2025 年河南省豫西名校高考数学模拟试卷（一）
一、单选题：本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。
1.已知集合 = { | 2 < 4}， = { 1,0,1,2,3}，则 ∩ =( )
A. {0,1} B. {0,1,2} C. { 1,0,1} D. { 1,0,1,2}
2.若 (1 + ) = 1 2 ，则 =( )
A. 1 3 B. 12 2 2 +
3
2 C.
3 12 2 D.
3+ 12 2
3.已知向量 = ( 1,2)， = (3,1)， = ( , 4)，且( ) ⊥ ，则 ( + ) =( )
A. (2,12) B. ( 2,12) C. 14 D. 10
4.已知圆锥 的母线长为 2， 为底面的圆心，其侧面积等于 2 3 ，则该圆锥的体积为( )
A. 3 B. 2 C. D. 2
5.已知角 ， ∈ (0, )，且 sin( + ) + cos( ) = 0， 3 = 0，则 tan( + ) =( )
A. 2 B. 1 12 C. 2 D. 2
6 2
≤
.设函数 ( ) = 2 > ，若 ( )为增函数，则实数 的取值范围是( )
A. (0,4] B. [2,4] C. [2, + ∞) D. [4, + ∞)
7.已知函数 ( ) = 2 ( + )( > 0, 4 < <
4 )的零点为 轴上的所有整数，则函数 ( )的图象与函数
( ) = 25 的图象的交点个数为( )
A. 8 B. 9 C. 10 D. 11
8 1.定义在 上的函数 ( )满足 (0) = 0, ( ) + (1 ) = 1, ( 5 ) = 2 ( )，且当 0 ≤ 1 < 2 ≤ 1 时，
( ) ≤ ( ) ( 11 2 ，则 2023 ) =( )
A. 1256 B.
1 1 1
128 C. 64 D. 32
二、多选题：本题共 3 小题，共 18 分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。
9.李明每天 7：00 从家里出发去学校，有时坐公交车，有时骑自行车.他各记录了 50 次坐公交车和骑自行
车所花的时间，经数据分析得到：坐公交车平均用时 30 分钟，样本方差为 36；自行车平均用时 34 分钟，
样本方差为 4.假设坐公交车用时 和骑自行车用时 都服从正态分布，则( )
A. ( > 32) > ( > 32)
B. ( ≤ 36) = ( ≤ 36)
第 1页，共 8页
C.李明计划 7：34 前到校，应选择坐公交车
D.李明计划 7：40 前到校，应选择骑自行车
10.已知 ( )是定义在 上的奇函数，当 ∈ (0, + ∞)时， ( ) = 3 3 2，则( )
A. ( )的极大值点为 1
B.函数 = ( ) 10的零点个数为 3
C.函数 = ( ( ))的零点个数为 7
D. ( ( )) > 0 的解集为( 2,0) ∪ (2, + ∞)
11.平面内到两定点距离之积为常数的点的轨迹称为卡西尼卵形线，它是 1675 年卡西尼在研究土星及其卫
星的运行规律时发现的.已知在平面直角坐标系 中， ( 2,0)， (2,0)，动点 满足| | | | = 5，其
轨迹为一条连续的封闭曲线 ，则下列结论正确的是( )
A.曲线 与 轴的交点为(0,1)和(0, 1) B.曲线 关于 轴对称，不关于 轴对称
C.坐标原点 是曲线 的对称中心 D. | |的取值范围为[1,3]
三、填空题：本题共 3 小题，每小题 5 分，共 15 分。
12.在△ 中， ， ， 分别为角 ， ， 所对的边，若 2 2 + = 0，则角 = ______．
13.已知抛物线 2 = 4 的焦点为 ，若以 轴正方向的射线 绕焦点 逆时针旋转 45°，与抛物线交于点 ，
过 作 ⊥ 轴，交准线于点 ，则△ 的面积为______．
14.将两个观赏球体封闭在一个正方体容器内，设正方体棱长为 1，则两个球体体积之和的最大值为______．
四、解答题：本题共 5 小题，共 77 分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。
15.(本小题 13 分)
已知 ( ) = + ，曲线 = ( )在点 ( , )处的切线斜率为 2．
(1)求 的值；
(2)求不等式 ( + 1) + (3 2 ) > 0 的解集．
16.(本小题 15 分)
小明参加一个抽纸牌游戏，规则如下：有九张质地完全相同的纸牌，其中有一张大王牌，其余四种花色为：
红桃、黑桃、方块、梅花各 2 张.逐次从 9 张牌中不放回地随机抽取一张纸牌，每次抽牌后，都往牌堆中加
入一张新的大王牌．
(1)求小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率．
(2)抽牌过程中，若抽到大王牌，则宣告游戏结束；若累计抽到两张花色相同的纸牌，也宣告游戏结束；否
则游戏继续.用 表示小明在游戏中一共抽到的纸牌数，求 的分布列．
第 2页，共 8页
17.(本小题 15 分)
如图，在三棱柱 1 1 1中， 1 ⊥平面 ，∠ = 90°， = = 1 = 1， ， ， 分别是棱
， ， 1上的动点，且 = = 1G.
