2024-2025学年九年级数学第二学期
期末综合素质评价
一、选择题(每题3分，共30分)
1 如图，把太阳与地平线分别抽象成圆和直线，则该图所呈现的直线与圆的位置关系是( )
A．相切 B．相交 C．相离 D．不确定
2 三个大小一样的正方体按如图摆放，它的俯视图是( )
3 如图，⊙O的直径AB与弦AC的夹角为25°，过点C的切线PC与AB的延长线交于点P，则∠P的度数为( )
A．25°
B．30°
C．35°
D．40°
4 下列图形中是棱锥的侧面展开图的是( )
INCLUDEPICTURE "../24秋+J148.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../24秋+J148.EPS" \* MERGEFORMAT \d
5 在Rt△ABC中，∠C＝90°，若cos B＝，则tan A的值为( )
A. B. C. D.
6 如图，在由边长为1的小正方形组成的网格中，点A，B，C，E在格点上，连结AE，BC，点D在BC上且满足AD⊥BC，则∠AED的正切值是( )
A. B．7 C. D.
7 一个几何体由若干个大小相同的小正方体组成，它的俯视图和左视图如图所示，那么组成该几何体所需小正方体的个数最少为( )
A．4 B．5 C．6 D．7
8 如图是两个同心圆，大圆半径为5 cm，小圆半径为4 cm，若大圆的弦AB与小圆有两个公共点，则AB的取值范围是( )
A．4＜AB＜5 B．6＜AB＜10 C．6≤AB＜10 D．6＜AB≤10
9 如图，一款可调节的笔记本电脑支架放置在水平桌面上，调节杆BC＝a，AB＝b，AB的最大仰角为α.当∠C＝45°时，则点A到桌面的最大高度是( )
A. B. C．a＋bcos α D．a＋bsin α
10 如图，⊙O是正方形ABCD的内切圆，点E，F，G，H分别在正方形ABCD的四条边上，EF和GH分别为⊙O的切线．设△BEF和△DGH的周长分别为a和b，则下列说法正确的是( )
A．ab
C．a＝b D．无法比较a与b的大小
二、填空题(每题4分，共24分)
11 小明和小红在阳光下行走，小明身高1.75 m，他的影长为2.0 m，小红比小明矮7 cm，此刻小红的影长是________m.
12 一轮船以16海里/时的速度从港口A出发向东北方向航行，另一轮船以12海里/时的速度同时从港口A出发向东南方向航行，离开港口1.5小时后，两船相距________．
13 如图，某数学兴趣小组用一张半径为30 cm的扇形纸板做成一个圆锥形帽子(接缝忽略不计)，如果做成的圆锥形帽子的底面半径为8 cm，那么这张扇形纸板的面积为 ________cm2.(结果保留π)
14如图，点O，I分别是锐角三角形ABC的外心、内心，若∠BAC＝8∠OAC＝48°，则∠BCI的度数为________．
15 如图，直线a⊥b，垂足为H，点P在直线b上，PH＝4 cm，O为直线b上一个动点．若以1 cm为半径的⊙O与直线a相切，则OP的长为________．
16某区域平面示意图如图所示，点O在河的一侧，AC和BC表示两条互相垂直的公路．甲勘测员在B处测得点O位于北偏东41.32°，乙勘测员在A处测得点O位于南偏西60°，测得AC＝300 m，BC＝400 m，则点O到AC的距离约为________m．(结果保留整数，参考数据：sin 41.32°≈0.66，cos 41.32°≈0.75，tan 41.32°≈0.88，≈1.73)
三、解答题(17～19题每题6分，20，21题每题8分，22，23题每题10分，24题12分，共66分)
17求下列各式的值：
(1)2sin 30°＋3cos 60°－4tan 45°；
(2)tan 60°－(4－π)0＋2 cos 30°＋.
