2025 年河南省鹤壁高中高考数学十模试卷
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 3 < < 2}， = { | < < 4}，若 ∪ = { | 3 < < 4}，则实数 的取值范围为
( )
A. [ 3,2) B. ( 3,2] C. [ 3,2] D. [2,4)
2 + .若复数 = 1 + ( ∈ )是纯虚数，则| 1| =( )
A. 2 2 B. 5 C. 3 D. 2
3.若向量 ， 满足| | = 1，且( + ) ⊥ ，(2 + ) ⊥ ，则| | =( )
A. 2 B. 2 C. 1 D. 22
4.设(1 + ) + (1 + )2 + … + (1 + )7 + (1 + )8 + (1 + )9 = 0 + 1 + … + 8 8 + 99 ，则 3 =( )
A. 5040 B. 3024 C. 210 D. 126
5.已知抛物线 ： 2 = 4 的焦点为 ，准线为 ， 为 上一点，过 作 的垂线，垂足为 .若| | = | |，则
| | =( )
A. 2 B. 3 C. 4 D. 2 3
1, 为正奇数
6.已知函数 ( )满足 ( + 2) = ( ) + ( + 1)， (1) = (2) = 1，函数 ( ) = ，若
0, 为正偶数
=1 ( ( )) = 100，则 的值可以是( )
A. 149 B. 151 C. 199 D. 300
7 1 1.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, | | < 2 )， 为 ( )的最小正周期，且 ( 3 ) = ( 2 )，若 ( )在区
间(0, )上恰有 3 个极值点，则 的取值范围是( )
A. [ 11 17 11 17 176 , 6 ) B. ( 6 , 6 ] C. ( 6 ,
23 ] D. [ 17 , 236 6 6 )
8.已知函数 ( )满足对任意的 ， ∈ ( 1,1)且 < 都有 ( 1 11 ) = ( ) ( )，若 = (
1
2+5 +5 )， ∈
，则 1 + 2 + 3 + … + 2024 =( )
A. ( 253 253 253 253385 ) B. ( 380 ) C. ( 765 ) D. ( 760 )
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.2020 至 2024 年我国国内生产总值及其增长速度如图所示，则( )
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A. 2020 至 2024 年我国国内生产总值逐年增长
B. 2020 至 2024 年我国国内生产总值的 30%分位数是 1234029 亿元
C. 2020 至 2024 年我国国内生产总值年增长速度的极差是 6.3%
D. 2020 至 2024 年我国国内生产总值年增长速度的平均数大于 5%
10.如图，菱形 的边长为 2，∠ = 60°， 为边 的中点，将△ 沿 折起，折叠后点 的对应
点为 1，使得平面 1 ⊥平面 ，连接 1 ， 1 ，则下列说法正确的是( )
A.点 到平面 1
3
的距离为 2
B. 1与 1 所成角的余弦值为4
C.三棱锥 1 的外接球的体积为 8
D.直线 1
6
与平面 1 所成角的正弦值为 4
11.函数 ( )的导函数 ′( )和函数 ( )都是 上偶函数，且 ( ) (1 ) = 2，则( )
A. ( )的图象关于点(1, 2)对称 B. ( )是周期函数
C. (2026) = 1 D. 19 ( =1 10 ) = 38
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12 .已知角 的终边经过点( 3,4)，则 sin( + 4 )的值为______
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13.高二甲、乙两位同学计划端午假期从“韩阳十景”中挑 4 个旅游景点：廉村孤树、龟湖夕照、南野桑、
马屿香泉随机选择其中一个景点游玩，记事件 ：甲和乙至少一人选择廉村孤树，事件 ：甲和乙选择的景
点不同，则条件概率 ( | ) = ______．
14.2021 年 3 月 30 日，小米正式开始启用具备“超椭圆”数学之美的新 (如图所示)，
| 设计师的灵感来源于曲线 ： |
+ | |
= 1( > 0, ∈ ).当 = 4， = 2， = 1 时，下列
