内蒙古2025年初中学业水平考试猜题卷01
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．“升”是中国古代常用的计量工具，主要用于测量粮食、液体的体积．如图是一种“升”的示意图，则它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【知识点】判断简单几何体的三视图
【分析】本题主要考查了简单几何体的三视图，主视图是从正面看到的图形，据此求解即可．
【详解】解：从正面看，看到的图形是一个上底比下底大的等腰梯形，且在下底下面有一条横着的实线，即看到的图形如下：
故选：A．
2．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果收入元记作元，则支出元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
【答案】C
【知识点】相反意义的量
【分析】此题考查了相反意义的量和正负数的意义，掌握以上知识是解题的关键；
本题根据相反意义的量和正负数的意义进行解答即可．
【详解】解：如果收入元记作元，则支出元记作元；
故选：C；
3．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【知识点】根据平行线的性质求角的度数、三角形内角和定理的应用、作角平分线(尺规作图)
【分析】本题考查了尺规作角平分线，平行线的性质，掌握以上知识，数形结合分析是关键．
根据作图可得是角平分，由平行可得，在中有内角和定理即可求解．
【详解】解：根据题意可得是角平分，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
故选：A ．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【知识点】合并同类项、同底数幂相乘、计算单项式乘多项式及求值、运用完全平方公式进行运算
【分析】此题考查整式的计算，根据合并同类项法则，单项式乘以多项式法则，同底数幂乘法法则，完全平方公式法则计算，并判断
【详解】解：A.与不是同类项，不能合并，故原选项错误；
B.，，故原选项正确；
C.，故原选项错误；
D.，故原选项错误；
故选：B
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【知识点】利用数轴比较有理数的大小、根据点在数轴的位置判断式子的正负、绝对值的意义
【分析】本题考查了根据点在数轴的位置判断式子的正负，绝对值的意义，利用数轴表示有理数的大小，正确掌握相关性质内容是解题的关键．先由数轴得出，据此逐个选项进行分析，即可作答．
【详解】解：由数轴得出，
∴A选项不符合题意；
则，
∴B选项不符合题意；
∵，
则，
∴，
∴C选项不符合题意；
∵，
∴，
∴D选项符合题意，
故选：D
6．如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（）与注水时间（）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【知识点】函数图象识别
【分析】本题考查利用函数图象描述实际问题的变化情况，涉及函数图象的识别，根据化学实验仪器圆底烧瓶的形状，可准确描述水的深度（）的上升速度与注水时间（）的关系，从而得到答案，数形结合是解决问题的关键．
【详解】解：化学实验仪器圆底烧瓶，当向烧瓶中匀速注水时，烧瓶中水的深度变化情况会随着注水时间的增加，由急到缓，再由缓到急，到烧瓶颈部时会匀速上升，
综上所述，能近似反映烧瓶中水的深度（）与注水时间（）关系的是：
，
故选：D．
7．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
【答案】A
【知识点】求其他不规则图形的面积
【分析】根据圆的面积公式，扇形的面积公式，正方形的面积公式，弓形的面积，分割法求面积解答即可．
【详解】解：设的中点为Ｇ，连接，
∵正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，，
∴，，
∴四边形是正方形，
∴三个空白的面积分别为：，，，
∴图中阴影部分的面积为 ，
故选：Ａ．
【点睛】本题考查了圆的面积公式，扇形的面积公式，正方形的面积公式，弓形的面积，分割法求面积，熟练掌握公式是解题的关键．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C
