024八下·白云期中）计算：( )2= 。
【答案】5
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：原式=5.
【分析】根据二次根式的平方的运算法则计算即可。
12．（2024八下·白云期中）如图，在中，为的中点，，则的长是 ．
【答案】3
【知识点】直角三角形斜边上的中线
【解析】【解答】解：∵，D是中点，，
∴
故答案为：3．
【分析】根据直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半即可求出答案.
13．（2024八下·白云期中）如图，在□ABCD中，BE平分∠ABC，BC=6，DE=2，则□ABCD的周长等于 ．
【答案】20
【知识点】等腰三角形的判定；平行四边形的性质；角平分线的概念
【解析】【解答】解：∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AE∥BC，AD=BC，
∴∠AEB=∠EBC，
∵BE平分∠ABC，
∴∠ABE=∠EBC，
∴∠ABE=∠AEB，
∴AB=AE，
∴AE+DE=AD=BC=6，
∴AE+2=6，
∴AE=4，
∴AB=CD=4，
∴ ABCD的周长=4+4+6+6=20，
故答案为：20．
【分析】根据平行四边形性质可得AE∥BC，AD=BC，则∠AEB=∠EBC，根据角平分线定义可得∠ABE=∠EBC，则∠ABE=∠AEB，即AB=AE，再根据边之间的关系可得AB=CD=4，再根据平行四边形周长即可求出答案.
14．（2024八下·白云期中）若是整数，则正整数n的最小值为 ．
【答案】7
【知识点】二次根式的性质与化简
【解析】【解答】解：∵，且是整数，
∴是整数，即是完全平方数，
∴，
即正整数n的最小值为7．
故答案为：7
【分析】根据题意可得是整数，即7n是完全平方数，再求出n的最小值即可。
15．（2024八下·白云期中）如图，在平面直角坐标系xOy中，若菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，则点C的坐标是 ．
【答案】（5，4）
【知识点】坐标与图形性质；勾股定理；菱形的性质
【解析】【解答】解：∵菱形ABCD的顶点A，B的坐标分别为（﹣3，0），（2，0），点D在y轴上，
∴AB=5，
∴DO=4，
∴点C的坐标是：（5，4）．
故答案为：（5，4）．
【分析】根据两点间距离可得AB=5，根据勾股定理可得DO=4，再根据菱形性质即可求出答案.
16．（2024八下·白云期中）如图， 在正方形中， E是对角线上一点， 且满足，连接并延长交于点F，连接， 过B 点作于点G， 延长交于点 H． 在下列结论中∶ ①； ②； ；其中正确的结论有 (填正确的序号)．
【答案】①②④
【知识点】三角形的面积；三角形全等及其性质；等腰三角形的判定与性质；正方形的性质；四边形的综合
【解析】【解答】解：∵是正方形的对角线，
∴，，
在和中，
∵，
∴，
故④正确；
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在和中，
∵，
∴，
∴，
故①正确；
∵，，
∴，
∵，
∴，
∴，
故②正确；
连接，
∵，，
∴，是线段的垂直平分线，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴是等腰三角形，
∵不垂直，
∴，
∴，
∴，
故③不正确；
故答案是①②④．
【分析】
根据正方形的性质可得：， ，进而根据SAS可证得，故④正确，由此得出，从而证明，得出①正确；根据等腰三角形的性质及三角形内角和求出即可求出，得出②正确；连接，判断得出③不正确．
17．（2024八下·白云期中）计算 = ．
【答案】 。
【知识点】二次根式的混合运算
【解析】【解答】 。
【分析】化简第一个二次根式，计算后边的两个二次根式的积，然后合并同类二次根式即可求解
18．（2024八下·白云期中）如图，在中，点E，F分别在BC，AD上，且BE=FD，求证：四边形AECF是平行四边形．
【答案】证明：∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD∥BC，AD=BC，
∴AF∥EC，
∵BE=FD，
∴BC-BE=AD-FD，
∴AF=EC，
∴四边形AECF是平行四边形．
【知识点】平行四边形的判定与性质
【解析】【分析】根据平行四边形的性质可得AF∥EC．AF=EC，结合题目已知条件BE=FD，进而得出AF=EC，然后根据平行四边形的定义即可证得．
19．（2024八下·白云期中）如图，在中，，，，，，求四边形的面积．
【答案】解：在中，，，，
，
，，
，，
，
，
，
四边形的面积为．
【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理
【解析】【分析】根据勾股定理求出，再根据勾股定理的逆定理得到，最后根据，即可求解．
20．（2024八下·白云期中）已知，，求下列各式的值．
（1）．
（2）．
【答案】（1）解：∵，，
∴，
，
∴
；
（2）解：
．
【知识点】完全平方公式及运用；平方差公式及应用；二次根式的加减法；二次根式的化简求值
【解析】【分析】（1）由题意可得，，根据完全平方公式化简代数式即可求出答案.
（2）根据平方差公式化简代数式即可求出答案.
21．（2024八下·白云期中）如图，在离水面高度为8米的岸上，有人用绳子拉船靠岸，开始时绳子的长为17米，此人以1米/秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，问船向岸边移动了多少米？（假设绳子一直保持是直的）
【答案】解：在中：
，米，米，
（米），
此人以1米每秒的速度收绳，7秒后船移动到点的位置，
（米），
（米），
（米），
答：船向岸边移动了9米．
【知识点】勾股定理；勾股定理的实际应用-其他问题
【解析】【分析】根据勾股定理可得AB=15，由题意可得CD=10，再根据勾股定理可得AD，再根据边之间的关系即可求出答案.