关于曲线的判断正确的有______．
①曲线 关于 轴和 轴对称；
②曲线 所围成的封闭图形的面积小于 8；
③曲线 1上的点到原点 的距离的最大值为174；
④设 ( 3, 0)，直线 + 3 = 0 交曲线 于 、 两点，则△ 的周长小于 8 ．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
△ + 在 中，内角 ， ， 所对的边分别为 ， ， ， = ．
(Ⅰ)求 ；
(Ⅱ) 若点 在线段 上，且 = 2 = ，求 ．
16.(本小题 15 分)
已知 ( ) = 12
2 + ，且 > 0．
(1)当 = 1 时，求证： ( ) > 0 恒成立；
(2)令 ( ) = ( ) 1 22 + 2 ln( + 1)，当 ∈ (0, )时， ( )无零点，求 的取值范围．
17.(本小题 15 分)
如图所示，三棱柱 中，平面 ⊥平面 ， = 2 = 2 = 4，∠ = ∠ = 120°，
点 为棱 的中点，动点 满足 = + (1 ) (0 < < 1)．
(1) 3当 = 4时，求证： ⊥ ；
(2)若平面 与平面 所成角的正切值为 19，求 的值．
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18.(本小题 17 分)
“由样本估计总体”是统计学中一种重要的思想方法，而我们利用一些样本去估计某一参数的值时，常采
用最大似然估计的方法.最大似然估计是由高斯首次提出，费尔希推广并使之得到广泛应用的一种估计方法，
其原理是从总体中抽出具有 个值的采样 1， 2，…， ，求出似然函数 ( ) = ( 1 = 1, 2 = 2, …, = )，
似然函数 ( )表示样本同时取得 1， 2，…， 的概率，当似然函数取得最大值时参数的取值即为该参数的
最大似然估计值．
(1)已知一工厂生产产品的合格率为 ，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中随机抽取 20 件进行
检测，有 2 件不合格；
( )估计该批次产品合格率；
( )若用随机变量 表示产品是否合格， = 0 表示不合格， = 1 表示合格，求合格率 的最大似然估计值，
并判断与( )中估计值是否相等；
(2)设一次试验中随机变量 的概率分布如下：
1 2 3
2 2 (1 (1 ) )2
现做 次独立重复试验， = 1 出现了 1次， = 2 出现了 2次， = 3 出现了 3次，求 的最大似然估计值；
(3) 泊松分布是一种重要的离散分布，其概率分布为 ( = ) = ! ( = 0,1,2, )，设一次试验中随机变
量 的取值服从泊松分布，进行 次试验后得到 的值分别为 1， 2，…， ，已知 的最大似然估计值为 2，
求数列{ }的前 项和 ．
19.(本小题 17 分)
2 2 3
已知上下顶点分别为 ， 的椭圆 ： + 4 = 1 经过点( 2 , 1),
1
为直线 ： = 2上的动点，且 不在椭圆
上， 与椭圆 的另一交点为 ， 与椭圆 的另一交点为 ( , 均不与椭圆 上下顶点重合)．
(1)求椭圆 的方程；
(2)证明：直线 过定点；
(3)设(2) 1问中定点为 ，过点 ， 分别作直线 ： = 2的垂线，垂足分别为 ， ，记△ ，△ ，△
的面积分别为 1， 2， 3，试问：是否存在常数 ，使得 1， 2， 3总为等比数列？若存在，求出 的值；若
不存在，说明理由．
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参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 210
13.67
14.①②③
15. (Ⅰ) + = 解： 因为 ，
+
所以由正弦定理可得 = ，即
2 + 2 2 = ；
2+ 2 2 1
根据余弦定理得： = 2 = 2 = 2，
因为 0 < < ，所以 = 3．
(Ⅱ)设 = ，则 = = 2 ， = 3 ；
在△ 中，由余弦定理可得： 2 = 2 + (2 )2 2 2 cos∠ ；
化简得：4 2 = 5 2 2．
在△ 中，由余弦定理可得： 2 = (2 )2 + (2 )2 2 2 2 cos( ∠ )；
化简得： 2 = 8 2 + 8 2 ．
联立化简得： 2 = 18 2 2 2①.
2+ 2 9 2 1
在△ 中，由余弦定理可得：cos 3 = 2 = 2；
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化简得： 2 + 2 = 9 2②.
