2.4 函数的奇偶性与简单的幂函数 同步练习
1．函数的图象为（ ）
A． B．
C． D．
2．已知定义在上的函数满足：①；②.若，则实数的取值范围为（ ）
A． B． C． D．
3．若函数是上的单调函数，则实数的取值范围为（ ）
A． B．
C． D．
4．已知是增函数，则实数的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
5．下列说法错误的有（ ）
A．函数是减函数
B．如果，当时，都有，则在区间上单调递增
C．函数的定义域为，若在区间以及都单调递增，则是增函数
D．函数是减函数，若，则
6．已知函数是上的函数，且满足对于任意的，都有成立，则可能是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
7．已知不等式在上有解，则实数的取值可以为（ ）
A． B． C． D．
8．定义在上的函数同时满足以下条件：①；②；③当时，．则下列结论正确的有（ ）
A．在上单调递增 B．
C． D．
9．已知函数在上单调递减，则的取值范围是 .
10．已知，则的最小值为 ．
11．已知函数是R上的增函数，则实数a的取值范围是 .
12．已知命题：函数在上单调递减，若命题是真命题，则的取值范围是 .
13．若不等式对任意恒成立，则实数a的取值范围为 .
14．给定，，且，
(1)求的定义域以及的解析式
(2)判断在区间上的单调性，在区间上的单调性，并利用单调性的定义证明
15．已知函数，
(1)用定义法判断在区间上的单调性
(2)求出该函数在区间上的最大值和最小值.
16．已知函数函数由下列方式给出：，求函数的最小值．
17．已知函数，求函数在闭区间上的最大值．
18．设函数.
(1)若函数在上是单调函数，求实数的取值范围；
(2)若，是否存在实数，使得函数的定义域为，值域为，若存在，求出；若不存在，说明理由.
19．记函数在区间D上的最大值与最小值分别为与.设函数，..
(1)若函数在上单调递减，求的取值范围；
(2)若.令.记.试写出的表达式，并求；
(3)令（其中I为的定义域）.若I恰好为，求b的取值范围，并求.
1．C
【详解】的定义域为，关于原点对称，
因为，
所以为奇函数，故排除A；
因为，故排除D；
当时，，在单调递增，故排除B，
故选：C.
2．B
【详解】，
令，则在区间上单调递减.
，
则，
等价于，
即，
又，
由在上单调递减得，解得或，
即a的取值范围为，
故选：B.
3．B
【详解】函数，
由函数是上的单调函数，得函数在上单调，
当时，在上递增，而时，为常数函数，不递增，因此；
当时，，函数在上递增，在上递减，
，函数在上不单调，因此不成立；
当时，，函数在上递增，在上递减，
因此函数在上单调递增，且，即，解得，
此时函数在上单调递增，要函数在上单调递增，
则，而，解得，
所以实数的取值范围为.
故选：B
4．D
【详解】函数是增函数，则，解得，
所以实数的取值范围是.
故选：D
5．ACD
【详解】对于A，令，则，，
此时满足，不满足，
得到函数在整个定义域上不是减函数，故A错误，
对于B，由增函数的定义得到对于，当时，
都有，则在区间上单调递增，故B正确，
对于C，当时，令，
当时，令，而，
不符合增函数的定义，故C错误，
对于D，因为函数是减函数，且，
所以，解得，故D错误.
故选：ACD
6．BC
【详解】因为，所以在上单调递减，
则要满足，解得，故．
故选：BC．
7．AB
【详解】由，即，，
故在上有解，
设，则，
则，
因为函数在上单调递减，在上单调递增，
且当时，；当时，，
则的最大值为，故.
故选：AB.
8．BCD
【详解】由，令，又，令得，
令，又，所以，故A错误；B正确；
因为，故C正确；
因为，
，
因为当时，，
所以，所以，故D正确.
故选：BCD.
9．
【详解】由题意，，得.
所以的取值范围是，
故答案为：
10．-3
【详解】当时，令，
当时，，
当时，单调递减，最小值为，
综上，的最小值为-3.
故答案为：-3
11．
【详解】因为函数是上的增函数，
则，解得.
故答案为：.
12．
【详解】当时，在上单调递减，符合题意；
当时，函数在上单调递减，
则，解得，
综上，的取值范围是.
故答案为：
13．
【详解】因对任意恒成立，
则对任意恒成立，
因在上单调递减，在上单调递增，且，，
则在上的最大值为，
则，
故实数a的取值范围为.
故答案为：
14．(1)答案见解析
(2)在区间上单调递减，在区间上单调递增；证明见解析
【详解】（1）令，解得，
令，解得，则的定义域为,
因为，所以，，
因为，所以，
解得，得到，令，解得，
则的定义域为.
（2）判断：在区间上单调递减，
我们任取，且使，
则，
，
因为，所以，
因为，所以，得到，
即，故在区间上单调递减，
判断：在区间上单调递增，
我们任取，且使，
则，
，
，因为，所以，
因为，所以，，
得到，即，
故在区间上单调递增.
15．(1)证明过程见解析；
(2)最小值为，最大值为.
【详解】（1），且，
则
因，则，
则，即，
则在区间上单调递增.
（2）由（1）可知在区间上单调递增，
则的最小值为，最大值为.
16．答案见解析
【详解】由题意得
并且函数与在处的值相同．
①当时，在上，是增函数；在上，是减函数，
∴的最小值为．
②当时，在，上，是增函数，
在，上，是减函数．
．
ⅰ）当时，∵，
∴的最小值为．
ⅱ）当时，∵，
∴的最小值为．
③当时，在上，是增函数；
在上，是减函数，
∴的最小值为．
综上，当时，的最小值为；
当时，的最小值为．
17．
【详解】题意得，
函数与的对称轴均为，均过点，
①当时，，在上，单调递增，．
当时，，由对称性
在上单调递减，在上单调递增．
ⅰ）当时，，因此，在上，．
ⅱ）当时，，因此，在上，．
②当时，在上，单调递增．
在[0，2]上，单调递增，且均有，
因此在上单调递增，故．
③当，即时，在上单调递减，在[0，2]上单调递增，
的最大值是与中的较大者．．
当时，，因此．
④当，即时，
在上单调递增，在上单调递减，在[0，2]上单调递增，
的最大值是与中的较大者．
．
令，即，
解得或．
∵，∴不存在．
即当时，恒成立，
∴．故此时．
综上，
18．(1)
(2)存在，或
【详解】（1）由二次函数性质得的对称轴，
因为函数在上是单调函数，
所以或，则实数m的取值范围是.
（2）若，则，
假设存在实数，使得函数的定义域为，值域为，
分以下情况讨论：（i）若，函数在上单调递增，
由题意得，即，
解得，与矛盾，排除，
（ii）若，函数在上单调递减，
由题意得，即，
解得，此时，
（iii）若，函数在上单调递增，在上单调递减，
由题意得，解得，因为，
，所以，
解得，此时，
综上所述，存在实数，或，
使得函数的定义域为，值域为.
19．(1)
(2)，
(3)，=0
【详解】（1）∵在上单调递减，
∴，解得
（2），
当时，，
，
∴
2） 当时，，
，
∴
故，
∵在上单调递减，在单调递增，
∴ ，
故当时，得.
（3）ⅰ）当时，，
ⅱ）当，即时，
ⅲ）当时，即（*），
①若即， 由（*）知，但此时，∴不合题意.
②若即， 由（*）知， 此时，，
∴， 且
于是，当时，
当时，
即
从而可得当时，
