内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
一、单选题
1．下列命题中，错误的是（ ）
A．同位角相等，两直线平行
B．过一点有且只有一条直线与已知直线垂直
C．两点确定一条直线
D．三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和
2．下列命题中，真命题的个数是（ ）
①对顶角相等；
②两直线平行，同旁内角相等；
③平行于同一条直线的两直线平行；
④若正数a，b满足，则
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
3．有下列生活实例：①交通道路上的斑马线；②天上的彩虹；③百米跑道线；④一段平直的火车铁轨线．其中属于平行线的有（ ）
A．1个 B．2个 C．3个 D．4个
4．如图，中，，，，，为直线上一点，连接，则线段的值不可能是（ ）
A．4.8 B．6 C．4 D．5
5．图1是某品牌共享单车放在水平地面的实物图，图2是其示意图，其中，，，若，则的度数为（ ）
A． B． C． D．
6．探讨关于x的一元二次方程总有实数根的条件，下面三名同学给出建议：甲：a，b同号；乙：；丙：．其中符合条件的是（ ）
A．甲，乙，丙都正确 B．只有甲不正确 C．甲，乙，丙都不正确 D．只有乙正确
7．下列命题的逆命题是真命题的有（ ）
①等边三角形是锐角三角形；②全等三角形的对应角相等；③平行四边形的对角线相互平分；④两组对角分别相等的四边形是平行四边形．
A．③④ B．①②③ C．②③④ D．②③
8．如图，已知直线，则、、之间的关系是（ ）
A． B．
C． D．
9．如图，C为线段上一动点（不与点A，E重合），在同侧分别作等边三角形和等边三角形、与交于点O，与交于点P，与交于点Q，连接． 以下六个结论：①；②；③；④；⑤；⑥为等边三角形．正确的结论有（ ）
A．①②③④⑤⑥ B．①②③④⑤ C．①②③④⑥ D．①②③⑤⑥
10．如图，在正方形中，E是对角线上的动点，以为边作正方形，M是的中点，连接，若正方形的边长为8，则的最小值为（ ）
A．2 B． C． D．4
二、填空题
11．如图，∠B的同位角是 ．
12．若m，n为实数，且，则的平方根是 ．
13．如图，直线l1//l2，AB⊥CD，∠1=40°，则∠2= ．
14．等腰三角形一个外角为，则此等腰三角形顶角是 度．
15．如图，在中，于点E，D是线段上的一个动点，则的最小值是 ．
16．如图，半径为2的⊙O与直线l相切于点A，P是⊙O上的一个动点（不与点A重合），过点P作PB⊥l，垂足为B，连接PA．设PA=x，PB=y，则（x-y）的最大值是 ．
三、解答题
17．如图所示，与是哪两条直线被另一条直线所截，构成的是什么角的关系？与呢？
18．（1）如图1，分别把两个边长为1dm的小正方形沿一条对角线裁成4个小三角形，可以拼成一个大正方形，由此可知，小正方形的对角线长为______dm．
（2）若一个圆的面积与一个正方形的面积都是，则圆的周长，正方形的周长的大小关系是：______（填“＝”或“＜”或“＞”号）
（3）如图2，若正方形的面积为，李明同学想沿这块正方形边的方向裁出一块面积为的长方形纸片，使它的长和宽之比为，他能裁出吗？请说明理由？
19．如图，O是直线上的点，在同一直线上，且分别是和的平分线，，垂足为D．
(1)试判断与的位置关系，并说明理由；
(2)若，与是否平行？请说明理由．
20．如图1，在四边形ABCD中，∠ABC+∠ADC=180°，BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，∠ADF与∠AFD互余．
(1)试判断直线BE与DF的位置关系，并说明理由；
(2)如图2，延长CB、DF相交于点G，过点B作BH⊥FG，垂足为点H，试判断∠FBH与∠GBH的大小关系，并说明理由．
21．如图，在正方形网格中有一个，按要求进行下列作图（只能借助于网格）
(1)分别画出中边上的高、边上的中线；（要求：适当加黑加粗，并标出点H和点G的位置）
(2)连接，那么与的位置关系是_______；
(3)画一个（要求各顶点在格点上），使其面积等于的面积的2倍．
22．如图1，AB，BC被直线AC所截，点D是线段AC上的点，过点D作，连接AE，．
(1)求证：
(2)将线段AE沿着直线AC平移得到线段PQ，连接DQ．若，
①如图2，当时，则的度数是_____；
②在整个运动中，当时，求的度数．