1
将②代入①得： = 2．
16.(1) 1证明：依题意：当 = 1 时， ( ) = 22 + ，则 ′( ) = 1 + ．
令 ( ) = 1 + ，则 ′( ) = 1 ≥ 0 恒成立．∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) > (0) = 0，即 ′( ) > 0 恒成立，∴ ( )在(0, + ∞)上单调递增，
∴ ( ) > (0) = 0，得证．
(2)[ 1解法 1]： ( ) = ( ) 2
2 + 2 ln( + 1) = + ln( + 1)， ′( ) = 1 + 1 +1，
①当 < 0 时， ′( )在(0, )递增， ′(0) = < 0， ′( ) = 1 1 +1 > 0，所以存在 0 ∈ (0, )使
′( 0) = 0，
当 ∈ (0, 0)， ( )单调递减，当 ∈ ( 0, )， ( )单调递增，
又 (0) = 0， ( ) = ln( + 1) > 0
故存在唯一的零点 ∈ ( 0, )使 ( ) = 0，
②当 ≥ 0 时，由 ∈ (0, )得 ( ) ≥ ln( + 1)，
令 ( ) = ln( + 1)， ′( ) = 1 1 +1 = +1 > 0 在(0, )上恒成立，
∴ ( )在(0, )上单调递增，
∴ ( ) > (0) = 0，
∴ ( ) > 0 在 ∈ (0, )上恒成立．故 ( )在(0, )无零点．
综上所述： 的取值范围是[0, + ∞)．
[ 1解法 2]： ( ) = ( ) 22 + 2 ln( + 1) = + ln( + 1) ( ) = 0 =
ln( +1)
，令 ，则 ，
( 1ln( +1) +1 1) [ln( +1) ]设 ( ) = ，则 ′( ) = sin2 ，
1
令 ( ) = ( +1 1) [ln( + 1) ]，则 ′( ) = [
1
( +1)2 + ln( + 1) ]，
∵ ln( + 1) ≤ ( + 1) 1 = ，∴ ′( ) < 0 恒成立，
∴ ( )在(0, )上单调递减，又 (0) = 0，所以 (0) < 0 恒成立，
∴ ′( ) < 0，即 ( )在(0, )上单调递减，则 ( ) < (0) = 0，
∵ ( )无零点，
即函数 = 与函数 ( )的图象无交点，∴ ≥ 0，
即 的取值范围是[0, + ∞)．
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17.(1)证明：由 = + (1 ) 可得， + = ，
即 + + + = ，即 = ，
如图：
因为平面 ⊥平面 ，平面 ∩平面 = ，
所以过 作 ⊥ 于 ，则 ⊥平面 ，
连接 ，因为△ △ ，所以 ⊥ ，
= 2 = 2 = 4，∠ = ∠ = 120°，
在 △ 中， = 60° = 3， = 60° = 3，∠ = 90°．
2 2 2
所以 = 6，则 cos < ， >= cos∠ = + = 4+4 6 = 1，2 2×2×2 4
= 1 2 ，
= + = = ，
当 = 3 3时， = 4 4
，
= ( 3 ) ( 1 ) = | |2 + 3 + 1 4 2 4 2
+ 3 | 8 |
2 +
1
2
= 0，
所以 ⊥ ；
(2)解：如图，由(1)得 ， ， 两两垂直，
故可以 为原点， 方向为 轴， 方向为 轴， 方向为 轴，建立如图所示坐标系：
平面 中， (0,3,0), ( 3, 4,0), (0,4, 3)， (0,0, 3)，
= (0,1, 3), = ( 3, 1,0)，
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设平面 的法向量为 1 = ( 1, 1, 1)，
1 = 0 1 + 3 1 = 0则 ，即 ，
1 = 0 3 1 + 1 = 0
令 1 = 1，则 1 = (1, 3, 1)；
平面 中，由(1)可知， = ，
设 (0, , 0)，因为 = (0, , 0)， = (0,4,0)，
所以(0, , 0) = (0,4,0)，可得 = 4 ，
所以 (0,3,0), ( 3, 0,0), (0,4 , 3)，
= ( 3, 3,0), = (0,4 3, 3)，
设平面 的法向量为 2 = ( 2, 2, 2)，
2 = 0 3 2 3 2 = 0则
2
，即 ，
= 0 (4 3) 2 + 3 2 = 0
令 2 = 3，则 2 = (3, 3, 3 4 )；
由题意，设平面 与平面 所成角为 ，且 = 19，可得 = 5，10
1 2 = 1 × 3 + ( 3) × 3 + 1 × (3 4 ) = 3 4 ，
| 1| = 12 + ( 3)2 + 12 = 5，| 2| = 32 + ( 3)2 + (3 4 )3 = (4 3)2 + 12，
= | 1 2| |3 4 || | | | = =
5 1
1 2 5 (4 3)2+12 10
，解得 = 4，
即平面 1与平面 所成角的正切值为 19时， 的值为4．
18.解：(1)根据题目：已知一工厂生产产品的合格率为 ，每件产品合格与否相互独立，现从某批次产品中
随机抽取 20 件进行检测，有 2 件不合格；
(ⅰ) = 20 2由题该批次产品合格率 20 = 0.9；
(ⅱ)由题意得，似然函数 1( ) = 18(1 )2， ′( ) = 171 ( 1)(20 18)，
当 ∈ (0,0.9)时， 1′( ) > 0， 1( )单调递增，
当 ∈ (0.9,1)时， 1′( ) < 0， 1( )单调递减，
则当 = 0.9 时， 1( )取得最大值，即 的最大似然估计值为 0.9，与(ⅰ)中的估计值相等；
(2) ( ) = ( 2) 1[2 (1 )] 2[(1 )2] 3 = 2 2 2 1+ 2 2(1 )2 3+ 2，
令 ( ) = 2( ) = (2 1 + 2) + (2 3 + 2)ln(1 ) + 2 2，
则 ′( ) = 2 1+ 2 2 3+ 2 1 ，令 ′( ) = 0，解得 =
2 1+ 2
2 ，
易知 ′( )在 ∈ (0,1)上单调递减，
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则当 ∈ (0, )时， ′( ) > 0， ( )单调递增，当 ∈ ( , 1)时， ′( ) < 0， ( )单调递减，
所以 2( )在(0, )上单调递增，在( , 1)上单调递减，
则 = = 2 1+ 22 时， 2( )取得最大值，所以
2 +
的最大似然估计值为 1 22 ．
(3) ( ) = ( = , , = ) = =
=1 3 1 1 =1 ， ! =1 !