18 星期六上午兄妹二人在中心广场上玩耍时，妹妹突然微笑着对哥哥说：“咦，哥，我踩到你的‘脑袋’了．”哥哥说：“是因为我们的影子在同一直线上．”如图．请你根据他们的对话，完成下列问题．
(1)画出此时妹妹在阳光下的影子；
(2)若哥哥的身高为1.8 m，哥哥和妹妹之间的距离为3.6 m，而妹妹的影子长为3.2 m，求妹妹的身高．
19某几何体的三视图如图所示，其中主视图中半圆的半径为2.请求出该几何体的体积和表面积．
INCLUDEPICTURE "../母题教材P26作业题T4H.EPS" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "../母题教材P26作业题T4H.EPS" \* MERGEFORMAT \d 如图，堤坝AB长为10 m，坡度i为1∶0.75，底端A在地面上，堤坝与对面的山之间有一深沟，山顶D处立有高20 m的铁塔CD.小明欲测量山高DE，他在A处看到铁塔顶端C刚好在视线AB上，又在坝顶B处测得塔底D的仰角α为26°35′.求堤坝高及山高DE.(sin 26°35′≈0.45，cos 26°35′≈0.89，tan 26°35′≈0.50，小明身高忽略不计，结果精确到1 m)
21如图，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别相切于点D，E，F，∠DEF＝45°.连结BO并延长交AC于点G，AB＝4，AG＝2.
(1)求∠A的度数；
(2)求⊙O的半径．
如图，在菱形ABCD中，对角线AC，BD相交于点E，⊙O经过A，D两点，交对角线AC于点F，连结OF交AD于点G，且AG＝GD.
(1)求证：AB是⊙O的切线；
(2)已知⊙O的半径与菱形的边长之比为5∶8，求tan ∠ADB的值．
在学习《解直角三角形》一章时，小明同学对一个角的倍角的三角函数值与该角的三角函数值是否具有关系产生了浓厚的兴趣，并进行了一些研究．
(1)初步尝试：我们知道：tan 60°＝________，tan 30°＝________，发现结论：tan A________2tan(填“＝”或“≠”)．
(2)实践探究：在解决“在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，求tan的值”这一问题时，小明想构造包含∠A的直角三角形，如图①，延长CA至点D，使得DA＝AB，连结BD，可得∠D＝∠BAC，问题即转化为求∠D的正切值．
请按小明的思路求tan的值．
(3)拓展延伸：如图②，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝.求出tan 2∠A的值．
我们可以通过中心投影的方法建立圆上的点与直线上点的对应关系，用直线上点的位置刻画圆上点的位置，如图，AB是⊙O的直径，直线l是⊙O的切线，B为切点．P，Q是圆上两点(不与点A重合，且在直径AB的同侧)，分别作射线AP，AQ交直线l于点C，D.
(1)如图①，当AB＝6，的长为π时，求BC的长；
(2)如图②，当＝，＝时，求的值；
(3)如图③，当sin∠BAQ＝，BC＝CD时，连结BP，PQ，直接写出的值．
答案
一、1.C 2.C 3.D 4.D 5.A 6.A 7.B 8.D
9．D 【点拨】如图，过点A作AF⊥BE于点F，过点B作BG⊥CD于点G，
在Rt△ABF中，AF＝
AB·sin α＝bsin α，
在Rt△BCG中，BG＝
BC·sin 45°＝a×＝a，
∴点A到桌面的最大高度为BG＋AF＝a＋bsin α.
10．C 【点拨】如图，易知BQ＝AB，BT＝BC，PD＝AD，DY＝DC.
∵四边形ABCD是正方形，
∴AB＝BC＝AD＝DC，
∴BQ＝BT＝DP＝DY.
由切线长定理得QE＝EW，WF＝FT，PH＝HS，SG＝GY，
∴△BEF的周长是BE＋BF＋EW＋WF＝BE＋BF＋QE＋FT＝BQ＋BT＝BC，△DGH的周长是DH＋DG＋HS＋GS＝DH＋DG＋HP＋GY＝DP＋DY＝DC＝BC.