【知识点】y=ax +bx+c的图象与性质、根据二次函数的图象判断式子符号
【分析】本题考查了抛物线与x轴的交点、二次函数图象与系数的关系以及二次函数图象上点的坐标特征，逐一分析五条结论的正误是解题的关键．利用二次函数的性质可以判断各个小题即可完成解答．
【详解】解：抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴是直线，
抛物线与轴的另一个交点坐标为，因此①不正确；
当时，，
由图象可知此时，即，因此②正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴，故③正确；
对称轴是直线，即，
∴，而，
∴当时，，
∴顶点为，因此④正确；
在对称轴的左侧，随的增大而减小，
即：当时，随的增大而减小，因此⑤不正确；
综上所述，正确的结论有②③④，共3个，
故选：C．
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．已知2和分别是一元二次方程的两根，则 ．
【答案】4
【知识点】一元二次方程的根与系数的关系
【分析】本题主要考查了一元二次方程根与系数的关系，对于一元二次方程，若是该方程的两个实数根，则，据此可得，则．
【详解】解：∵2和分别是一元二次方程的两根，
∴，
解得，
故答案为：4．
10．【跨学科整合】正确佩戴近视眼镜，可以帮助矫正视力．根据物理学知识，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距是，小张眼睛近视度数为250度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为 ．
【答案】40
【知识点】实际问题与反比例函数
【分析】本题考查实际问题与反比例函数．设出解析式，利用若400度的近视眼镜镜片的焦距是求出解析式，再将代入求解即可．
【详解】解：设解析式为：，
由题有：，解得：，
，
当时，，
则200度的近视眼镜镜片的焦距是．
故答案为：40．
11．太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为 ；（结果精确到；参考数据：，，）
【答案】
【知识点】其他问题（解直角三角形的应用）
【分析】本题考查了解直角三角形的应用，根据题意算出，再结合线段的中点得，运用直角三角形的两个锐角互余得，然后根据，代入数值进行计算，即可作答．
【详解】解：过点C作，如图所示：
∴太阳光与地面的夹角为，太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高
∴，
∵点C是的中点，，
∴
在中，，，
∴，
∴，
故答案为：．
12．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为 ．
【答案】
【知识点】三角形的外角的定义及性质、线段垂直平分线的性质、等边对等角、折叠问题
【分析】连接，设的平分线与交于点E，求出， ，根据垂直平分，得到，即，进一步可得，利用垂直平分，得到，由折叠的性质可知：，所以，进一步可得．
【详解】解：连接，设的平分线与交于点E，如图
∵，，
∴，
∵平分，
∴，
∵垂直平分，
∴，即，
∴，
∵，平分，
由三线合一的性质可得：垂直平分，
∴，即，
由折叠的性质可知：，
∴，
∴，
故答案为：
【点睛】本题考查了角平分线的定义、线段垂直平分线的性质、等腰三角形的性质以及折叠的性质，三角形外角的性质，解题的关键是熟练掌握以上相关知识点，并能够综合运用．
三、解答题（共64分）
13．（本题10分）计算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【知识点】含乘方的有理数混合运算、求一个数的算术平方根、分式加减乘除混合运算、零指数幂
【分析】（1）先分别计算乘方运算、绝对值、算术平方根和零指数幂，最后由有理数加减运算求解即可得到答案；
（2）先计算括号里面的异分母分式减法运算，再因式分解，并将除法转换为乘法，约分化简即可得到答案．
【详解】（1）解：
；
（2）解：
．
【点睛】本题考查实数混合运算、分式化简等知识，涉及乘方运算、绝对值、算术平方根、零指数幂、有理数加减运算、通分、因式分解、约分等知识，熟练掌握实数相关运算法则及分式混合运算方法是解决问题的关键．