(1)求证： 1 ⊥ 1 ；
(2)若平面 11与平面 1 1 的夹角的余弦值为3，求 ．
18.(本小题 17 分)
2
2
已知双曲线 ： 2 2 = 1( > 0, > 0)
3
的渐近线方程为 =± 2 ，过点(4,0)的直线 交双曲线 于 ， 两
点，且当 ⊥ 轴时，| | = 6．
(1)求 的方程；
(2) 记双曲线 的左右顶点分别为 11， 2，直线 1 ， 2 的斜率分别为 1， 2，求 的值．2
(3)探究圆 ： 2 + 2 4 4 1 = 0 是否存在点 ，使得过 作双曲线的两条切线 1， 2互相垂直．
19.(本小题 17 分)
对于 ∈ ，若数列{ }满足 +1 > 1，则称这个数列为“ 数列”．
(1)已知数列 1，2 ， 2 + 1 是“ 数列”，求实数 的取值范围．
(2) 1是否存在首项为 2 的等差数列{ }为“ 数列”，且其前 项和 使得 2 < 2 恒成立？若存在，求
出数列{ }的通项公式；若不存在，请说明理由．
(3) 1 已知各项均为正整数的等比数列{ }是“ 数列”，数列{ 2 }不是“ 数列”，若 =
+1
+1，试判断数
列{ }是否为“ 数列”，并说明理由．
第 3页，共 8页
参考答案
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
10.
11.
12. 3
13.8 + 6 2
14.(9 5 3) 2
15.解：(1)由已知 ( ) = + ，得 ′( ) = 1 + ，
又函数 = ( )在点 ( , )处的切线斜率为 2，
即 ′( ) = 1 + = 1 = 2，解得 = 1；
(2)由(1)得 ( ) = ， ′( ) = 1 ，
则 ′( ) = 1 ≥ 0 恒成立，即 ( )在 上单调递增，
又 ( ) = sin( ) = + = ( )，
即函数 ( )为奇函数，
由 ( + 1) + (3 2 ) > 0，可知 ( + 1) > (3 2 ) = (2 3)，
即 + 1 > 2 3，解得 < 4，即不等式的解集为( ∞,4)．
16.解：(1)设事件 表示“前两次抽牌中只抽到一张大王牌”，设事件 表示“第三次抽到红桃牌”，
( ) = 1 × 8 + 8 × 29 9 9 9 =
8
27，
( ) = 2 × 29 9 ×
1+ 1 × 29 9 9 ×
1 6 2 2 1 6 2 14
9+ 9 × 9 × 9+ 9 × 9 × 9 = 243
∴ ( ) 7小明在前两次抽牌中只抽到一张大王牌的情况下，第三次抽牌抽到红桃牌的概率为 ( | ) = ( ) = 36．
第 4页，共 8页
(2) 的可能所有取值为：1，2，3，4，5．
( = 1) = 19，
( = 2) = 8 × 3 = 89 9 27，
( = 3) = 8 × 6 5 809 9 × 9 = 243，
( = 4) = 8 × 6 4 79 9 × 9 × 9 =
448
2187，
( = 5) = 8 × 6 × 4 29 9 9 × 9 =
128
2187，
∴ 的分布列为：
1 2 3 4 5
1 8 80 448 128
9 27 243 2187 2187
17.解：(1)证明：因为 1 ⊥平面 ， ， 平面 ，
所以 1 ⊥ ， 1 ⊥ ，又∠ = 90°，
故 B 1 ， ， 两两垂直，
以 为坐标原点， ， 1， 所在直线分别为 ， ， 轴，建立空间直角坐标系，
因为 = = 1 = 1， = = 1 ，
设 = = 1 = ，0 ≤ ≤ 1，
所以 1(1,1,0)， (0,0, )， 1(0,1,1)， (0,1 ,0)，
则 1 = ( 1, 1, )， 1 = (0, , 1)，
则 1 1 = ( 1, 1, ) (0, , 1) = = 0，
故 A 1 ⊥ 1 ；
(2)因为 (1 ,0,0)，则 = ( 1,1 ,0)，
第 5页，共 8页
则 1 = ( 1, 1, ) ( 1,1 ,0) = 1 + 1 = 0，
则 1 ⊥ ，又 1 ∩ = ， 1 ， 平面 1，
所以 1 ⊥平面 1，
故 1 = ( 1, 1, )为平面 1的一个法向量，
又平面 1 1 的法向量为 = (0,0,1)，
则平面 1与平面 1 1 的夹角的余弦值为|cos < 1 , > | =
| 1 | = |( 1, 1, ) (0,0,1)| = | |
| 1
，
|| | 2+1+1 2+2
1又平面 1与平面 1 1 的夹角的余弦值为3，
| |
所以 =
1
，
2+2 3
1
解得 = 2，
= 1即 2．
18.解：(1)由对称性知，双曲线 过点(4,3)，
=
3
则 2
= 2
16 9 ，解得 = 1 = 3