∵△BEF和△DGH的周长分别为a和b，∴a＝b.
二、11.1.92 12.30海里 13.240π
14．24° 【点拨】连结OC.
∵8∠OAC＝48°，∴∠OAC＝6°.
∵点O为△ABC的外心，∴OA＝OC.
∴∠OCA＝∠OAC＝6°.
∴∠AOC＝180°－6°－6°＝168°.
∴∠ABC＝∠AOC＝84°.
∵∠ACB＋∠BAC＋∠ABC＝180°，
∴∠ACB＝180°－48°－84°＝48°.
∵点I为△ABC的内心，∴CI平分∠ACB.
∴∠BCI＝∠ACB＝24°.
15．3 cm或5 cm 【点拨】由题意知⊙O与直线a相切时，切点为H，∵⊙O的半径为1 cm，∴OH＝1 cm.
当点O在点H的左侧，⊙O与直线a相切时，如图①，
OP＝PH－OH＝4－1＝3(cm)；
当点O在点H的右侧，⊙O与直线a相切时，如图②，
OP＝PH＋OH＝4＋1＝5(cm)．
综上OP的长为3 cm或5 cm.
16．276 【点拨】如图，过点O作ON⊥BC于N，OM⊥AC于M，则易知四边形ONCM为矩形，
∴ON＝MC，OM＝NC.
设OM＝NC＝x m，则BN＝(400－x)m，
在Rt△BNO中，∠BON＝41.32°，
∴MC＝ON＝≈ m，
在Rt△AOM中，∠OAM＝60°，∴AM＝＝＝x m.
∵AC＝AM＋CM，∴300≈x＋，解得x≈276，
即点O到AC的距离约为276 m.
三、17.【解】(1)原式＝2×＋3×－4×1＝1＋－4＝－.
(2)原式＝－1＋2×＋4＝－1＋＋4＝2＋3.
18．【解】(1)如图，线段AB为此时妹妹在阳光下的影子．
(2)如图．
∵DE⊥BE，CA⊥EB，∴∠DEA＝∠CAB＝90°.
∵DA∥CB，∴∠DAE＝∠CBA，∴△DAE∽△CBA，∴＝.
∵哥哥的身高为1.8 m，哥哥和妹妹之间的距离为3.6 m，妹妹的影子长为
3.2 m，
即DE＝1.8 m，AE＝3.6 m，AB＝3.2 m，
∴＝，∴CA＝1.6 m，
∴妹妹的身高是1.6 m.
19．【解】由三视图可知，该几何体由一个长、宽、高分别为8，6，4的长方体挖去一个底面直径为4，高为6的半圆柱得到，则S＝6×4×2＋8×6＋2×6×2＋[8×4×2－π]＋4π××6＝184＋8π，V＝8×6×4－π××6＝192－12π.
20．【解】如图，过点B作BH⊥AE于点H，作BF⊥CE于点F，
∵坡度i为1 ∶0.75，∴设BH＝4x m，AH＝3x m.
∴AB＝＝5x m.
∴5x＝10，解得x＝2.
∴AH＝6 m，BH＝8 m.
易得EF＝BH＝8 m，BF＝EH，设DF＝a m，
∴CE＝CD＋DF＋EF＝20＋a＋8＝(28＋a)m.
∵α＝26°35′，∴BF＝≈＝2a(m)．
∴AE≈(6＋2a) m.
∵坡度i为1∶0.75，铁塔顶端C刚好在视线AB上，
∴CE ∶AE＝1∶0.75≈(28＋a)∶(6＋2a)，
解得a≈12.∴DF≈12 m.
∴DE＝DF＋EF≈12＋8＝20(m)．
答：堤坝高为8 m，山高DE约为20 m.
21．【解】(1)连结OD，OF.