14．（本题10分）某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
学生成绩扇形统计
等级 成绩
A
60x<70
90x≤100
(1)学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图；
(2)若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？
(3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率．
【答案】(1)16，；频数分布直方见解析
(2)2944人
(3)
【知识点】由样本所占百分比估计总体的数量、求扇形统计图的圆心角、频数分布直方图、列表法或树状图法求概率
【分析】（1）先根据等级的人数和所占百分比求出本次调查的人数，进而求出和的人数，求出扇形统计图中D等级的圆心角度数，然后补全频数分布直方图即可；
（2）根据用样本评估总体的性质计算，即可得到答案；
（3）根据题意画出正确的树状图，据此根据树状图进一步分析求解即可．
【详解】（1）解：根据题意，得等级的学生人数为：50人，等级的学生人数占比为：，
本次调查随机抽取的学生总数为：（人，
等级的学生人数占比为：，
等级的学生人数为：（人，
即，
等级的学生人数为：（人，即，
等级的学生人数为70人，
扇形统计图中D等级的圆心角度数为，
等级的学生人数为：（人，
频数分布直方图如下：
；
故答案为：16，；
（2）解：成绩在60分及以上的学生人数占比为：，
全校估计成绩及格的学生有2944人；
（3）解：画树状图如下：
由图可知，共有12种等可能得结果，其中恰好是一名男生和一名女生的结果有8种，
所以恰好是一名男生和一名女生的概率．
【点睛】本题考查了调查统计的知识，列表法或树状图法求概率，解题的关键是熟练掌握频率分布直方图、扇形统计图、用样本评估总体的性质，从而完成求解．
15．（本题8分）年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧 某文具店果断订购了印有影片图案的、B两种书签．经统计：订购张种书签与张种书签，成本共计元；而订购张种书签和张种书签，则需花费元．
(1)求、两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文具店计划购进、两种书签共张，由于种书签更契合消费者喜好，种书签的购进数量不超过种书签数量三分之一，已知、两种书签的销售单价分别为元和元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
【答案】(1)种书签每张进价元，种书签每张进价元；
(2)购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元．
【知识点】分配问题(二元一次方程组的应用)、最大利润问题(一次函数的实际应用)
【分析】本题主要考查了二元一次方程组的应用，一次函数的实际应用．解决本题的关键是列出利润与购买种书签的数量之间的函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案．
设种书签每张进价元，种书签每张进价元，根据两种不同的购买方案所需要的费用列方程组求解即可；
设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，可以得到所获利润与购买种书签的数量之间的一次函数关系式，利用一次函数的性质确定购买方案即可．
【详解】（1）解：设种书签每张进价元，种书签每张进价元，
根据题意可得：，
解方程组得：，
答：种书签每张进价元，种书签每张进价元；
（2）解：设文具店共购进张种书签，则购进种书签张，
根据题意可得：，
解得：，
文具店在这批书签全部售出后获得利润为:
，
销售利润随着的增大而增大，
当时，销售利润最大，
最大利润为(元)，
(张)，
当购买张种书签、张种书签时，所获利润最大，最大利润为元．
16．（本题11分）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
【答案】(1)见解析
(2)见解析
(3)2
【知识点】含30度角的直角三角形、等腰三角形的性质和判定、圆周角定理、证明某直线是圆的切线