23．如图所示，点，，且，满足．若为轴上异于原点和点的一个动点，连接，以线段为边构造等腰直角（为顶点），连接．
(1)如图所示，直接写出点的坐标为 ，点的坐标为 ；
(2)当点的坐标为时，求出点的坐标；此时，连接，， 度；
(3)如图所示，点在轴上运动过程中，若所在直线与轴交于点，请直接写出点的坐标为 ，当的值最小时，请直接写出此时与之间的数量关系 ．
(4)当最短时，在轴上是否存在点，使是等腰三角形，如果存在，直接写出点的坐标；如果不存在，请说明理由．
内蒙古自治区锡林郭勒盟三县联考2024-2025学年七年级下学期4月月考数学试题
参考答案
题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
答案 B C C C B B A D D C
1．B
【详解】A.同位角相等，两直线平行，故原命题为真命题，不符合题意；
B.在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直，故原命题为假命题，符合题意；
C.两点确定一条直线，故原命题为真命题，不符合题意；
D.三角形的一个外角等于和它不相邻的两个内角的和，故原命题为真命题，不符合题意；
故选：B
2．C
【详解】解：①根据对顶角的性质，对顶角相等，所以①是真命题．
②两直线平行，同旁内角互补，所以②是假命题．
③平行于同一条直线的两直线平行，所以③是真命题．
④因为a，b是正数，且满足，两边开方，得到所以④是真命题．综上所述，真命题有①③④共3个．
故选C．
3．C
【详解】解：根据平行线的定义可知①③④是平行线，②天上的彩虹不是直线，故不是平行线，
所以属于平行线的有3个，
故选D．
4．C
【详解】解：在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AC=6，BC=8，AB=10，
∵当PC⊥AB时，PC的值最小，
Rt△ABC中，由等面积法可得：AC×BC=AB×PC，
代入数据：6×8=10×PC，
∴ PC=4.8，
∵C选项中，
∴ 线段的值不可能是4．
故选C．
5．B
【详解】解：，
，
，
，
，
，
故选：B．
6．B
【详解】解：关于x的一元二次方程根的判别式为：，
甲：当a，b同号时，若两数均为负数，就不能确保的符号为正，不符合题意；
乙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；
丙：当时，得到，从而，总有实数根，符合题意；
综上所述，甲的建议不能满足题意、乙和丙的建议满足题意，
故选：B．
7．A
【详解】解：①等边三角形是锐角三角形；
逆命题为：锐角三角形是等边三角形，故逆命题是假命题；
②全等三角形的对应角相等；
逆命题：对应角相等的两个三角形全等，故逆命题是假命题；
③平行四边形的对角线相互平分；
逆命题：对角线相互平分的四边形是平行四边形，故逆命题是真命题；
④两组对角分别相等的四边形是平行四边形；
逆命题：平行四边形的两组对角分别相等，故逆命题是真命题．
故选：A．
8．D
【详解】解：过向左作射线，
则，
∴，
，
，
，
．
故选：D．
9．D
【详解】解：∵和都是等边三角形，
∴，，，
∴，
∴，
∴，
故①正确；
∵，
∴，
又，，
∴，
∴，
∴是等边三角形，
∴，，
∴，
故②、③、⑥正确；
∵，，
∴，
故⑤正确；
∵，，
∴，
又，
∴，
故④错误，
故正确的有①②③⑤⑥，
故选：D．
10．C
【详解】连接并延长与的延长线交于点K，过点M作于T，如图所示：
∵四边形和四边形均为正方形，
∴，，，，，
∴，，
∴，
在和中，
，
∴，
∴，，
∴当点E与点A重合时，点G与点C重合，当点E与点C重合时，点G与点K重合，
即当点E在线段AC上运动时，点G在线段CK上运动，
根据“垂线段最短”可知：当时，为最短，
即当点G与点T重合时，为最小，最小值为线段的长．
∵，，
∴为等腰直角三角形，即，
∵，点M为的中点，
∴，
由勾股定理得：，
∴，
∴．
∴的最小值为 ，
故选：C．
11．∠ACD
【详解】解：∠B与∠ACD是AB和AC被BD所截而成的同位角，
故答案为：∠ACD．
12．
【详解】解：∵，
∴，即，
∴的平方根是．
故答案为：．
13．/50度
【详解】解：如图：，
，
又，
，
，
．
故答案为：．
14．
【详解】解：∵等腰三角形的一个外角是，
∴与这个外角相邻的内角为，
∴该等腰三角形的顶角是130度．
故答案为：．
15．20