，
2 2
2 2
所以双曲线 的方程为 4 3 = 1．
(2)由(1)得 ( 2,0)， 2(2,0)，设 ( 1, 1)， ( 2, 2)，
显然直线 不垂直于 轴，设直线 的方程为 = + 4，
= + 4
联立 2 23 2 4 2 = 12，消去 得(3 4) + 24 + 36 = 0，
显然 3 2 4 ≠ 0， = 144( 2 + 4) > 0，
24 36 2 31 + 2 = 3 2 4 , 1 2 = 3 2 4，所以 1 + 2 = 3 1 2，即 1 2 = 2 ( 1 + 2)，
1
1 = 1+2 = 1( 2 2) = 1( 2+2)所以 2 2 ( +2) ( +6) 2 2 1 2 2 2
3
1 2+2 1 2( 1+ 2)+2 = +6 =
1
3 =
1
．
1 2 2 2( 1+ 2)+6 2 3
(3)圆 ： 2 + 2 4 4 1 = 0 上存在点 ，使得过 作双曲线的两条切线互相垂直．
若双曲线的两条切线有交点，则两条切线的斜率存在且不为 0，
设双曲线的两条切线分别为 = 1 + 1， = 2 + 2．
2 2
= + 代入 4 3 = 1，
第 6页，共 8页
消去 得：(3 4 2) 8 4 2 12 = 0，
由 ′ = 0 得 64 2 2 + 4(3 4 2)(4 2 + 12) = 0，
解得 2 = 4 2 3，因此 2 = 4 21 1 3； 2 22 = 4 2 3，
设两条切线的交点坐标为( 0, 0)，
0 1 0 = 则 1 2 = ，即有( 0 1 0) = 4
2 3，且( )2 = 4 21 0 2 0 2 3，
0 2 0 2
即( 20 4) 2 2 2 2 2 21 0 0 1 + 0 3，( 0 4) 2 2 0 0 2 + 0 3，
于是 1， 2是方程( 2 2 20 4) 2 0 0 + 0 + 3 = 0 的两根，
2
而 1 2 = 1 0
+3
，则 2 2 22 = 1，即 0 + 0 = 1，从而两条切线交点的轨迹为圆 + 2 = 1， 0 4
而 2 + 2 = 1 的圆心为 (0,0)，半径为 1，圆 ：( 2)2 + ( 2)2 = 32的圆心 (2,2)，半径为 3．
显然| | = 22 + 22 = 2 2，
满足 3 1 < | | < 3 + 1，即圆 与圆 相交，
所以圆 ： 2 + 2 4 4 1 = 0 上存在点 ，
使得过 作双曲线的两条切线互相垂直．
19.解：(1)由题意得 2 1 > 1，且( 2 + 1) 2 > 1，解得 > 2，
所以实数 的取值范围是(2, + ∞)．
(2)不存在．理由：假设存在等差数列{ }符合要求，设公差为 ，则 > 1，
由 1 = 2 得 = 2 +
( 1)
2 ．
由题意，得 2 + ( 1) 1 2 2 < 2 对 ∈ 均成立，即( 1) < + 2．
当 = 1 时， ∈ ；
> 1 < +2当 时， 1恒成立，
+2 = 1+3因为 1 1 = 1 +
3
1 > 1，所以 ≤ 1，与 > 1 矛盾，
所以这样的等差数列{ }不存在．
(3)设数列{ }的公比为 ，则 = 11 ．
因为{ }的每一项均为正整数，且 +1 = = ( 1) > 1 > 0，
所以在{ 1}中， 2 1为最小项．
{ 1 1 1 1同理， 2 2 1}中，2 2 2 1为最小项．
由{ }为“ 数列”，只需 2 1 > 1，即 1( 1) > 1．
第 7页，共 8页
1 1 1
又因为{ 2 }不是“ 数列”，且2 2 2 1为最小项，
1 1
所以2 2 2 1 ≤ 1，即 1( 1) ≤ 2．
由数列{ }的每一项均为正整数，可得 1( 1) = 2，
所以 1 = 1， = 3 或 1 = 2， = 2．
当 1 = 1， = 3
3
时， 1 = 3 ，则 = +1．
3 +1 3 2 +1
令 = +1 ( ∈ )，则 = +2 +1 = 3 ( +1)( +2)，
2
又3 +1 2 +3 2 +1 3 4 +8 +6( +2)( +3) 3 ( +1)( +2) = +2 ( +1)( +3) > 0，
所以{ }为递增数列，即 > 1 > 2 > > 1，
3 3
因为 2 1 = 3 2 = 2 > 1，
所以对于任意的 ∈ ，都有 +1 > 1，即数列{ }为“ 数列”．
+1
当 1 = 2， = 2 时， = 2 ，则 =
2
+1．
因为 2 =
2
1 3 < 1，所以数列{ }不是“ 数列”．
综上所述，当 11 = 1， = 3 时， = 3 ，数列{ }为“ 数列”；
当 1 = 2， = 2 时， = 2 ，数列{ }不是“ 数列”．
第 8页，共 8页