设 ( ) = 3( ) = (
=1 )
=1 !，
则函数 ( )与 3( )
1
单调性相同，因为 ′( ) =
=1 为减函数，
令 ( ) = 0 ，得 = =1 ，则 0 < < =1 时，
′( ) > 0 函数 ( )单调递增； > =1 时， ′( ) < 0 函数， ( )单调递减，
= =1 所以 为 ( )极大值点也及最大值点，
=
所以 =1
为 3( )极大值点也及最大值点，
则由题 的最大似然估计值为 =1 = 2，即 =1 = = 2 ．
2 2 9
19. 3 1解：(1)因为椭圆 ： + 4 = 1 经过点( 2 , 1)，代入可得
4
+ 4 = 1，解得 = 3，
2 2
所以椭圆 的方程为 3 + 4 = 1；
(2)证明：由题意，直线 的斜率一定存在，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，直线 的方程为 = + ，
联立椭圆和直线 的方程得(3 2 + 4) 2 + 6 + 3( 2 4) = 0，
6 3( 2 4)
由韦达定理可得 1 + 2 = 3 2+4， 1 2 = 3 2+4 ，
2 +2
由点斜式可知直线 的方程为 = 1 + 2，直线 的方程为 =
2 2，
1 2
2 = 1 2 2 = 1 两式相比得 ，因为点 在直线 上，所以 1 2 +2 +2 2
2 3
1 2 1 2+2
= 5，
2 2 3( 2) 2 2 4
又点 在椭圆上，所以 2 + 2 = 1，变形得 2 2 1 23 4 2+2
= 4 ，所以 = ，2 1 2 5
( 1+ 2)( 2+ 2) = 4
2 1 2+ ( 2)( 将直线 方程代入得 ，即 1
+ 2)+( 2)2 = 4 ，1 2 5 1 2 5
将韦达定理结果代入得 2 10 + 16 = 0，解得 = 2 或 8，
因为 ， 均不与椭圆 上下顶点重合，所以 = 2 舍去，即 = 8，
直线 的方程为 = + 8，过定点(0,8)．
(3) 1 1 1 1由题意可知 ( 1, 2 )， ( 2, 2 )，显然 ， 在直线 = 2的两侧，不妨设 1 > 2 > 2，
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1则 △ = 2 | 1|(
1 1 1 1 1
1 2 )， △ = 2 | 1 2|(8 2 )， △ = 2 | 2|( 2 2)，
设存在常数 ，使得 1， 2， 3为等比数列，则 2 22 = 1 3，
225 2 2 1即 16 [( 1 + 2) 4 1 2] = 4 | 1 2|[
1 1
2 ( 1 + 2) 1 2 4 ]，
2
由(2)可知 1 + 2 = ( +
64 4(64 3 )
1 2) + 16 = 3 2+4， 1 2 = ( 1 + 8)( 2 + 8) = 3 2+4 ，
225 2
代入化简可得 16 (144
2 2880) = 454 (45
2 900)，
由(2)知联立后的方程 = (48 )2 4 × 180 × (3 2 + 4) > 0 2 > 20，
2
所以 2 = 45( 20) 16 45 1 1144( 2 20) × 225 × 4 = 4，解得 =± 2，
1
所以存在 =± 2，使得 1， 2， 3总为等比数列．
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