∵⊙O是△ABC的内切圆，与AB，AC相切于点D，F，∴OD⊥AB，OF⊥AC.
∴∠ODA＝90°，∠OFA＝90°.
又∵∠DOF＝2∠DEF＝2×45°＝90°，
∴四边形ADOF是矩形．∴∠A＝90°.
(2)设⊙O的半径为r，由(1)知四边形ADOF是矩形．
又∵OD＝OF，∴四边形ADOF是正方形．
∴OD∥AC，AD＝DO＝r.
∴△BOD∽△BGA.∴＝，
即＝，解得r＝.∴⊙O的半径是.
22．(1)【证明】连结OA，∵AG＝GD，∴易得OF⊥AD.
∴∠OGA＝∠FGA＝90°.
∵四边形ABCD是菱形，∴∠GAF＝∠BAF.
∴∠GAF＋∠AFG＝∠BAF＋∠AFG＝90°.
∵OA＝OF，∴∠OAF＝∠OFA.
∴∠OAB＝∠OAF＋∠BAF＝90°.
又∵OA为⊙O的半径，∴AB是⊙O的切线．
(2)【解】设AG＝GD＝4a，
∵⊙O的半径与菱形的边长之比为5 ∶8，
∴OA∶AG＝5∶4.∴OA＝5a＝OF.
∴OG＝＝3a.∴FG＝OF－OG＝2a.
∵四边形ABCD是菱形，∴BD⊥AC，即∠DEA＝90°＝∠FGA.∴∠ADB＝∠AFG.
∴tan ∠ADB＝tan ∠AFG＝＝＝2.
23．【解】(1)；；≠
(2)延长CA至点D，使得DA＝AB，连结BD.
在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝2，BC＝1，
∴AB＝＝＝.
∵AD＝AB，∴AD＝，∠D＝∠ABD，
∴∠BAC＝2∠D，CD＝AD＋AC＝＋2，
∴tan＝tan D＝＝＝－2.
(3)作AB的垂直平分线交AC于点E，连结BE，则AE＝BE，∴∠A＝∠ABE，∴∠BEC＝2∠A.
∵在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝3，tan A＝，
∴BC＝1.设AE＝BE＝x，则EC＝3－x.
在Rt△EBC中，x2＝(3－x)2＋12，解得x＝，
∴EC＝，∴tan 2∠A＝tan ∠BEC＝＝.
24．【解】(1)连结OP，设∠BOP的度数为n°.
∵AB＝6，的长为π，∴＝π.
∴n＝60，即∠BOP ＝60°.∴∠BAP ＝∠BOP＝30°.
∵直线l是⊙O的切线，
∴∠ABC＝90°.∴BC＝AB·tan 30°＝2.
(2)连结BQ，过点C作CF⊥AD于点F.
∵AB为直径，∴∠BQA＝90°.∴cos∠BAQ＝＝.
∵＝，∴∠BAC＝∠DAC.
又∵CF⊥AD，AB⊥BC，∴CF＝CB.
∵∠BAQ＋∠ADB＝90°，∠FCD＋∠ADB＝90°，
∴∠FCD＝∠BAQ.
∴＝＝cos ∠FCD＝cos ∠BAQ＝.
(3)的值为. 【点拨】连结BQ，
∵AB⊥BC，BQ⊥AD，
∴∠ABQ＋∠BAD＝90°，∠ADB＋∠BAD＝90°.
∴∠ABQ＝∠ADC.
又∵∠ABQ＝∠APQ，∴∠APQ＝∠ADC.
又∵∠PAQ＝∠CAD，
∴△APQ∽△ADC.∴＝①.
∵∠BAP＝∠BAC，∠ABC＝∠APB＝90°，
∴△APB∽△ABC.∴＝②.
∵BC＝CD，∴①÷②得＝＝cos∠BAQ.
∵sin∠BAQ＝，∴cos∠BAQ＝.∴＝.