【分析】此题重点考查切线的判定、直径所对的圆周角是直角、等腰三角形的判定与性质、等边三角形的判定与性质、平行线的判定与性质、直角三角形中角所对的直角边等于斜边的一半等知识，正确地作出所需要的辅助线是解题的关键．
（1）连接，由证明，得，即可证明直线是的切线；
（2）由线段是的直径证明，再根据等角的余角相等证明，则；
（3）由，证明，则是等边三角形，所以，则，所以，再证明，得．
【详解】（1）证明：如图，连接，则，
，
平分，
，
，
，
，
，
是的半径，且，
直线是的切线；
（2）证明：线段是的直径，
，
，
，，
，
，
；
（3）解：，，
，
是等边三角形，
，
，，
，
，
，
，
，
．
17．（本题12分）已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结．
(1)如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）．
(2)如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整．
证明：延长到点，使，连结，如图③，
为的中点，
，
又，，
，
．．．．．．
(3)若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____．
【答案】(1)；
(2)见解析；
(3)．
【知识点】全等的性质和SAS综合（SAS）、用勾股定理解三角形、根据正方形的性质求线段长、根据旋转的性质求解
【分析】（1）证明，可得，而，即知；
（2）延长到，使，连接，由，可得，即知，由绕点B顺时针旋转得到，有，得，故，即得，故，从而；
（3）取的中点，连接，可得，，在中，，故当共线时，最大，最大为，即可得答案．
【详解】（1）解：，理由如下：
∵四边形是正方形，
，
∵将绕点顺时针旋转得到，
在上，，
∵，
，
，
为斜边的中点，
，
；
（2）解：（1）中线段和的数量关系仍然成立，理由如下：
延长到，使，连接，如图：
为的中点，
，
，
，
，
，
绕点顺时针旋转得到，
，
，
，
，
，
，
，
；
（3）解：取的中点，连接，如图：
为中点，
为的中位线，
，
，
，
在中，，
∴当共线时，最大，最大为，如图：
此时，
∴线段的最大值为，
故答案为：．
【点睛】本题考查四边形综合应用，涉及全等三角形的判断与性质，勾股定理，三角形中位线定理等知识，解题的关键是作辅助线，构造全等三角形．
18．（本题13分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
【答案】(1)抛物线的表达式为
(2)点的坐标为
(3)存在，或或
【知识点】待定系数法求二次函数解析式、利用平行四边形的性质求解、面积问题(二次函数综合)、特殊四边形(二次函数综合)
【分析】（1）利用抛物线的交点式直接代值求解即可得到答案；
（2）过点作轴的垂线，交于，如图所示，由二次函数图象与性质，利用平面直角坐标系中三角形的面积求法得到 ，进而由二次函数最值的求法即可得到答案；
（3）根据平行四边形的对角线互相平分，则逐个情况进行讨论，运用中点公式列式计算，即可作答．
【详解】（1）解：抛物线与轴交于，两点，
设抛物线的交点式为，
即抛物线的表达式为；
（2）解：过点作轴的垂线，交于，如图所示：
由（1）知抛物线的表达式为，
抛物线与轴交于点，
设直线，
将、代入得，
解得，
直线，
点是抛物线上位于线段下方的一个动点，
设，则，
，
，
抛物线开口向下，当时，有最大值，
此时点的坐标为；
（3）解：存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形，过程如下：
∵、，，且点，，，为顶点的四边形是平行四边形，
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
∴当为对角线时，则，
∴，
解得，
∴点的坐标为；
综上所述：点的坐标为或或．
【点睛】本题考查二次函数综合，涉及待定系数法确定函数解析式、二次函数图象与性质、平面直角坐标系中求三角形面积、二次函数最值、平行四边形的性质，中点公式，熟练掌握二次函数图象与性质、二次函数综合问题的解法是解决问题的关键．
内蒙古2025年初中学业水平考试猜题卷01
一、选择题（每小题3分，共24分）
1．“升”是中国古代常用的计量工具，主要用于测量粮食、液体的体积．如图是一种“升”的示意图，则它的主视图为（ ）
A． B．
C． D．