【详解】解：过点D，C分别作于点H，于点M．
，
，
，
设，
，
，
，
或（舍去），
，
，
，
，
，
，
的最小值为20．
16．1
【详解】解：如图，作直径AC，连接CP，
∵AC为直径，
∴∠CPA=90°，
∵AB为切线，
∴CA⊥AB，
又∵PB⊥l，
∴AC∥PB，
∴△APC∽△PBA，
∴，
∵PA=x，PB=y，r=2，
∴，
∴，
∴，
∴当时，有最大值是1，
故答案为：1．
17．与是与被直线所截形成的内错角；与是与被直线所截形成的同旁内角
【详解】解：与是与被直线所截形成的内错角；
与是与被直线所截形成的同旁内角．
18．（1）；（2）＜；（3）不能，理由见解析
【详解】解：（1）∵小正方形的边长为1dm，
∴小正方形的对角线长为= (dm) ，
故答案为：；
（2）设圆的半径为r cm，正方形的边长为a cm，
∵一个圆的面积与一个正方形的面积都是2π cm2，
∴r=，a=，
∴C圆=2π=cm，C正=4=cm，
∵8π2＜32π，
∴C圆＜C正，
故答案为：＜；
（3）不能裁出，
理由：设长方形的长为3x cm，宽为2x cm，
令3x 2x=12，
解得：x=±，
∵x＞0，
∴x=，
∴长方形的长为3cm，
∵=4，
∴正方形的边长为4cm，
∵3＞4，
∴不能裁出这样的长方形纸片．
19．(1)，理由见解析
(2)，理由见解析
【详解】（1）解：，理由如下：
∵分别是和的平分线，
∴．
∵，
∴，即，
∴．
（2）解：，理由如下：
由（1）已得：，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴．
20．(1)BE//DF，理由见解析；
(2)∠FBH=∠GBH，理由见解析．
【详解】（1）BE//DF，
理由：∵BE、DF分别是∠ABC与∠ADC的平分线，
∴∠ABE=∠CBE=∠ABC，∠ADF=∠CDF=∠ADC，
∵∠ABC+∠ADC=180°，
∴∠ABE+∠ADF=90°，
∵∠ADF与∠AFD互余，
∴∠ADF+∠AFD=90°，
∴∠ABE=∠AFD，
∴BE//DF；
（2）∠FBH=∠GBH，
理由：由（1）知BE//DF，
∴BE//DG，
∴∠EBH+∠DHB=180°，
∵BH⊥FG，
∴∠DHB=90°，
∴∠EBH=180°﹣∠DHB=90°．
∴∠CBE+∠GBH=180°﹣∠EBH=90°，
∵∠ABE+∠ABH=∠EBH=90°，
∵∠ABE=∠CBE，
∴∠ABH=∠GBH，
即∠FBH=∠GBH．
21．(1)见详解；
(2)平行
(3)见详解
【详解】（1）解：如图，为中边上的高，为中边上的中线：
；
（2）解：如图，连接，由作图可得，
∴；
故答案为：平行；
（3）解：如图，即为要求作的三角形；
证明：由题意得，
，
∴．
22．(1)证明见详解．
(2)①②或．
【详解】（1）证明：∵
∴
又∵
∴
∴
（2）解：①如图3，过点D作
则，
∴，，
∴，
而，
∴，
故答案为：．
②如图4，当点P在线段AD上时，
过点D作交AB于点F，
∵，
∴，
∴，
∵，
即，
∵，
∴，
∴，
∴．
如图5，当点P在线段DA的延长线上时，
过点D作交AB于点，
∵，
∴，
∴，
∵，即，
∵，
∴，
∴，
∴，
综上所述：的度数为或．
23．(1)，
(2)，
(3)，
(4)存在，或或或
【详解】（1）解：，
，，
，，
，,
故答案为：，；
（2）解：如图，过点作轴于点，
，
，
在等腰直角中，，，
，
，
，
，
在和中，
，
，
，，
，，
，，
，，
，
，
又，
，
，
，
，
即，
故答案为：；
（3）解：由（2）可得：，
，，
又，
，
，
即，
，
，
，
，
，
，
，
，
如图，取点，连接，连接交于点，
，
，，
，
，
，
，
即，
在和中，
，
，
，，
又，
，
，即，
垂直平分，
点与点关于直线对称，
如图，连接交于点，连接，
垂直平分，
，
此时最小，，
，
是的角平分线，
点到，的距离相等，
，，
，
又，
，
，
，
故答案为：，；
（4）解：存在，理由如下：
由（2）、（3）可得：，
当点在轴上运动时，点在直线上运动，
根据垂线段最短可知：当时，最短，
如图，过点作于点，过点作于点，
，
，即，
，
，
，
，
，
又，
，
，，
设，若是等腰三角形，分三种情况讨论：
当时，
则有：，
即：，
解得：，
；
当时，
则有：，
即：，
解得：，，
或；
当时，
则有：，
即：，
解得：（此时点与点重合，故舍去），，
；
综上所述，点的坐标为或或或．