22．（2024八下·白云期中）如图，已知E为长方形纸片ABCD的边CD上一点，将纸片沿AE对折，点D的对应点恰好在线段BE上． 若AD=3，DE=1．
（1）求证：AB=BE；
（2）求AB的长．
【答案】（1）证明：由折叠可知：，
∵四边形ABCD是长方形，
∴DCAB，
∴∠DEA=∠EAB，
∴，
∴AB=BE，
（2）解：∵ 四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°
由折叠可知：， ，
∴，
在中，设AB=，则BE=， ，
由勾股定理得：，
解得．
【知识点】等腰三角形的判定；勾股定理；矩形的性质；翻折变换（折叠问题）
【解析】【分析】（1）由折叠可知：∠DEA＝∠EA，根据长方形性质可得可得DCAB，则∠DEA=∠EAB，即，再根据等角对等边即可求出答案.
（2）根据长方形性质可得∠D=90°，根据折叠性质可得， ，，设AB=，则BE=，，再根据勾股定理建立方程，解方程即可求出答案.
（1）证明：由折叠可知：，
∵四边形ABCD是长方形，
∴DCAB，
∴∠DEA=∠EAB，
∴，
∴AB=BE，
（2）解：∵ 四边形ABCD是长方形，
∴∠D=90°
由折叠可知：， ，
∴，
在中，设AB=，则BE=， ，
由勾股定理得：，
解得．
23．（2024八下·白云期中）如图，在平行四边形ABCD中：
（1）尺规作图：作BC的垂直平分线EF，交BC于点E，交AD与点F；（不写作法，保留作图痕迹）
（2）连接DE并延长交AB的延长线于点G，求证：AG＝2BG．
【答案】（1）解：如图，EF为所作；
（2）证明：∵EF垂直平分BC，
∴BE＝CE，
∵四边形ABCD为平行四边形，
∴AB＝CD，ABCD，
∴∠G＝∠CDE，
在BEG和CED中，
，
∴BEG≌CED（AAS），
∴BG＝CD，
∴BG＝AB，
∴AG＝2BG．
【知识点】三角形全等及其性质；三角形全等的判定；线段垂直平分线的性质；平行四边形的性质；尺规作图-垂直平分线
【解析】【分析】（1）利用基本作图作BC的垂直平分线即可；
（2）根据垂直平分线性质可得BE＝CE，根据平行四边形性质可得AB＝CD，ABCD，则∠G＝∠CDE，再根据全等三角形判定定理可得BEG≌CED（AAS），则BG＝CD，再根据边之间的关系即可求出答案.
24．（2024八下·白云期中）如图，在中，，过点C的直线，D为边上一点，过点D作，垂足为F，交直线于E，连接．
（1）求证：；
（2）当D为中点时，四边形是什么特殊四边形？说明你的理由；
（3）在满足（2）的条件下，当满足什么条件时，四边形是正方形？（不必说明理由）
【答案】（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）当时，四边形是正方形.
【知识点】平行线的判定与性质；三角形内角和定理；平行四边形的判定与性质；菱形的判定；正方形的判定
【解析】【解答】
解：（3）当时，四边形是正方形
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
；
∴四边形是正方形．
故答案为：当时，四边形是正方形.
【分析】（1）根据角之间的关系可得，根据直线平行判定定理可得，再根据平行四边形判定定理可得四边形是平行四边形，则，即可求出答案.
（2）根据边之间的关系可得，再根据菱形判定定理即可求出答案.
（3）根据三角形内角和定理可得，再根据菱形性质可得，则，再根据正方形判定定理即可求出答案.
（1）证明：∵，
，
，
，
，
，即，
四边形是平行四边形，
；
（2）解：四边形是菱形，
理由是：∵为中点，
，
，
，
，
∴四边形是平行四边形，
为中点，
，
∴四边形是菱形；
（3）解：当时，四边形是正方形，
理由：∵，，
，
由（2）可知，四边形是菱形，
，
，
∴四边形是正方形．
25．（2024八下·白云期中）如图，在正方形中，边、分别在轴、轴上，点的坐标为，点在线段上，以点为直角顶点，为直角边作等腰直角三角形，交轴于点．
（1）当时，则点坐标为______；
（2）连接，当点在线段上运动时，的周长是否改变，若改变，请说明理由；若不变，求出其周长；
（3）连接，当点在线段上运动时，求的最小值．
【答案】（2）结论：的周长不变．
理由：将绕点B逆时针旋转得到．
，
，
，
，
，，
，
，
，，
，
的周长．
（3）由（1）可知，，
，
点的运动轨迹是射线，
过点作于，当点与点重合时，的值最小，
最小值，
的最小值为．
【知识点】正方形的性质；等腰直角三角形；三角形全等的判定-SAS；三角形全等的判定-AAS；全等三角形中对应边的关系
【解析】【解答】解：（1）如图，过点作轴于．
四边形是正方形，，
，，
是等腰直角三角形，
，，
，，
，
，
，，
，
，
，
．
故答案为：．
【分析】 本题属于四边形综合题，考查正方形的性质，等腰直角三角形的性质，全等三角形的判定和性质，垂线段最短.
（1）如图，过点作轴于．利用正方形的性质可得，，利用等腰直角三角形的性质和角的运算可得：，利用全等三角形的判定定理可证明，利用全等三角形的性质可推出，，利用线段的运算可得：，据此可求出点E的坐标 ．
（2）结论：的周长不变．利用旋转的性质可得：，利用角的运算可得
，再结合，，利用全等三角形的判定定理可证明，利用线段的运算可得，利用三角形的周长计算公式进行计算可求出答案.
（3）由（1）可知，，根据等角对等边可推出，推出点的运动轨迹是射线，过点作于，当点与点重合时，的值最小，利用等腰直角三角形的性质可求出最小值．
