2024-2025学年江西省鹰潭市余江一中高二（下）第一次月考
数学试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知等比数列中，，，则( )
A. B. C. D.
2.下列命题错误的是( )
A. 两个随机变量的线性相关性越强，相关系数的绝对值越接近于
B. 随机变量，若，，则
C. 线性回归直线一定经过样本点的中心
D. 设，且，则
3.已知数列是等比数列，且，公比为，则数列的前项之和为( )
A. B. C. D.
4.若的展开式的二项式系数之和为，则其展开式的常数项为( )
A. B. C. D.
5.任取一个正整数，若是奇数，就将该数乘再加上；若是偶数，就将该数除以反复进行上述两种运算，经过有限次步骤后，必进入循环圈，这就是数学史上著名的“冰雹猜想”又称“角谷猜想”等已知数列满足：，，则( )
A. B. C. D.
6.甲、乙、丙、丁、戊名志愿者参加新冠疫情防控志愿者活动，现有，，三个小区可供选择，每个志愿者只能选其中一个小区则每个小区至少有一名志愿者，且甲不在小区的概率为( )
A. B. C. D.
7.中心极限定理是概率论中的一个重要结论根据该定理，若随机变量，则当且时，可以由服从正态分布的随机变量近似替代，且的期望与方差分别与的均值与方差近似相等现投掷一枚质地均匀分布的骰子次，利用正态分布估算骰子向上的点数为偶数的次数少于的概率为( )
附：若，则，，
A. B. C. D.
8.已知数列的前项和，等差数列满足，，数列满足，设数列的前项和为，若对于，都有，则( )
A. B. C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.下列有关数列的说法正确的是( )
A. 数列，，与数列，，是同一个数列
B. 数列的通项公式为，则是该数列的第项
C. 在数列中，第个数是
D. 数列，，，，，的一个通项公式为
10.已知数列的前项和为，且满足，，，则下列说法正确的有( )
A. 数列为等差数列 B. 数列为等比数列
C. D.
11.在年欧洲杯某小组赛中，共有甲、乙、丙、丁四支队伍进行单循环比赛，即每两支队伍在比赛中都要相遇且仅相遇一次，最后按各队的积分排列名次积分多者名次靠前，积分同者名次并列，积分规则为每队胜一场得分，平一场得分，负一场得分若每场比赛中两队胜、平、负的概率都为，则在比赛结束时( )
A. 四支球队的积分总和可能为分
B. 甲队胜场且乙队胜场的概率为
C. 可能会出现三支球队积分相同且和第四支球队积分不同的情况
D. 丙队在输了一场的情况下，其积分仍超过其余三支球队的积分的概率为
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.张邱健算经是公元世纪中国古代内容丰富的数学著作，书中记载着这样一个问题：“有个女子善织布，每天比前一天多织相同的布，第一天织尺，一个月按天计共织了尺，推算第天该女子织了______尺布”
13.随着城市经济的发展，早高峰问题越发严重，上班族需要选择合理的出行方式某公司员工小明上班出行方式由三种，某天早上他选择自驾，坐公交车，骑共享单车的概率分别为，而他自驾，坐公交车，骑共享单车迟到的概率分别为，结果这一天他迟到了，在此条件下，他自驾去上班的概率是______．
14.若数列满足，在，中插入个，按照原有顺序构成数列，则数列的前项和为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
现有一个六个面分别标有数字，，，，，的正方体骰子，连续抛掷两次，设，分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，．
Ⅰ求的概率；
Ⅱ求的数学期望．
16.本小题分
已知等比数列的公比，，．
求；
设，若，求．
17.本小题分
已知数列的前项和为，且满足，．
证明数列为等比数列，并求出通项公式；
设，求数列的前项和．
18.本小题分
某公司为招聘新员工设计了一个面试方案：应聘者从道备选题中一次性随机抽取道题，按照题目要求独立完成规定：至少正确完成其中道题便可通过面试已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响．
求甲正确完成面试题数的分布列及其期望；
求乙正确完成面试题数的分布列及其方差；
试问：甲和乙谁通过面试的可能性更大？并说明理由．
19.本小题分
已知数列的前项和满足，且．
证明数列为等差数列，并求的通项公式；
设为数列的前项和，求使成立的最小正整数的值；
在数列中，对任意，当时，，若满足，求正整数的最小值．
参考答案
1.
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14.
15.解：Ⅰ有一个六个面分别标有数字，，，，，的正方体骰子，
连续抛掷两次，设，分别为第一次和第二次抛掷骰子落地后朝上的点数，
由题设，，即或，
连续抛掷两次骰子，得到朝上的点数构成的数组共有种可能，
的情况有，，，，，共种，
故，
的情况有，，，，，，，，共种，
故，
的概率为．
Ⅱ由题意，的所有可能值为，，，，，，同分析，
的情况有，，，，，，，共种，
则，
的情况有，，，，，共种，
则，
的情况有，，，共种，
则，
的情况有，共种，则，
．
16解：由题意得，解得，
所以．
由得，
所以，
解得．
17.解：证明：由题设，
则，
即，
则是公比为的等比数列，
又，
所以．
由，
则，
上式两边同时乘以可得，，
两式相减可得，，
所以．
18.解：根据已知：已知道备选题中应聘者甲有道题能正确完成，道题不能完成；
应聘者乙每题正确完成的概率都是，且两位应聘者每题正确完成与否互不影响．
甲正确完成试题数的可能取值为，，，
，，，
所以甲正确完成面试题数的分布列为：
．
乙正确完成面试题数的可能取值为：，，，
，，
，，
所以乙正确完成面试题数的分布列为：
所以，
．
因为，，
所以，所以甲通过面试的可能性大．
19.解：证明：数列的前项和满足，且，
当时，，
又，所以，
当时，，
所以，
可得，所以为等差数列．
又，得，又，所以公差，．
，
所以
要使，即，
解得，所以最小正整数的值为．
，即，
不妨设，，，则．
因为，所以，
同理，，，
所以，
所以，解得，又，所以的最小值为，
故的最小值为．
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