2．我国是历史上最早认识和使用负数的国家．如果收入元记作元，则支出元记作（ ）
A．元 B．元 C．元 D．元
3．如图，，以点为圆心，适当长为半径画弧，分别交于点，再分别以点为圆心，大于长为半径画弧，两弧相交于点，画射线交于点．若，则的大小为（ ）
A． B． C． D．
4．下列运算正确的是（ ）
A． B． C． D．
5．实数a，b在数轴上的对应点的位置如图所示，下列结论中正确的是（ ）
A． B． C． D．
6．如图是化学实验仪器圆底烧瓶，现向烧瓶中匀速注水，下列图象中能近似反映烧瓶中水的深度（）与注水时间（）关系的是（ ）
A． B．
C． D．
7．如图，先以正方形的边为直径画圆，然后以为圆心，为半径画，最后以的中点为圆心，为半径画与交于点，若，则图中阴影部分的面积为（ ）
A． B． C．4 D．
8．在平面直角坐标系中，抛物线与轴的一个交点坐标为，对称轴为直线，其部分图象如图所示，下列结论：①抛物线不过原点；②；③；④抛物线的顶点坐标为；⑤当时，随的增大而增大．其中结论正确的个数是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
二、填空题（每小题3分，共12分）
9．已知2和分别是一元二次方程的两根，则 ．
10．【跨学科整合】正确佩戴近视眼镜，可以帮助矫正视力．根据物理学知识，近视眼镜的度数（度）是镜片焦距的反比例函数，已知400度近视眼镜镜片的焦距是，小张眼睛近视度数为250度，如果他要配一副近视眼镜，那么他配的近视眼镜镜片的焦距为 ．
11．太阳能是清洁、安全和可靠的能源．如图是一个太阳能面板及其侧面示意图，点C是的中点，．当太阳光与地面的夹角为，已知太阳光与面板垂直时，太阳面板吸收光能的效率最高，则此时支架C端离地面的高度为 ；（结果精确到；参考数据：，，）
12．如图，中，，，的平分线与的垂直平分线相交于点，点、分别在、上，点沿折叠后与点重合，则的度数为 ．
三、解答题（共64分）
13．（本题10分）计算：
(1)；
(2)．
14．（本题10分）某校开展了以“学习百年党史，汇聚团结伟力”为主题的知识竞赛，竞赛结束后随机抽取了部分学生成绩进行统计，按成绩分成，五个等级，并绘制了如下不完整的统计图．请结合统计图，解答下列问题：
学生成绩扇形统计
等级 成绩
A
60x<70
90x≤100
(1)学生成绩频数分布直方图中A等级的频数___________，扇形统计图中D等级的圆心角度数为___________，补全学生成绩频数分布直方图；
(2)若成绩在60分及以上为及格，全校共有3200名学生，估计成绩及格的学生有多少人？
(3)本次成绩前四名有2名女生和2名男生，若从这四人中随机抽取2名同学代表学校参加比赛，请用画树状图或列表法求出恰好是一名男生和一名女生的概率．
15．（本题8分）年春节档，电影《哪吒之魔童闹海》掀起观影热潮，其周边文创产品也备受消费者追捧 某文具店果断订购了印有影片图案的、B两种书签．经统计：订购张种书签与张种书签，成本共计元；而订购张种书签和张种书签，则需花费元．
(1)求、两种书签每张的进价分别是多少元？
(2)该文具店计划购进、两种书签共张，由于种书签更契合消费者喜好，种书签的购进数量不超过种书签数量三分之一，已知、两种书签的销售单价分别为元和元，如何规划购买方案，才能使文具店在这批书签全部售出后获得最大利润？最大利润是多少？
16．（本题11分）如图，以线段为直径作，交射线于点，平分交于点，过点作直线于点，交的延长线于点．连接并延长交于点．
(1)求证：直线是的切线；
(2)求证：；
(3)若，，求的长．
17．（本题12分）已知四边形是正方形，点为平面内一点，连结，将绕点顺时针旋转得到，连结，已知点为的中点，连结．
(1)如图①，若点为边上一点，易知线段和的数量关系为_____（不需要证明）．
(2)如图②，若点是正方形的内部一点，可证（1）中线段和的数量关系仍然成立，以下是小明的部分证明过程，请补充完整．
证明：延长到点，使，连结，如图③，
为的中点，
，
又，，
，
．．．．．．
(3)若点在以点为圆心，1为半径的圆上运动，连结，当时，线段的最大值为_____．
18．（本题13分）如图，抛物线与轴交于，两点，与轴交于点，连接．
(1)求抛物线的表达式．
(2)点是抛物线上位于线段下方的一个动点，连接，，求面积最大时点的坐标：
(3)在平面内是否存在点，使得以点，，，为顶点的四边形是平行四边形？如果存在，请直接写出所有满足条件的点的坐标；如果不存在，请说明理由．
