2025年河北省秦皇岛市山海关区高考数学二模试卷
一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知复数，则的实部是( )
A. B. C. D.
2.设向量，若，则( )
A. B. C. D.
3.下列函数中，以为周期且在区间上单调递增的是( )
A. B. C. D.
4.已知数列是首项为，公差为的等差数列，前项和为，满足，则( )
A. B. C. D.
5.函数的大致图象为( )
A. B.
C. D.
6.双曲线的左、右焦点分别为、过作其中一条渐近线的垂线，垂足为已知，直线的斜率为，则双曲线的方程为( )
A. B. C. D.
7.如图，三棱锥中，底面，，，则该三棱锥的内切球和外接球的半径之比为( )
A.
B.
C.
D.
8.已知函数，若，，使成立，则实数的取值范围为( )
A. ， B.
C. D.
二、多选题：本题共3小题，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.已知集合，则( )
A. B. C. D.
10.已知函数，则( )
A. 有两个极值点 B. 有一个零点
C. 点是曲线的对称中心 D. 直线是曲线的切线
11.设焦点为的抛物线：的准线为，为上一点，，过点的直线与交于，两点，则( )
A.
B. 的最小值为
C. 以为直径的圆与相切
D. 上存在点，使得为正三角形
三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。
12.二项式的展开式中的系数是______．
13.已知，均为锐角，且，，则 ______．
14.有一种珍惜物种，对于其每个个体，每天都会发生如下事件：有的概率消失，有的概率保持不变，有的概率分裂成两个，对所有新产生的生物每天也会发生上述事件，假设开始只有一个这样的珍惜生物，若希望最终这种生物灭绝的概率不超过，则的最大值为______．
四、解答题：本题共5小题，共77分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.本小题分
为了调查学生喜欢跑步是否与性别有关，高三年级特选取了名学生进行了问卷调查，得到如下的列联表：
喜欢跑步 不喜欢跑步 合计
男生
女生
合计
已知在这名学生中随机抽取人抽到喜欢跑步的概率为．
判断：是否有的把握认为喜欢跑步与性别有关？
从上述不喜欢跑步的学生中用分层抽样的方法抽取名学生，再在这人中抽取人调查其喜欢的运动，用表示人中女生的人数，求的分布及数学期望．
附：，其中．
16.本小题分
如图所示，在三棱柱中，平面，，，，点，分别在棱和棱上，且，，点为棱的中点．
求证：平面；
求直线与平面所成角的正弦值．
17.本小题分
已知为圆：上任意一点，点，线段的垂直平分线与交于点，记点的轨迹为．
求的方程；
过点作直线与轴不重合与相交于点，，直线与轴交于点，，求的方程．
18.本小题分
已知函数其中．
当时，求函数的图象在处的切线方程；
若恒成立，求的取值范围；
设，且函数有极大值点求证：．
19.本小题分
定义：对于数列若存在常数，对任意的都有，则称数列为和谐数列．
已知数列，判断是否为和谐数列，并说明理由；
设是数列的前项和，证明：若是和谐数列，则也是和谐数列；
若，都是和谐数列，证明也是和谐数列．
参考答案
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15.解：易知从名学生中随机抽取人抽到喜欢跑步的概率为，
所以喜欢跑步的人有人，不喜欢跑步的人有人，
列联表如下所示：
喜欢跑步 不喜欢跑步 合计
男生
女生
合计
则，
所有没有把握认为喜欢跑步与性别有关；
若按分层抽样，
设女生名，男生名，
此时，
解得，，
所以从不喜欢跑步的学生中抽取女生名，男生名，
易知的所有可能取值为，，，
所以，，，
则的分布列为：
故．
16.证明：建系如图，，，
，，
，，，，，
，，
设为平面的法向量，
因为，，
所以为平面的法向量，
因为，平面，
所以平面E.
解：由知，为平面的一个法向量，
设与平面所成角为，
所以，
所以直线与平面所成角的正弦值为．
17.解：由题意可知：：的圆心为，半径为，且，
则，
可知点的轨迹是以，为焦点的椭圆，
则，所以的方程为；
因为点在椭圆内部，可知直线与椭圆必相交，
设直线：，，，则，
联立方程，消去可得，
则，
又因为，
若，则，即，
可得，解得，
所以的方程为，即．
18.解：当时，，则，
，，
函数的图象在处的切线方程为，
即
不等式，即，，
，恒成立，
令，则，
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
当时，取得极大值，也为最大值，
故，
由，得，
实数的取值范围是
证明：由，
得，
当时，，单调递增无极值点，不符合题意；
当或时，令，设的两根为和，
为函数的极大值点，
，
由，，知，，
又由，得，
，
令，，
则，
令，，
则，
当时，，当时，，
，
，
在上单调递减，
，
．
19.解：是和谐数列，理由如下：
，
数列是和谐数列．
证明：是和谐数列，存在常数，对任意的，
有，
即，
则
，
数列是和谐数列．
证明：若，都是和谐数列，则存在常数，，
对任意的，有，
，
，
即，
同理
，
即
，，
，
记，，
则有
，
，
数列也是和谐数列．
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